第2章 §1 1.2 椭圆的简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 圆锥曲线 §1　椭圆 1.2　椭圆的简单几何性质 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 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第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2　椭圆的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆。如神舟九号飞船,于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空,之后进入近地点高度200千米, 远地点高度329.8千米的椭圆形轨道,然后进行了5次变轨,两天后与天宫一号自动交会对接成功,这是中国首次实现载人空间交会对接任务。则神舟九号飞船的近地点高度200千米,远地点高度329.8千米是如何计算的? 1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义。 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题。 －a≤y≤a，－b≤x≤b 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 范围 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) －a≤x≤a，－b≤y≤b A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 2b (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴为 ，对称中心为 顶点 A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长为 2a，短轴长为 2b 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 2c(c2＝a2－b2) 离心率 e＝eq \f(c,a)∈(0,1)，其中c＝eq \r(a2－b2) 2c(c2＝a2－b2) e＝eq \f(c,a)∈(0,1)，其中c＝eq \r(a2－b2) x轴、y轴 原点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) 微思考 椭圆离心率对椭圆的“圆”与“扁”有什么影响？ 提示：①e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁。②e越接近0，c就越接近0，从而b就越接近a，椭圆就越圆。③特例：当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，椭圆方程变为圆的方程。 类型一 由椭圆标准方程研究几何性质 【例1】　求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。 解　把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1，于是a＝9，b＝3，c＝eq \r(81－9)＝eq \a\vs4\al(6\r(2))，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3)。两个焦点的坐标分别为F1(－6eq \r(2)，0)，F2(6eq \r(2)，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，eq \a\vs4\al(B10)，－3)，B2(0,3)。 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式。 (2)确定焦点位置。 (3)求出a，b，c。 (4)写出椭圆的几何性质。 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍。 【变式训练】　已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上。 (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质。 解　(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq \f(3,5)。 (2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝eq \f(3,5)。 类型二 由椭圆的几何性质求方程 【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程。 (1)长轴长是10，离心率是eq \f(4,5)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6。 解　(1)设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)。 由已知得2a＝10，a＝5。 又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，所以c＝4。 所以b2＝a2－c2＝25－16＝9。 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1。 (2)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)。 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1。 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置。 (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)。 (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数。列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等。 【变式训练】　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)； (3)过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同的离eq \a\vs4\al(心率)。 解　(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题意可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋2b＝18，,2c＝6，,a2＝b2＋c2，))解得a＝5，b＝4。 因为不确定焦点在哪个坐标轴上， 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1。 (2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3， 因为e＝eq \f(\r(6),3)，所以c＝eq \r(6)，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1。 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3，因为e＝eq \f(\r(6),3)，所以eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(6),3)，把b＝3代入，得a2＝27， 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1。 综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1。 (3)设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)， 故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)， 即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1。 类型三 椭圆的离心率 【例3】　(1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点。若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　) A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3) C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \r(3)－1 解析　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝eq \r(3)，由椭圆的定义可知，方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，2a＝1＋eq \r(3)，2c＝2，得a＝eq \f(1＋\r(3),2)，c＝1，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1。 答案　D 答案与解析 (2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \f(\r(5)－1,2) 解析　在Rt△ABF中，|AB|＝eq \r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2。将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(－1±\r(5),2)，因为0<e<1，所以e＝eq \f(\r(5)－1,2)。故选D。 答案　D 答案与解析 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 直接法 若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解。若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解 方程法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 【变式训练】　 (1)如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析　设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(4\r(3),3)，即长半轴长为eq \f(2\r(3),3)，所以半焦距为eq \f(\r(3),3)，故离心率为eq \f(1,2)。 答案　B 答案与解析 (2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 解析　依题意得，c<b，即c2<b2，所以c2<a2－c2,2c2<a2，故离心离e＝eq \f(c,a)<eq \f(\r(2),2)，又0<e<1，所以0<e<eq \f(\r(2),2)。 答案　C 答案与解析 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　) A．(±10,0) B．(±eq \r(69)，0) C．(0，±13) D．(0，±eq \r(69)) 解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(69)，故焦点坐标为(0，±eq \r(69))。故选D。 答案　D 答案与解析 2．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－eq \r(3)，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是(　　) A．eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)＋y2＝1 D．x2＋eq \f(y2,3)＝1 解析　因为一个焦点为(－eq \r(3)，0)，所以焦点在x轴上且c＝eq \r(3)。因为长轴长是短轴长的2倍，所以2a＝2·2b，即a＝2b，所以(2b)2－b2＝3，所以b2＝1，a2＝4，故标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1。故选A。 答案　A 答案与解析 3．椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(6),3) 解析　依题意有2ab＝10,2bc＝5，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)。故选C。 答案　C 答案与解析 4．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq \o(AP,\s\up16(→))＝2eq \o(PB,\s\up16(→))，则椭圆的离心率是________。 解析　如图，因为eq \o(AP,\s\up16(→))＝2eq \o(PB,\s\up16(→))，所以OA＝2OF，所以a＝2c，所以e＝eq \f(1,2)。 答案　eq \f(1,2) 答案与解析 5．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围。 解　当PF1⊥PF2时，△F1PF2是直角三角形，|OP|＝eq \f(|F1F2|,2)＝c。 所以|OP|＝c≥b，即c2≥b2＝a2－c2， 所以a≤eq \r(2)c，eq \f(c,a)≥eq \f(\r(2),2)， 因为0<e<1，所以eq \f(\r(2),2)≤e<1。 $$