精品解析：山西省大同市云州区两校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A B. C. D. 3. 如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（ ）     A. B. C. D. 4. “杏花村里杏花开”近日，汾阳杏花村迎来杏花盛开时节，吸引众多游客前来观赏．已知杏花花粉的直径约为米，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B. 有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 8. 春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为( ) A B. C. D. 9. 2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 13. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ____________________． 14. 将按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点，点B的对应点是点，为折痕．若，则的度数为________． 15. 如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程． 18. 如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 19. 某校项目化学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量如图所示的晋祠博物馆雕塑底座的长度． 问题驱动：能利用哪些数学原理测量雕塑底座的长度？ 组内探究：由于雕塑底座的长度无法直接测量，项目化学习小组的同学分别设计出了如下两种方案，从而计算雕塑底座的长度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可， 如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． （1）经组内成员讨论，方案①②中，有一个方案可行，一个方案不可行，请问哪个可行？并说明方案可行的理由． （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________． 20. 龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…与的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次淇淇输入为，则关联盒输出为 ；若关联盒第二次输出为，则淇淇输入的是 ； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含n的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②淇淇发现可以化为一个完全平方式，请解释说明． 21. 阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网络 由边长为1小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：如图①，延长到格点D，使，连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ，． ，． 又点F是的中点， 平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图②，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同一方法可得，． ，，．． ，． 又，． …… 任务： （1）请写出方法一中“依据”的内容：_____________________________________． （2）请将方法二中的说理过程补充完整． （3）如图③④，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是格点三角形，且，根据材料中的思路，用两种方法作出的角平分线． 22. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积50升 电池容量80千瓦时 油价8元/升 电价0.6元/千瓦时 续航里程千米 续航里程千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？ （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 23. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末考试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x-2≠0， 解得x≠2． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于0，分式无意义，分母等于0． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为， 故选：C． 3. 如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质和勾股定理，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，作于H，根据含度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作于H，     ∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，即，， ∴等腰直角三角形的直角边， 故选B． 4. “杏花村里杏花开”近日，汾阳杏花村迎来杏花盛开时节，吸引众多游客前来观赏．已知杏花花粉的直径约为米，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算，根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通分，再根据分式加减法则进行计算即可． 【详解】解：， ＝， ＝， ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算． 7. 如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B. 有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【详解】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等， 与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：D． 8. 春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是关键．根据三角形外角的性质得，根据，得，所以． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，以及双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，列出方程即可． 【详解】解：设购进单目显微镜y台，则购进双目显微镜台，由题意，得： ； 故选B． 10. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，连接交于点，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ． 故选： C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 13. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同，列方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程． 【详解】解：设一片槐树叶一年平均滞尘量为， 则一片银杏树叶一年平均滞尘量为， 由题意得：． 故答案为：． 14. 将按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点，点B的对应点是点，为折痕．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，列出相等关系的式子． 详解】解：设交于点，交于点， 由折叠得：，， ∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，整式乘法的运算，熟练掌握分式与整式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 分式方程两边乘以，得 ∴， 解得： 经检验是原方程的解． 18. 如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据得，由角平分线的定义得，所以，再根据等腰三角形的判定得，再结合得，即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 19. 某校项目化学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量如图所示的晋祠博物馆雕塑底座的长度． 问题驱动：能利用哪些数学原理测量雕塑底座的长度？ 组内探究：由于雕塑底座的长度无法直接测量，项目化学习小组的同学分别设计出了如下两种方案，从而计算雕塑底座的长度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可， 如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． （1）经组内成员讨论，方案①②中，有一个方案可行，一个方案不可行，请问哪个可行？并说明方案可行的理由． （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________． 【答案】（1）方案①可行，详见解析 （2）或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“”可证，然后问题可求解； （2）根据等腰三角形的性质可进行求解； 【小问1详解】 解：方案①可行，方案②不行． 理由：在和中， ， ． ． 方案②中缺少条件证明， 所以方案①可行，方案②不行． 小问2详解】 解：由（1）及题意可知：当添加或时，结合，根据“等腰三角形的三线合一”可解答； 故答案为：或（答案不唯一）． 20. 龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…与的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次淇淇输入为，则关联盒输出为 ；若关联盒第二次输出为，则淇淇输入的是 ； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含n的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②淇淇发现可以化为一个完全平方式，请解释说明． 【答案】（1）， （2）①，；②说明见解析 【解析】 【分析】本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式． （1）根据题意利用整式计算即可； （2）①根据题意分别表示出和代数式再化简即可；②利用完全平方公式定义即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 第一次淇淇输入为，则关联盒输出为：， 关联盒第二次输出为，则淇淇输入的是：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①，； ②， ∵， ∴可以化为一个完全平方式． 21. 阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网络 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：如图①，延长到格点D，使，连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ，． ，． 又点F是的中点， 平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图②，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同一方法可得，． ，，．． ，． 又，． …… 任务： （1）请写出方法一中“依据”的内容：_____________________________________． （2）请将方法二中的说理过程补充完整． （3）如图③④，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，是格点三角形，且，根据材料中的思路，用两种方法作出的角平分线． 【答案】（1）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(或等腰三角形“三线合一”) （2）详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图——角平分线，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和角平分线的判定， （1）根据等腰三角形的性质即可知答案为等腰三角形的三线合一； （2）结合已知可知，即可证明，则有，故结论成立； （3）根据第一问利用等腰三角形的性质可得图③，结合第二问的结论利用三角形全等即可得图④． 【小问1详解】 解：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合；(或等腰三角形“三线合一”)； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 即是的角平分线； 【小问3详解】 解：如图③④，即为的角平分线． ． 22. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积50升 电池容量80千瓦时 油价8元/升 电价0.6元/千瓦时 续航里程千米 续航里程千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？ （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元． （2）当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出题中所蕴含的等量关系和不等关系列出分式方程和不等式是解题关键． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元可列出方程，求得，再回答即可； （2）设每年行驶的里程为m千米，根据题意可得一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 依题意，得， 解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ． 答：燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元． 【小问2详解】 设每年行驶的里程为m千米． 依题意，得， 解得． 答：当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低． 23. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论； 拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系； 应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A到BP的距离． 【详解】解：发现：（1）证明： ∵AH⊥BC，∠BAC=90°， ∴∠AHC=90°=∠BAC． ∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°． ∴∠CAH=∠B， 在△ABH和△CAH中， ， ∴△ABH≌△CAH．（AAS）． ∴BH=AH，AH=CH． ∴AH=BC． 拓展：∠DCE的度数为90°， 线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD， 理由如下： ∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵AD=AE，AB=AC， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠DCE=90°； ∵D、B、C三点共线， ∴DB+BC=CD， ∵DB=CE，AH=BC， ∴CE+2AH=CD． 应用：点A到BP的距离为：或． 理由如下： 如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1， ∴DP=BP-BD=6-1=5， ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=； 如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=90°，∠BPC=90°， ∴∠ACP+∠ABP=180°， ∴∠ACP=∠ABD， ∵AB=AC， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1 ∴DP=BP+BD=6+1=7． ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=． 综上所述：点A到BP距离为：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $