第1章 §2 2.2 圆的一般方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 直线与圆 §2　圆与圆的方程 2.2 圆的一般方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.2 圆的一般方程 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①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0； ②不含xy这样的二次项，即C＝0。 微思考 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 2．如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？ 提示：不一定。只有D2＋E2－4F>0时表示圆，否则不表示圆。 提示：若点P在圆内，则xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0；若点P在圆外，则xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0。 类型一 二元二次方程与圆的关系 【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径。 解　(1)由题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq \f(1,5)， 故m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))。 (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq \r(1－5m)。 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆。此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数。 【变式训练】　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________。 解析　由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1。当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq \f(5,4)<0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5。 答案　(－2，－4)　5 答案与解析 (2)已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0。求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上。 证明　因为D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2。 又m≠2，所以(m－2)2>0， 所以D2＋E2－4F>0， 即曲线C是一个圆。 设圆心坐标为(x，y)， 则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2m，,y＝－m))消去m， 得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上。 类型二 求圆的一般方程 【例2】　求满足下列条件的圆的一般方程： (1)圆心在直线y＝x上，与x轴相交于(－1,0)，(3,0)两点； (2)经过A(4,0)，B(3，－3)，C(1,1)三点。 解　(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))。 因为圆心在直线y＝x上，且圆过(－1,0)，(3,0)两点， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝E，,1－D＋F＝0，,9＋3D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－2，,F＝－3，)) 所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0。 (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 分别代入(4,0)，(3，－3)，(1,1)三点，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16＋4D＋F＝0，,9＋9＋3D－3E＋F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2，,F＝0。)) 所以圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0。 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解此方程组，求出D，E，F的值； (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程。 【变式训练】　(1)过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________。 解析　将圆C的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝eq \r(2＋12＋－3－12)＝5。所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25。 答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝25 答案与解析 (2)过三点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的圆的方程为________。 解析　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。由已知，点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0，,7D＋E＋F＋50＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，))解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0。 答案　x2＋y2－8x＋6y＝0 答案与解析 类型三 轨迹问题 【例3】　(1)求到点O(0,0)的距离是到点A(3,0)的距离的eq \f(1,2)的点的轨迹方程。 解　设M(x，y)到O(0,0)的距离是到A(3,0)的距离的eq \f(1,2)。 则eq \f(|MO|,|MA|)＝eq \f(1,2)，即eq \f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝eq \f(1,2)。 化简得x2＋y2＋2x－3＝0。 即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4。 (2)已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。 解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y。)) 因为点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， 所以xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)－8x0－6y0＋21＝0。 所以(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0。 即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋eq \f(21,4)＝0。 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式。 (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程。 (3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程。 【变式训练】　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点。 (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程。 解　(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式得点P(2x－2,2y)。 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1。 (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。 设O为原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0。 1．方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示的轨迹为(　　) A．圆心为(1,2)的圆 B．圆心为(2,1)的圆 C．圆心为(－1，－2)的圆 D．不表示任何图形 解析　因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于(x－1)2＋(y－2)2＝－1，即方程无解，所以该方程不表示任何图形。故选D。 答案　D 答案与解析 2．若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于(　　) A．eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2) C．3 D．－3 解析　由题意知，直线2x－y＋3＝0过圆心。因为圆心坐标为(k,0)，所以2k＋3＝0，k＝－eq \f(3,2)。 答案　B 答案与解析 3．已知一动点M到点A(－4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是_______________________。 解析　设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|，即eq \r(x＋42＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)，整理，得x2＋y2－8x＝0。故所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0。 答案　x2＋y2－8x＝0 答案与解析 4．若圆的圆心为(3,1)，且与x轴相切，则圆的一般方程是__________________。 解析　由题意知圆的半径为1，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－6x－2y＋9＝0。 答案　x2＋y2－6x－2y＋9＝0 答案与解析 5．圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的一般方程。 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。 因为圆C过A(1,2)，B(3,4)， 所以D＋2E＋F＝－5　①， 3D＋4E＋F＝－25　②。 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0。 设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2， 则x1＋x2＝－D，x1x2＝F。 因为|x1－x2|＝6， 所以(x1＋x2)2－4x1x2＝36， 即D2－4F＝36　③。 由①②③得D＝12，E＝－22，F＝27或D＝－8，E＝－2，F＝7。 故圆C的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0或x2＋y2－8x－2y＋7＝0。 $$