精品解析：山东省滨州市阳信县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末学习力调研 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. 2025 C. D. 1 4. 如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则嘉嘉该次作业的得分为（ ） 成绩： ① ③ ② ④ A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 5. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. B. C. D. 6. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A. B. C. D. 8. 如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，，若平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（　　） A ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 因式分解：_________． 10. 已知代数式是一个完全平方式，则实数的值为_____． 11. 若关于的分式方程无解，则_____． 12. 实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____． 13. 如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距_____海里． 14. 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是多少． 15. 如图，是等边三角形，是边上高，且，，是的中点，是上的一个动点，与的和最小为_____． 16. 如下图，南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，“杨辉三角”两腰上的数都是，其余每个数为它上方左右两个数的和，它给出（为非负整数），当，，，，时的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的各项系数的规律： 则展开式中的系数为，则的值是_____． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 计算： （1） （2） 18. （1）解方程： （2）先化简，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E在BC上，AE是∠BAC的平分线，BE＝AE，∠B＝40°． （1）求∠EAD的度数； （2）求∠C度数． 20. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 21. 如图，已知是的一个外角．请利用直尺和圆规完成如下操作（保留作图痕迹，不写作法）： （1）求作射线，使； （2）在线段上确定一点，使点到点、的距离相等． 22. 2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，它的整体造型巧妙借鉴中华传统文化中甲骨文的“巳”字，且以青绿色为主调，象征春意盎然，勃勃生机．因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．阳信县某中学为激励学生奋发向上，决定购买一批“巳升升”来奖励学生，经调查后发现，市场上有两种材质的吉祥物，已知使用材质生产的吉祥物比材质的吉祥物每个贵50元，用3000元购买材质的吉祥物的数量是用1500元购买材质吉祥物数量的4倍． （1）求购买一件材质和一件材质的吉祥物各需多少元？ （2）现在该学校准备用不超过3000元购买、两种材质的吉祥物共50个．恰逢商家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用材质的吉祥物的价格按原价的九折出售，使用材质的吉祥物的价格比原价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个材质的吉祥物？ 23. 【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 24. 如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． （1）求点、的坐标； （2）如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． （3）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末学习力调研 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可． 【详解】解：对于来说前面有个， ； 故选：B 3. 点与点关于轴对称，则的值是（ ） A B. 2025 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征求出的值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得， ． 故选C． 4. 如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则嘉嘉该次作业的得分为（ ） 成绩： ① ③ ② ④ A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方以及完全平方公式，合并同类项；熟练掌握以上运算法则是解题的关键，根据积的乘方，幂的乘方以及完全平方公式，合并同类项逐项分析判断，即可求解． 【详解】①，故①正确 ② ，故②不正确 ③，故③不正确 ④和不能合并，故④错误 每道题25分，则嘉嘉该次作业的得分为分 故选：A． 5. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选C． 6. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线的性质，掌握三角形中线平分面积的性质即可求解． 根据尺规作图确定中线即可求解． 【详解】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意； 故选：C ． 7. 根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0的条件等知识，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0条的件解答即可． 【详解】解：当时，分式无意义， ∴分式的分母可能是， 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是， ∴分式可能是． 故选：C． 8. 如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，，若平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，由题意可得，即可判断①；证明，即可判断②；由等边对等角结合三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，推导出，即可判断③；求得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 因式分解：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10. 已知代数式是一个完全平方式，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方公式可得，即可得解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 11. 若关于的分式方程无解，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程解的情况求参数，解分式方程可得，再根据分式方程无解可得，即，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，，， ． 故答案为：． 13. 如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距_____海里． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查方向角的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．根据题意证明是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是多少． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理， 连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E． ∵,， ∴． ∵,， ∴． ∴ 在中， 15. 如图，是等边三角形，是边上的高，且，，是的中点，是上的一个动点，与的和最小为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，垂直平分线判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用对称找出与的和为最小值的情况．连接，连接，结合等边三角形性质，得到是边的垂直平分线，进而推出与的和最小，即最小，当、、三点共线时，与的和最小为，结合等边三角形性质，证明，最后利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：连接，连接， 是等边三角形，， 是边的垂直平分线， ， ∴， 当、、三点共线时，最小， 与的和最小为， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， 即与的和最小为， 故答案为：． 16. 如下图，南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，“杨辉三角”两腰上的数都是，其余每个数为它上方左右两个数的和，它给出（为非负整数），当，，，，时的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的各项系数的规律： 则展开式中的系数为，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是能根据题意发现展开式中（为大于等于的整数）这一项系数为．据此可得答案． 【详解】解：由题知， 展开式中这一项的系数为； 展开式中这一项系数为； 展开式中这一项的系数为； …， 依此类推，展开式中（为大于等于的整数）这一项系数为， ∴的展开式中含有这一项， ∵展开式中的系数为， ∴， 解得：， 即的值是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算二次根式的混合运算、乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、利用完全平方公式、平方差公式进行计算是解题的关键． （1）先利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的乘除法则计算，结果化为最简二次根式，再合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简式子，再去括号、合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式 18. （1）解方程： （2）先化简，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，最后运算加减，化简得，注意分式有意义，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴方程的两边都乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是原分式方程的解． （2）解： ． 且， 且， 当时， 原式． 19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E在BC上，AE是∠BAC的平分线，BE＝AE，∠B＝40°． （1）求∠EAD的度数； （2）求∠C的度数． 【答案】（1）10°；（2）60°． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得到∠B=∠BAE=40°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAE=80°，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：（1）∵BE＝AE，∠B＝40°， ∴∠B＝∠BAE＝40°， ∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝80°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADE＝90°， ∴∠EAD＝180°﹣∠ADE﹣∠AEC ＝180°﹣90°﹣80° ＝10°； （2）∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠BAE＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC， ＝180°﹣40°﹣80° ＝60°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角），三角形内角和定理（三角形内角和等于180°）、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 20. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 21. 如图，已知是的一个外角．请利用直尺和圆规完成如下操作（保留作图痕迹，不写作法）： （1）求作射线，使； （2）在线段上确定一点，使点到点、的距离相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，作垂线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理，垂直平分线的性质． （1）作的角平分线即可，则射线即为所求； （2）作的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵ ∴， 根据作图可得是的角平分线， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求 根据作图可得在的垂直平分线上且在上，则点到点、的距离相等． 22. 2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，它的整体造型巧妙借鉴中华传统文化中甲骨文的“巳”字，且以青绿色为主调，象征春意盎然，勃勃生机．因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．阳信县某中学为激励学生奋发向上，决定购买一批“巳升升”来奖励学生，经调查后发现，市场上有两种材质的吉祥物，已知使用材质生产的吉祥物比材质的吉祥物每个贵50元，用3000元购买材质的吉祥物的数量是用1500元购买材质吉祥物数量的4倍． （1）求购买一件材质和一件材质的吉祥物各需多少元？ （2）现在该学校准备用不超过3000元购买、两种材质的吉祥物共50个．恰逢商家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用材质的吉祥物的价格按原价的九折出售，使用材质的吉祥物的价格比原价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个材质的吉祥物？ 【答案】（1）购买一件材质吉祥物需要50元，购买一件材质的吉祥物需要100元 （2）该学校此次最多可购买10个材质的吉祥物 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等量关系，正确建立方程和不等式是解题关键． （1）设购买一件材质的吉祥物需要元，则购买一件材质的吉祥物需要元，根据用3000元购买材质的吉祥物的数量是用1500元购买材质吉祥物数量的4倍建立方程，解方程即可得； （2）设该学校此次购买个材质的吉祥物，则购买个材质的吉祥物，根据价格和费用不超过3000元建立不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：设购买一件材质的吉祥物需要元，则购买一件材质的吉祥物需要元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：购买一件材质的吉祥物需要50元，购买一件材质的吉祥物需要100元． 小问2详解】 解：设该学校此次购买个材质的吉祥物，则购买个材质的吉祥物， 由题意得：， 解得：， 所以的最大值为10， 答：该学校此次最多可购买10个材质的吉祥物． 23. 【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， ． 24. 如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足． （1）求点、的坐标； （2）如图1，若的坐标为，且于点交于点． ①求证：． ②试求点的坐标． （3）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）①见解析；② （3）的值不发生改变，等于4 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据平方根和平方的非负性即可求出答案； （2）①根据坐标得到，再通过等角的余角相等证明和，即可证明结论； ②由①得到，即可求出答案； （3）连接，证明，得到他们的面积相等，即可得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解： ； ； 点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 ①证明：点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：的值不发生改变，等于4， 理由如下：如图，连接， 为的中点，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 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