第2章 §2 2.2 双曲线的简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 圆锥曲线 §2　双曲线 2.2　双曲线的简单几何性质 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2　双曲线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 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A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 微思考 1．为什么双曲线关于x轴、y轴和原点都对称？ 提示：在双曲线的方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，以－y代替y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以－x代替x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称；同时以－y代替y，以－x代替x，方程不变，所以双曲线关于原点对称。 2．双曲线的离心率对曲线形状有何影响？ 　　 　 　　　　 　 　　　 提示：以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)为例。e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，故当eq \f(b,a)的值越大，渐近线y＝eq \f(b,a)x的斜率越大，双曲线的张口越大，e也越大，所以e反映了双曲线张口的大小，即双曲线的离心率越大，它的张口就越大。 类型一 双曲线的简单几何性质 【例1】　求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。 解　双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为eq \f(x2,25)－eq \f(y2,4)＝1，所以焦点在x轴上， a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)。 由c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(29)，得焦点坐标为(eq \r(29)，0)，(－eq \r(29)，0)。 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(29),5)， 渐近线方程y＝±eq \f(2,5)x。 (1)已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质。 (2)求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错。 【变式训练】　(1)双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2) 解析　双曲线方程可变形为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,4)＝1，所以a2＝8，a＝2eq \r(2)，故实轴长2a＝4eq \r(2)。故选D。 答案　D 答案与解析 (2)双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±eq \f(2,3)x B．y＝±eq \f(4,9)x C．y＝±eq \f(3,2)x D．y＝±eq \f(9,4)x 解析　因为a2＝4，b2＝9，焦点在x轴上。所以渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝eq \a\vs4\al(±\f(3,2)x)。故选C。 答案　C 答案与解析 类型二 利用几何性质求双曲线的标准方程 【例2】　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为eq \f(13,5)； (2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)。 解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又eq \f(c,a)＝eq \f(13,5)，所以a＝5，b＝eq \r(c2－a2)＝12，故其标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1。 (2)解法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)。　① 因为A(2，－3)在双曲线上， 所以eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1。　② 联立①②，无解。 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)， 则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)。　③ 因为A(2，－3)在双曲线上， 所以eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1。　④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32。 所以所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1。 解法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)，因为A(2，－3)在双曲线上，所以eq \f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8。 所以所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1。 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)。当双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x时，可以将方程设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)。 【变式训练】　根据条件，分别求双曲线的标准方程。 (1)与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同渐近线，且过点(－3,2eq \r(3))； (2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq \r(2)，2)。 解　(1)设所求双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)，由题意可知eq \f(－32,9)－eq \f(2\r(3)2,16)＝λ，解得λ＝eq \f(1,4)。所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1。 (2)设所求双曲线方程为eq \f(x2,16－k)－eq \f(y2,4＋k)＝1(16－k>0,4＋k>0)。 因为双曲线过点(3eq \r(2)，2)，所以eq \f(3\r(2)2,16－k)－eq \f(4,4＋k)＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去)。 所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1。 类型三 双曲线的离心率 【例3】(1)如图所示，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________。 解析　连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°。易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，所以2a＝(eq \r(3)－1)c，从而双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝1＋eq \r(3)。 答案　1＋eq \r(3) 答案与解析 (2)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________。 解析　不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2(4a)·(2c)·cos 30°，整理得(e－eq \r(3))2＝0，所以e＝eq \r(3)。 答案　eq \r(3) 答案与解析 求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝eq \f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)求解。 (2)方程法：若无法求出a，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝eq \f(c,a)，转化为关于e的n次方程求解。 【变式训练】　设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________。 解析　不妨设焦点F(c,0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－eq \f(b,c)。又渐近线的斜率为±eq \f(b,a)，所以由直线垂直得－eq \f(b,c)·eq \f(b,a)＝－1(斜率为－eq \f(b,a)的直线显然不符合)，即b2＝ac。又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)＋1,2)(负值舍去)。 答案　eq \f(\r(5)＋1,2) 答案与解析 构建齐次不等式求离心率的取值范围 【典例】　已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(eq \r(2)，＋∞) C．(1,2) D．(1，eq \r(2)) 【解析】　双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，由双曲线的对称性不妨设过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y＝eq \f(b,a)(x－c)，与y＝－eq \f(b,a)x联立，得交点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(bc,2a)))。因为∠F1MF2为锐角，所以eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))>0，即有－eq \f(3c2,4)＋eq \f(b2c2,4a2)>0，又c2＝a2＋b2，所以－eq \f(3c2,4)＋eq \f(c2－a2c2,4a2)>0，整理得eq \f(c2,a2)>4，即e＝eq \f(c,a)>2。 【答案】　A 答案与解析 构造齐次方程(或不等式)求双曲线的离心率(取值范围)的一般方法 根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程(或不等式)，列式时常用b＝eq \r(c2－a2)代替式子中的b，然后将等式(或不等式)两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而利用e＝eq \f(c,a)转化为含e的方程(或不等式)，即可得解，同时要注意e>1。 1．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 解析　由已知得左焦点(－5,0)，右顶点(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8。故选B。 答案　B 答案与解析 2．若双曲线C的两个焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2 C．eq \f(x2,2)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1 解析　由已知得双曲线焦点在x轴上，且a＝1，c＝eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝1，于是双曲线方程为x2－y2＝1。故选A。 答案　A 答案与解析 3．若双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,m)＝－1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m等于________。 解析　双曲线方程化为eq \f(y2,m)－eq \f(x2,4)＝1，于是双曲线焦点在y轴上，且m>0，所以a＝eq \r(m)，b＝2，所以eq \f(\r(m),2)＝2，解得m＝16。 答案　16 答案与解析 4．已知双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1，则过点A(3，－1)且被点A平分的双曲线的弦MN所在直线的方程是________。 解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为M，N均在双曲线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)－y\o\al(2,1)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)－y\o\al(2,2)＝1，))两式相减，得eq \f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),4)＝yeq \o\al(2,2)－yeq \o\al(2,1)，所以eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(x2＋x1,4y2＋y1)。因为点A平分弦MN，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2。所以kMN＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(x2＋x1,4y2＋y1)＝－eq \f(3,4)。所以双曲线的弦MN所在直线的方程为y＋1＝ －eq \f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－5＝0。经检验符合题意。 答案　3x＋4y－5＝0 答案与解析 5．已知双曲线的离心率e＝eq \f(\r(5),2)，且与椭圆eq \f(x2,13)＋eq \f(y2,3)＝1有共同的焦点，求该双曲线的标准方程。 解　在椭圆中，a2＝13，b2＝3，所以c＝eq \r(13－3)＝eq \r(10)，焦点坐标为F1(－eq \r(10)，0)，eq \a\vs4\al(F2\r(10))，0)。 设双曲线的实半轴长为a1，虚半轴长为b1，半焦距长为c1。 则双曲线的焦点也在x轴上，且c1＝eq \a\vs4\al(c＝) eq \r(10)。 由e＝eq \f(\r(5),2)，得eq \f(\r(10),a1)＝eq \f(\r(5),2)，所以a1＝2eq \r(2)， 所以aeq \o\al(2,1)＝8，beq \o\al(2,1)＝ceq \o\al(2,1)－aeq \o\al(2,1)＝10－8＝2。 故该双曲线的方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,2)＝1。 $$