第3章 §2 第1课时 从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第三章 空间向量与立体几何 　 §2　空间向量与向量运算 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向 量的线性运算 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第1课时　从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心(上海)举办。某参展商打算在博览会结束 后从会展中心(O)出发乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,最后登上东方明珠(D)俯瞰上海美丽的夜景,如图所示。该参展商的合位移如何用向量表示? 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念。 2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程,了解空间向量的运算法则。 1．空间向量的概念及表示方法 (1)空间向量的概念。 与平面向量类似，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量。 (2)空间向量的表示。 与平面向量类似，空间向量也有两种表示法：①用有向线段来表示，如以点A为起点、点B为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量eq \o(AB,\s\up16(→))。点A叫作向量eq \o(AB,\s\up16(→))的起点，点B叫作向量eq \o(AB,\s\up16(→))的终点，有向线段的方向表示向量的方向。②用a，b，c，…表示，书写用eq \o(a,\s\up16(→))，eq \o(b,\s\up16(→))，eq \o(c,\s\up16(→))，…表示。 (3)向量的长度或模。 向量的大小叫作向量的长度或模。表示向量 a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示。 相等 (4)几类特殊的空间向量。 名称 定义及表示 零向量 模为0的向量叫作_______________，记为0 规定：零向量与任意向量平行 单位向量 _______________的向量叫作单位向量 相反向量 方向_______________且模_______________的向量互为相反向量，向量a的相反向量用－a表示 零向量 模为1 相反 共线向量 相等向量 方向_______________且模_______________的向量叫作相等向量 共线向量 (平行向量) 当表示向量的两条有向线段所在的直线_______________时，称这两个向量互为_______________(或平行向量) 共面向量 平行于同一平面的向量，叫作共面向量 相同 相等 平行或重合 2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 空间向量的运算 加法 a＋b＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→)) 减法 a－b＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→)) 数乘 向量λa的长度和方向满足： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，向量λa与向量 a方向相同；当λ<0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0 线性运 算的运 算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝_______________，λ(a＋b)＝_______________。(λ，μ∈R) λa＋μa λa＋λb 3.共线向量基本定理 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在_______________，使得a＝λb。 4．共面向量定理 已知空间向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb。 唯一的实数λ 微提醒 共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系式eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))，其中x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面。 微思考 1．共面向量是不是向量在同一平面内？ 2．空间任意两个向量是否一定共面？三个向量呢？ 提示：共面向量是指与同一平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内。共面向量所在的直线可能相交、平行或异面。 提示：空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面。 类型一 空间向量的有关概念 【例1】　(1)下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，方向相同或相反 D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b| 解析　若单位向量的方向不同，则不是相等的单位向量，A不正确；0与它的相反向量相同，B不正确；若|a|＝|b|，只表示a与b的长度相等，方向不一定相同或相反，C不正确；相反向量的长度一定相等，D正确。 答案　D 答案与解析 (2)如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中： ①试写出与eq \o(AB,\s\up16(→))相等的所有向量； ②试写出eq \o(AA1,\s\up16(→))的相反向量； ③若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量eq \o(AC1,\s\up16(→))的模。 解　①与向量eq \o(AB,\s\up16(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \o(A1B1,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))及eq \o(D1C1,\s\up16(→))。 ②向量eq \o(AA1,\s\up16(→))的相反向量为eq \o(A1A,\s\up16(→))，eq \o(B1B,\s\up16(→))，eq \o(C1C,\s\up16(→))，eq \o(D1D,\s\up16(→))。 ③|eq \o(AC1,\s\up16(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2＋|\o(CC1,\s\up16(→))|2))＝eq \r(22＋22＋12)＝eq \r(9)＝3。 利用向量的概念解题时的注意点 (1)熟练掌握空间向量的有关概念是解决问题的关键； (2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约。 【变式训练】　(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))满足|eq \o(AB,\s\up16(→))|>|eq \o(CD,\s\up16(→))|，则eq \o(AB,\s\up16(→))>eq \o(CD,\s\up16(→)) C．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→)) D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p 解析　A是假命题，当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同；B是假命题，向量的模长可以比较大小，但向量不能比较大小；C是真命题，eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(A1C1,\s\up16(→))方向相同且模相等；D是真命题，由相等向量的定义可知此命题正确。 答案　CD 答案与解析 类型二 空间向量的线性运算 【例2】　已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值。 (1)eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))＋xeq \o(PC,\s\up16(→))＋yeq \o(PA,\s\up16(→))； (2)eq \o(PA,\s\up16(→))＝xeq \o(PO,\s\up16(→))＋yeq \o(PQ,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→))。 解　(1)如图所示，eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))＋eq \o(OP,\s\up16(→))，由向量加法的平行四边形法则可得eq \o(PO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→)))， 所以eq \o(OP,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(PA,\s\up16(→))， 所以eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))＋eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(PA,\s\up16(→))。 所以x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)。 (2)因为eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \o(PD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(PD,\s\up16(→))＋2eq \o(QO,\s\up16(→)) ＝eq \o(PD,\s\up16(→))＋2(eq \o(PO,\s\up16(→))－eq \o(PQ,\s\up16(→)))＝eq \o(PD,\s\up16(→))＋2eq \o(PO,\s\up16(→))－2eq \o(PQ,\s\up16(→))。 所以x＝2，y＝－2。 (1)对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化。 (2)在△ABC中，若D为BC边的中点，则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握。 【变式训练】　如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点。 (1)化简：eq \o(A1O,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))； (2)设E是棱DD1上的点，且eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(DD1,\s\up16(→))，若eq \o(EO,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AD,\s\up16(→))＋zeq \o(AA1,\s\up16(→))，试求实数x，y，z的值。 解　(1)eq \o(A1O,\s\up16(→))－eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＝eq \o(A1O,\s\up16(→))－eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(A1A,\s\up16(→))。 (2)eq \o(EO,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))－eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))－eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))， 所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－eq \f(2,3)。 类型三 向量共线问题 【例3】　如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(CG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))。求证：四边形EFGH是梯形。 证明　因为E，H分别是AB，AD的中点， 所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AH,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))， eq \o(EH,\s\up16(→))＝eq \o(AH,\s\up16(→))－eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up16(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up16(→))))＝ eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CG,\s\up16(→))－\o(CF,\s\up16(→))))＝eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up16(→))。 所以eq \o(EH,\s\up16(→))∥eq \o(FG,\s\up16(→))且|eq \o(EH,\s\up16(→))|≠|eq \o(FG,\s\up16(→))|。 又F∉EH，所以四边形EFGH是梯形。 判断或证明a，b共线即找实数x，使得b＝xa(a≠0)，在这里要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简转化为a，b的关系式，得到b＝xa(a≠0)的形式，从而由共线向量定理得到b∥a。 【变式训练】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且eq \o(A1E,\s\up16(→))＝2eq \o(ED1,\s\up16(→))，点F在体对角线A1C上，且eq \o(A1F,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up16(→))。求证：E，F，B三点共线。 证明　设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c。 因为eq \o(A1E,\s\up16(→))＝2eq \o(ED1,\s\up16(→))，eq \o(A1F,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up16(→))， 所以eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(A1D1,\s\up16(→))，eq \o(A1F,\s\up16(→))＝eq \f(2,5) eq \o(A1C,\s\up16(→))， 所以eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)b， eq \o(A1F,\s\up16(→))＝eq \f(2,5)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AA1,\s\up16(→)))＝eq \f(2,5)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AA1,\s\up16(→)))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(2,5)b－eq \f(2,5)c， 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(A1F,\s\up16(→))－eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \f(2,5)a－eq \f(4,15)b－eq \f(2,5)c＝eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c))。 又eq \o(EB,\s\up16(→))＝eq \o(EA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3)b－c＋a＝a－eq \f(2,3)b－c。 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(2,5) eq \o(EB,\s\up16(→))， 又因为eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(EB,\s\up16(→))有公共点E，所以E，F，B三点共线。 类型四 向量共面问题 【例4】　如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1。求证：A，E，C1，F四点共面。 证明　因为六面体ABCD­A1B1C1D1是平行六面体，所以eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))＝eq \o(DD1,\s\up16(→))， 所以eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))，eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))， eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BB1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))， eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))， 所以eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up16(→))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up16(→))))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))。 又eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))， 所以eq \o(AC1,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→))， 所以由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面。 利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练地进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量。 【变式训练】　已知A，B，C三点不共线，点M满足eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up16(→))。 (1)eq \o(MA,\s\up16(→))，eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(MC,\s\up16(→))三个向量是否共面？ (2)点M是否在平面ABC内？ 解　(1)因为eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝3eq \o(OM,\s\up16(→))， 所以eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→))＝(eq \o(OM,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＋(eq \o(OM,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→)))， 所以eq \o(MA,\s\up16(→))＝eq \o(BM,\s\up16(→))＋eq \o(CM,\s\up16(→))＝－eq \o(MB,\s\up16(→))－eq \o(MC,\s\up16(→))， 所以向量eq \o(MA,\s\up16(→))，eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(MC,\s\up16(→))共面。 (2)由(1)知向量eq \o(MA,\s\up16(→))，eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(MC,\s\up16(→))共面， 又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内。 1.eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(OA,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→)) C．eq \o(OC,\s\up16(→)) D．eq \o(AC,\s\up16(→)) 解析　eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))。 答案　C 答案与解析 2．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　　) A．eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))与eq \o(OB1,\s\up16(→))＋eq \o(OC1,\s\up16(→)) B．eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))与eq \o(OA1,\s\up16(→))－eq \o(OD1,\s\up16(→)) C．eq \o(OA1,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OC1,\s\up16(→)) D．eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))与eq \o(OA1,\s\up16(→))＋eq \o(OB1,\s\up16(→))＋eq \o(OC1,\s\up16(→))＋eq \o(OD1,\s\up16(→)) 解析　A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量。 答案　ACD 答案与解析 3．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A．eq \o(OM,\s\up16(→))＝2eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→)) B．eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up16(→)) C．eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(MC,\s\up16(→))＝0 D．eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝0 解析　C选项中，因为eq \o(MA,\s\up16(→))＝－eq \o(MB,\s\up16(→))－eq \o(MC,\s\up16(→))，所以点M，A，B，C共面。故选C。 答案　C 答案与解析 4．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))的化简结果为________。 解析　连接DE并延长交BC于点F，连接AF(图略)，则eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up16(→))，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))＋eq \o(FD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＝0。 答案　0 答案与解析 5．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面。 解　设p＝xm＋yn， 即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c。 因为a，b，c不共面，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，)) 而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面。 $$