1.1.4 两条直线的平行与垂直(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦直线平行与垂直判定，以斜率计算为基础，通过分层训练构建“概念辨析-条件应用-综合迁移”的方法体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|8题|斜率公式应用、平行垂直充要条件、斜率存在性讨论|从斜率概念出发，推导平行（k1=k2且不重合）、垂直（k1k2=-1）判定条件，结合方程系数关系深化理解| |综合运用|6题|分类讨论含参问题、数形结合求最值、定点问题转化|拓展至含参数直线位置关系、三角形面积最值等综合场景，强化逻辑推理与数学建模能力|

1.4　两条直线的平行与垂直 1.过点A（2，－3）和点B（－5，－3）的直线与直线y=3的位置关系是（　　） A．垂直　 B．平行 C．重合　 D．以上都不对 2.已知直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，直线 l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（　　） A．垂直　 B．平行 C．重合　 D．相交但不垂直 3.经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5=0的直线方程为（　　） A．x－2y＋4=0　 B．2x＋y－7=0 C．x－2y＋3=0　 D．x－2y＋5=0 4.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），且直线l与l1平行，则实数a的值为（　　） A．0　 B．1 C．6　 D．0或6 5.已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2=0与l2：x＋ay＋1=0平行，则实数a的值为（　　） A．－1或2　 B．0或2 C．2　 D．－1 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A．若l1∥l2，则k1=k2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2=－1 C．直线l1∥l2的充要条件是倾斜角α1=α2 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 7.〔多选〕已知直线l：y=kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是（　　） A．直线恒过一定点 B．直线可以平行于x轴 C．直线可以垂直于x轴 D．若直线不过第四象限，则k＞0 8.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m=0的两根，若l1⊥l2，则m=　　　　；若l1∥l2，则m=　　　　． 9.已知集合A={（x，y）|x＋ay－a=0，x，y∈R}，B={（x，y）|ax＋（2a＋3）y－1=0，x，y∈R}．若A⋂B=，则实数a=　　　　． 10.已知直线l1：y=－x＋和l2：6my=－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 11.已知直线l1：x－my＋1=0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2＋|PB|2=（　　） A.10　　 B.13 C.16　　 D.20 12.〔多选〕以A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为顶点的三角形中，下列结论正确的有（　　） A．kAB=－ B．kBC=－ C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 13.（2026•盐城月考）已知直线l1∥l2，其方程分别为l1：x＋2y＋2=0，l2：mx＋（1－n）y＋1=0，其中m＞0，n＞0，则＋的最小值为　　　　． 14.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，求△ABC的面积的最小值． 1.4　两条直线的平行与垂直 1.B　易知两条直线的斜率都为0且不重合，所以平行. 2.A　直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，则直线l1的斜率k1＝＝1.直线l2的倾斜角为135°，则直线l2的斜率k2＝tan 135°＝－1，所以k1·k2＝－1，故l1与l2垂直. 3.A　经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝（x－2），化简可得x－2y＋4＝0，故选A. 4.C　因为直线l的倾斜角为，所以l的斜率为tan ＝－1.因为直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），所以直线l1的斜率为.因为直线l与l1平行，所以＝－1，解得a＝6. 5.D　由l1∥l2知，a×a＝1×（a＋2），即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1. 6.CD　对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误.对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B错误.对于C，由直线的倾斜角α1＝α2得到两直线平行，即l1∥l2；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，显然正确，所以C正确.对于D，若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行，所以D正确. 7.AB　直线l：y＝kx＋3k＋4即l：y－4＝k（x＋3），k∈R，所以直线经过定点P（－3，4），A正确；当k＝0时，直线平行于x轴，B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直于x轴，C错误；若直线l不过第四象限，则即k≥0，D错误.故选A、B. 8.－2　2　解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2. 9.3　解析：因为A∩B＝∅，所以直线x＋ay－a＝0与直线ax＋（2a＋3）y－1＝0没有交点，所以直线x＋ay－a＝0与直线ax＋（2a＋3）y－1＝0平行，所以1×（2a＋3）－a×a＝0，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，两直线方程分别为x－y＋1＝0，－x＋y－1＝0，此时两直线重合，舍去；当a＝3时，两直线方程分别为x＋3y－3＝0，3x＋9y－1＝0，此时两直线平行，所以a的值为3. 10.解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋. 由－＝－，得m＝±. 由≠，得m≠且m≠， 所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·（－）＝－1无解. 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直. 11.B　直线l1：x－my＋1＝0过定点A（－1，0），直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m（x－1）＋y＋3＝0过定点B（1，－3）.因为1×m＋（－m）×1＝0，所以l1⊥l2且垂足为点P，连接AB，则在Rt△APB中，｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝[1－（－1）]2＋（－3－0）2＝13. 12.AC　kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形.故A、C正确，B、D错误. 13.8　解析：因为直线l1：x＋2y＋2＝0和l2：mx＋（1－n）y＋1＝0（m＞0，n＞0）平行，所以n≠1且它们的斜率相等，在y轴上的截距不相等，所以＝－，且≠－1，所以2m＋n＝1（m＞0，n＞0），所以＋＝（2m＋n）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，所以＋的最小值为8. 14.解：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B（a，－2），C（b，3）. ∵AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，∴·＝－1， 即ab－6＝0，ab＝6，b＝. ∴Rt△ABC的面积S＝AB·AC＝·＝·＝≥＝6（当且仅当a2＝4时取等号）. ∴△ABC的面积的最小值为6. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $