第1章 §1 1.3 第2课时 直线方程的两点式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 直线与圆 §1　直线与直线的方程 　1.3　直线的方程 　 第2课时　直线方程的两点式 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 第2课时　直线方程的两点式 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、 北大街东面P处,如图所示。公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km。现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处。那么如何确定直线大道的位置? 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程。 直线的两点式、截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点 P1(x1，y1)， P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 两点A(a,0)， B(0，b)，ab≠0 方程 _______________ _______________ eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 1．若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中x1＝x2，则直线方程怎样表示，若y1＝y2呢？ 2．eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1是直线的截距式方程吗？ 提示：若x1＝x2，则直线方程为x＝x1；若y1＝y2，则直线方程为y＝y1。 提示：不是。化为eq \f(x,2)＋eq \f(y,－3)＝1才是直线的截距式方程。 类型一 直线的两点式方程 【例1】　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________。 解析　由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2。 答案　x＝2 答案与解析 (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________。 解析　由直线方程的两点式得eq \f(y－－1,4－－1)＝eq \f(x－2,－3－2)，即eq \f(y＋1,5)＝eq \f(x－2,－5)。所以直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，因为点P(3，m)在直线AB上，所以m＋1＝ －3＋2，得m＝－2。 答案　－2 答案与解析 由两点式求直线方程的步骤 (1)确定直线所经过两点的坐标； (2)由直线的两点式方程写出直线的方程。 【变式训练】　已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程。 解　因为A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2。 因为A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为eq \f(y－1,－1－1)＝eq \f(x－4,2－4)，即x－y－3＝0。 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为eq \f(y－2,1－2)＝eq \f(x－2,4－2)，即x＋2y－6＝0。 所以三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0。 类型二 直线的截距式方程 【例2】　直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程。 解　设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(ab≠0)， 由已知得a＋b＝12　①。 又直线l过点(－3,4)，所以eq \f(－3,a)＋eq \f(4,b)＝1　②。 由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝16。)) 故所求的直线方程为eq \f(x,9)＋eq \f(y,3)＝1或eq \f(x,－4)＋eq \f(y,16)＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0。 【互动探究】　将例2中“截距之和为12”改为“截距之积为6”，求直线l的方程。 解　设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 由题意知ab＝6　①。 又直线l过点(－3,4)，所以eq \f(－3,a)＋eq \f(4,b)＝1　②。 由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝－4。)) 故所求的直线方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,－\f(3,2))＋eq \f(y,－4)＝1， 即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0。 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便。 (2)在解决与截距有关的直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。 (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零。在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论。 【变式训练】　已知直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程。 解　由题意可设A(x,0)，B(0，y)，由中点坐标公式可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x＋0,2)＝4，,\f(0＋y,2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝2，))所以A(8,0)，B(0,2)。 由直线的截距式方程得l的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,2)＝1， 即x＋4y－8＝0。 类型三 直线方程的实际应用 【例3】 如图，某小区内有一块荒地ABCDE，已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m，AE∥CD，BC∥DE，∠C＝90°，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发。问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？ 解　设计需要开发的长方形地面分三种情况。 ①当一顶点在边BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，所以S1＝210×240＝50 400(m2)。 ②当一顶点在边EA上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，所以S2＝180×300＝54 000(m2)。 ③当一顶点在边AB上时，设此点为P。 以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可得A(0,60)，B(90,0)， 所以AB所在直线的方程为eq \f(x,90)＋eq \f(y,60)＝1，即y＝60eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,90)))。 所以y＝60－eq \f(2,3)x，从而可设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，60－\f(2,3)x))，其中0≤x≤90， 所以所开发部分的面积为S3＝(300－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(240－60＋\f(2,3)x))＝ －eq \f(2,3)x2＋20x＋54 000(0≤x≤90)， 所以当x＝－eq \f(20,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝15，且y＝60－eq \f(2,3)×15＝50时， S3取最大值为－eq \f(2,3)×152＋20×15＋54 000＝54 150(m2)。 综上所述，当长方形地面一顶点落在AB边上，距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2。 二次函数最值问题，一方面要看顶点位置，另一方面还要看定义域。结合图形求解，有时并非在顶点处取得最值。 【变式训练】　如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，那么需要购买行李车票，行李费用y(单位：元)与行李重量x(单位：kg)的关系用直线AB的方程表示。 (1)求直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少千克行李？ 解　(1)由图可知，A，B两点坐标分别为A(60,6)，B(80,10)。 由直线方程的两点式或点斜式可求得直线AB的方程是x－5y－30＝0。 (2)依题意，令y＝0，得x＝30， 即旅客最多可免费携带30 kg行李。 截距式方程中的分类讨论 【典例】　(1)求经过点A(－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程； (2)求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程。 【解】　(1)①当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设其方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1。将A(－3,4)代入上式，有eq \f(－3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－7，所以所求的直线方程为x－y＋7＝0。 ②当直线l在坐标轴上的截距都为零时，显然可设直线方程为y＝kx，将点A(－3,4)代入可得k＝－eq \f(4,3)，所以此时直线方程为4x＋3y＝0。 综上所述，所求直线方程为x－y＋7＝0或4x＋3y＝0。 (2)由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为2x－5y＝0。 当直线l在坐标轴上的截距不为零时， 设直线l的方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1， 将点(5,2)代入方程得eq \f(5,2a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝eq \f(9,2)。 所以直线l的方程为x＋2y－9＝0。 综上，所求直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0。 直线的截距式方程在使用时，首先考虑直线的截距是否为0，否则极易漏掉直线过原点这样的特殊情况。 【变式训练】　过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________。 解析　当直线过原点时，斜率为eq \f(3－0,2－0)＝eq \f(3,2)，故直线的方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为eq \f(x,m)＋eq \f(y,m)＝1，把P(2,3)代入直线的方程得m＝5，故直线的方程为x＋y－5＝0。 综上，满足条件的直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0。 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0 答案与解析 1．直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析　直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，若此直线过一、二、三象限，则a<0，b>0。故选C。 答案　C 答案与解析 2．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 解析　点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得eq \f(y－2,4－2)＝eq \f(x－3,2－3)，即2x＋y－8＝0。 答案　A 答案与解析 3．一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0)，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为__________________。 解析　由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q(2,0)和P(6,4)关于x轴的对称点M(6，－4)，其直线方程为eq \f(y－0,－4－0)＝eq \f(x－2,6－2)，即y＝－x＋2。 答案　y＝－x＋2 答案与解析 4．直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是________。 解析　直线在两坐标轴上的截距分别为eq \f(1,a)与eq \f(1,b)，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为eq \f(1,2|ab|)。 答案　eq \f(1,2|ab|) 答案与解析 5．一条光线从点A(2,3)出发，经y轴反射后，通过点B(4，－1)，求入射光线和反射光线所在的直线方程。 解　点A(2,3)关于y轴的对称点为A′(－2，3)，点B(4，－1)关于y轴的对称点为eq \a\vs4\al(B′－4)，－1)。 则入射光线所在直线AB′的方程为： eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x＋4,2＋4)，即2x－3y＋5＝0。 反射光线所在直线A′B的方程为： eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x－4,－2－4)，即2x＋3y－5＝0。 $$