第1章 §2 2.1 圆的标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 直线与圆 §2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程　 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 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选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2．1　圆的标准方程　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、吟咏月亮。有诗道:“明月四时好,何事喜中秋?瑶台宝鉴,宜挂玉宇最高头。放出白毫千丈,散作太虚一色,万象入吾眸。星斗避光彩,风露助清幽。”如果把天空看作一个平面,在上面建立一个平面直角坐标系,那么月亮的坐标方程如何表示? 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程。 半径 1．圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于__________的所有点的__________(或轨迹)，其中定点是_______，定长就是_________。 2．圆的标准方程 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2。 3．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 (1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2或d<r； (2)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2或d＝r； (3)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2或d>r。 定长 集合 圆心 微思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，eq \a\vs4\al(r∈R))表示一个圆吗？为什么？ 提示：未必表示圆。当r≠0时，表示圆心为(a，b)，半径为|r|的圆；当r＝0时，表示一个点(a，b)。 类型一 直接法求圆的标准方程 【例1】　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析　因为AB为直径，所以AB的中点(1,2)为圆心，eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2) eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25。 答案　D 答案与解析 (2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________。 解析　因为圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，所以该圆的半径为5，所以该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25。 答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 答案与解析 用直接法求圆的标准方程的策略 (1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程。 (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等。 【变式训练】　已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的标准方程为________。 解析　设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，由题意知eq \f(|2a|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，解得a＝2，则圆C的半径为r＝|CM|＝eq \r(22＋－\r(5)2)＝3。所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9。 答案　(x－2)2＋y2＝9 答案与解析 类型二 待定系数法求圆的标准方程 【例2】　圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________。 解析　解法一：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题设条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10。))故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10。 答案与解析 解法二：(几何性质法)线段AB的中点的坐标为(0，－4)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(－3－－5,2－－2)＝eq \f(1,2)，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，所以弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0。又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r＝eq \r(－1－22＋－2＋32)＝eq \r(10)，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10。 答案　(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法： (1)待定系数法：建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程； (2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径长。一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷。 【变式训练】　已知圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求圆C的方程。 解　解法一：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心为C(a，b)， 由|CA|＝|CB|＝r，CA⊥l， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－a2＋6－b2＝r2，,5－a2＋2－b2＝r2，,\f(b－6,a－3)×\f(4,3)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝\f(9,2)，,r2＝\f(25,4)，)) 所以圆C的方程为(x－5)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq \f(25,4)。 解法二：由题意知直线CA⊥l， 故直线CA的方程为y－6＝－eq \f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0。 又因为kAB＝eq \f(6－2,3－5)＝－2，线段AB的中点坐标为(4,4)， 所以线段AB的垂直平分线方程为y－4＝eq \f(1,2)(x－4)，即x－2y＋4＝0， 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y＋4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝\f(9,2)，)) 所以圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，所以半径r＝eq \f(5,2)。 所以圆C的方程为(x－5)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq \f(25,4)。 类型三 点与圆的位置关系 【例3】　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 解析　由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外。 答案　B 答案与解析 (2)已知点M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________。 解析　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2<26，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥0，,26a<26，))解得0≤a<1。 答案　[0,1) 答案与解析 (1)判断点与圆的位置关系的方法 ①只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可。 ②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断。 (2)灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围。 【变式训练】　已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为________。 解析　由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，即2a2－2>0，解得a<－1或a>1。 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案与解析 四点共圆问题 【典例1】　已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？ 【解】　设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2。 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,3－a2＋4－b2＝r2，))解此方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，,r2＝5。)) 故经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5。 把点D的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5。 于是点D在经过A，B，C三点的圆上， 故A，B，C，D四点在同一个圆上，这个圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5。 判断四点共圆可以用本题所体现的方法，即求出其中三点所在的圆的方程，再判断第四点是否在圆上。另外，有时也用几何法判断，即用四边形对角互补判断。 圆的标准方程的实际应用 【典例2】　赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥。如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径。 【解】　作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高。以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，C(0，b)。可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为(0，t)，半径为r，因为B，C都在圆上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋t2＝r2，,b－t2＝r2，))解得r＝eq \f(4b2＋a2,8b)。 圆的实际应用题，应首先建立直角坐标系，将实际问题转化为坐标问题。 1．圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D 2．已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0<a<1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 3．已知两点P(4,0)，Q(0,2)，则以线段PQ为直径的圆的方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝10 C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝10 B C 4．已知圆C过点(8,1)，且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C的方程为_______。 解析　由题意，圆C过点(8,1)，且与两坐标轴都相切，设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，将点(8,1)代入圆的方程，可得(8－a)2＋(1－a)2＝a2，整理得a2－18a＋65＝0，解得a＝5或a＝13，当a＝5时，圆C的面积较小，此时圆C的方程为(x－5)2＋(y－5)2＝25。 答案　(x－5)2＋(y－5)2＝25 答案与解析 5．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)； (2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)； (3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程。 解　(1)圆心为C(4，－1)， 半径r＝eq \r(5－42＋2＋12)＝eq \r(10)， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10。 (2)设圆心为C(0，b)， 所以r＝eq \r(3－02＋－4－b2)＝5， 所以(4＋b)2＝16＝42， 所以4＋b＝4或4＋b＝－4， 所以b＝0或b＝－8， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25。 (3)设圆心为M(a,0)，因为|MC|＝|MD|， 所以(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2， 即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9， 所以a＝2，r＝|MC|＝eq \r(10)， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10。 $$