第1章 §1 1.5 两条直线的交点坐标(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.5　两条直线的交点坐标　 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.5　两条直线的交点坐标　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 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(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))得到两条直线l1，l2的交点坐标。 公共解 微思考 两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应？ 提示：方程组有唯一解⇔两直线相交；方程组无解⇔两直线平行；方程组有无数组解⇔两直线重合。 类型一 两条直线交点坐标的应用 【例1】　(1)直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a＋1)y＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，－\f(6,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(6,5))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，－\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(6,5))) 解析　由两直线垂直得2a×1＋1×[－(a＋1)]＝0，解得a＝1。由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y－2＝0，,x－2y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(6,5)。))所以这两条直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(6,5)))。 答案　B 答案与解析 (2)在▱ABCD中，已知A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，求点D的坐标。 解　解法一：如图所示，kBC＝eq \f(4－0,3－5)＝－2，kAB＝eq \f(2－0,1－5)＝－eq \f(1,2)，由AD∥BC，CD∥AB，得边AD所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，边CD所在直线的方程为y－4＝－eq \f(1,2)(x－3)，即x＋2y－11＝0。联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,x＋2y－11＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝6。))即D(－1,6)。 解法二：设点D的坐标为(x，y)，由平行四边形的性质知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kAB＝kCD，,kAD＝kBC，))于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(y－4,x－3)，,\f(y－2,x－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝6，))即D(－1,6)。 解法三：利用两条对角线互相平分得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,2)＝\f(1＋3,2)，,\f(y＋0,2)＝\f(2＋4,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝6，))即D(－1,6)。 解法四：如图所示，设O为坐标原点，连接OA，OD，则eq \o(OD,\s\up15(→))＝eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(AD,\s\up15(→))＝eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(BC,\s\up15(→))＝(1,2)＋(3－5,4－0)＝(－1,6)，即D(－1,6)。 求点的坐标的三种途径 途径1：将该点视为两直线的交点，通过联立方程求交点坐标； 途径2：利用待定系数法，即设出点的坐标，由题设条件建立坐标所满足的方程组，求点的坐标； 途径3：向量方法，利用向量的线性运算，求出以原点为起点，该点为终点的向量坐标，即该点的坐标。 【变式训练】　三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值。 解　解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋y＝14，,2x－3y＝14，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，)) 所以两条直线的交点坐标为(4，－2)。 由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上， 将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0， 解得a＝－eq \f(3,4)。 类型二 含参数的直线过定点问题 【例2】　求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标。 解　解法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0， 令m＝0，得x－3y－11＝0； 令m＝1，得x＋4y＋10＝0。解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3y－11＝0，,x＋4y＋10＝0，))得两条直线的交点坐标为(2，－3)。 将点(2，－3)代入直线方程，得 (2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0。 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)。 解法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0， 整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0。 由于m取值的任意性， 有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,－x＋3y＋11＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3。)) 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)。 解决过定点问题常用的三种方法 (1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标。 (2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)。 (3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点。 【变式训练】　求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程： (1)与直线2x＋y＋5＝0平行； (2)与直线2x＋y＋5＝0垂直。 解　解法一：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝5，,2x－3y＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))即交点为(－1,2)。 (1)由所求直线与直线2x＋y＋5＝0平行知，所求直线的斜率k＝－2，故所求直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0。 (2)因为直线2x＋y＋5＝0的斜率为－2，则所求直线的斜率k＝eq \f(1,2)，故所求直线方程为y－2＝eq \f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0。 解法二：易知直线2x－3y＋8＝0与直线2x＋y＋5＝0即不平行也不垂直，所以直线2x－3y＋8＝0不是所求直线，所以可设经过l1与l2交点的直线系方程为3x＋4y－5＋λ(2x－3y＋8)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4－3λ)y＋(8λ－5)＝0。 (1)由所求直线与直线2x＋y＋5＝0平行得(3＋2λ)×1－2×(4－3λ)＝0，解得λ＝eq \f(5,8)。 此时，所求直线方程为2x＋y＝0，经检验，满足条件，故所求直线方程为2x＋y＝0。 (2)由所求直线与直线2x＋y＋5＝0垂直得(3＋2λ)×2＋(4－3λ)×1＝0，解得λ＝－10。 故所求直线方程为x－2y＋5＝0。 类型三 对称问题 【例3】　(1)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2,1) B．(－2,5) C．(2，－5) D．(4，－3) 解析　设对称点坐标为(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a－3,2)＋\f(b＋4,2)－2＝0，,\f(b－4,a＋3)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝5，))即Q(－2,5)。故选B。 答案　B 答案与解析 (2)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程。 解　取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0，2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b＋2,2)－5＝0，,\f(b－2,a)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，)) 所以B(3,5)。 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，)) 所以直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)， 所以反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上， 该直线的方程为y－4＝eq \f(4－5,1－3)(x－1)， 整理得x－2y＋7＝0。 故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0。 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称： ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y。)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决。 (2)轴对称： ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0。)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决。 【变式训练】　(1)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3,4)对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 解析　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋1,2)＝3，,\f(a－b－1,2)＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝5，,a－b＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝－2，))故ab＝7×(－2)＝－14。 答案　C 答案与解析 (2)已知直线l：y＝3x＋3，则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为________。 解析　设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x′＋4,2)，\f(y′＋5,2)))在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7。))所以点P′的坐标为(－2,7)。 答案　(－2,7) 答案与解析 1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10) B．(－9,10) C．(9,10) D．(9，－10) 解析　解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝10，))即交点坐标是(－9,10)。 答案　B 答案与解析 2．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 解析　因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－k＝0，,a＋12＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－12，,k＝－24。))故选A。 答案　A 答案与解析 3．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________。 解析　因为直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，所以a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,x－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))所以点P的坐标为(3,3)。 答案　(3,3) 答案与解析 4．直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必经过定点________。 解析　将原方程按m的降幂排列，整理得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，此式对于m的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，m的一次项系数与常数项均等于0，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4。))所以m为任意实数时，所给直线必经过定点(9，－4)。 答案　(9，－4) 答案与解析 5．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程。 解　解法一：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得交点坐标为(－1,2)。又由直线l3的斜率为eq \f(3,5)，得直线l的斜率为－eq \f(5,3)，则直线l的方程为y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0。 解法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0。又直线l过直线l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0。 解法三：由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0。其斜率为－eq \f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq \f(5,3)，解得λ＝eq \f(1,5)，则直线l的方程为5x＋3y－1＝0。 $$