第1章 §1 1.1&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 第一章 直线与圆 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 直线与圆 §1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §1　直线与直线的方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点, 在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数,)∠BAD=α,则坡度k==。k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小。那么坡度与道路的倾斜程度有什么关系? 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式。 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l_______________时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常倾斜角用α表示。 (2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为_______。 (3)范围：[0，π)(或0°≤α<180°)。 2．经过不同两点的直线的斜率公式 经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝__________。 首次重合 0 eq \f(y2－y1,x2－x1) 3．直线的斜率与倾斜角的关系 倾斜角不是eq \f(π,2)的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中α≠\f(π,2)))。 (1)当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大。 (2)当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大。 (3)α＝eq \f(π,2)时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在。 4．直线的方向向量 若k是直线l的斜率，则v＝___________是它的一个方向向量；若直线l的一个 方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝_________。 (1，k) eq \f(y,x) 微思考 1．每一条直线都有一个确定的倾斜角吗？每一条直线都有斜率吗？ 2．当k>0时，直线的倾斜角是什么角？k<0呢？ 提示：每一条直线都有一个确定的倾斜角，但不一定都有斜率，当直线的倾斜角是90°时，没有斜率。 提示：当k>0时，直线的倾斜角是锐角；当k<0时，直线的倾斜角是钝角。 类型一 直线倾斜角的概念 【例1】　(1)(多选)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°。 答案　BC 答案与解析 (2)(多选)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．45°－α C．α－135° D．135°－α 解析　如图①所示，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角是α＋45°；如图②所示，当135°≤α<180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°。 答案　AC 答案与解析 求直线倾斜角的关键及两点注意 (1)关键：依据平面几何的知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角。 (2)注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°。②直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。 【变式训练】　已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________。 解析　如图，直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°。 答案　135° 答案与解析 类型二 求直线的斜率 命题方向1：根据倾斜角求斜率 【例2】　在平面直角坐标系内，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　　) A．－2eq \r(3) 　B．0 C.eq \r(3) D．2eq \r(3) 解析　由题意知，△ABC的另外两边所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以另外两边所在直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0。 答案　B 答案与解析 根据倾斜角求斜率就是采用定义法k＝tan α求直线的斜率，因此需要熟记0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值。 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) －eq \r(3) －1 －eq \f(\r(3),3) 【变式训练】　已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，则直线l′的斜率为________。 解析　设直线l，l′的倾斜角分别为α，β，则tan α＝2，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，所以β＝α＋60°，所以直线l′的斜率为k＝tan(α＋60°)＝eq \f(tan α＋tan 60°,1－tan α tan 60°)＝eq \f(2＋\r(3),1－2\r(3))＝－eq \f(8＋5\r(3),11)。 答案　－eq \f(8＋5\r(3),11) 答案与解析 命题方向2：根据公式求斜率 【例3】　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α。 (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)。 解　(1)斜率存在。直线AB的斜率kAB＝eq \f(5－3,4－2)＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°。 (2)斜率存在。直线CD的斜率kCD＝eq \f(－1－3,2－－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°。 (3)斜率不存在。因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°。 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的。 (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置 。 【变式训练】　(1)直线经过点P(3,2)，Q(－3,3)，则k＝________，直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)。 解析　k＝eq \f(3－2,－3－3)＝－eq \f(1,6)<0，所以直线PQ的倾斜角为钝角。 答案　－eq \f(1,6)　钝 答案与解析 (2)过点P(－2，m)，Q(m,4)两点的直线的方向向量为(1,2)，则m的值为________。 解析　由斜率公式k＝eq \f(4－m,m－－2)＝2，得m＝0。 答案　0 答案与解析 类型三 斜率公式的应用 【例4】　(1)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.k≥eq \f(3,4)或k≤－4 B．k≥eq \f(3,4)或k≤－eq \f(1,4) C.－4≤k≤eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)≤k≤4 解析　画出图象如图所示，由图可知，斜率k的取值范围是[kPB，＋∞)∪(－∞，kPA]，根据已知两点的斜率公式，有kPA＝－4，kPB＝eq \f(3,4)，所以k的取值范围是k≥eq \f(3,4)或k≤－4。 答案　A 答案与解析 (2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝________。 解析　因为A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，所以kAB＝kAC，又kAB＝eq \f(3－－3,4－2)＝3，kAC＝eq \f(k－－3,5－2)＝eq \f(k＋3,3)，所以3＝eq \f(k＋3,3)，即k＝6。 答案　6 答案与解析 1.用斜率公式解决三点共线的方法 2．直线的斜率与倾斜角的函数关系 直线的斜率k＝tan α，0°≤α＜180°且α≠90°。 【变式训练】　(1)若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　　) A.2 B．3 C．9 D．－9 解析　因为kAB＝kBC，所以eq \f(1－b,3－－2)＝eq \f(b－11,－2－8)，b＝－9。 答案　D 答案与解析 (2)已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为________。 解析　因为A(1,0)，B(0,1)，又过点P的直线l与线段AB有交点，所以直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))。 答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) 答案与解析 1．若直线l经过第二、第四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 解析　由直线倾斜角的定义知C正确。 答案　C 答案与解析 2．过点A(－eq \r(3)，eq \r(2))与点B(－eq \r(2)，eq \r(3))的直线的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．60° 解析　kAB＝eq \f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－－\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)－\r(2))＝1。故直线的倾斜角为45°。 答案　A 答案与解析 3．过点P(－3，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，那么m的值为(　　) A．1或2 B．2 C．1或eq \f(1,2) D.eq \f(1,2) 解析　由题意知eq \f(m－4,－3－m)＝1，得m＝eq \f(1,2)。 答案　D 答案与解析 4．光线从点A(－2，eq \r(3))射到x轴上的点B后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,2eq \r(3))，则光线BC所在直线的倾斜角为________。 解析　点A(－2，eq \r(3))关于x轴的对称点为A′(－2，－eq \r(3))，由物理知识知kBC＝kA′C＝eq \f(2\r(3)－－\r(3),1－－2)＝eq \r(3)，所以所求倾斜角为60°。 答案　60° 答案与解析 5．一束光线从点A(－2,3)射入，经x轴上点P反射后，通过点B(5,7)，求点P的坐标。 解 由光的反射原理，知kAP＝－kBP，设P(x,0)，则eq \f(0－3,x－－2)＝－eq \f(0－7,x－5)，解得x＝eq \f(1,10)，即点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，0))。 $$