精品解析：四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级上学期期末质量监测数学试题

2024年秋九年级期末质量监测数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 刘徽的割圆术 B. 中国七巧板 C. 杨辉三角 D. 赵爽弦图 2. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 4. 如图，将绕点C逆时针旋转（）得到，点A的对应点恰好落在AB边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 6. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是 （ ） A. 4 B. C. D. 9.6 7. 若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 方程是关于的一元二次方程，则___________． 12. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是______． 13. 为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 15. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为______米． 16. 如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为______． 三、解答题 17. 按要求解下列方程： （1）（任选一种方法） （2）（配方法） 18. 如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． （1）对称中心的坐标为______； （2）将绕点O顺时针旋转90°得到． ①在直角坐标系中画出； ②求点A经过的路径的长． 19. 已知关于的方程（为常数）． （1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，解这个方程． 20. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径． 21. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）写出、、的坐标； （2）当时，求函数值的取值范围； （3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值． 22. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 23. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24. 在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 25. 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 26. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋九年级期末质量监测数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 刘徽的割圆术 B. 中国七巧板 C. 杨辉三角 D. 赵爽弦图 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； C、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、该图形是中心对称图形，故该选项是正确的； 故选：D 2. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 3. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误； C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误； 故选∶ A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 如图，将绕点C逆时针旋转（）得到，点A的对应点恰好落在AB边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角及三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质，得到，进而得到，根据三角形内和定理求出即可． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转（）得到， ∴，， ∴， ∵． 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是 （ ） A. 4 B. C. D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】AB是圆O的直径，AB⊥CD，得到∠ACB=90°，∠AEC=90°，，再由含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=12，，然后利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD， ∴∠ACB=90°，∠AEC=90°，， 又∵∠BAC=30°， ∴AB=2BC=12，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 7. 若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是先求出二次函数的对称轴，再根据对称轴及函数的单调性判断函数值的大小关系． 先将二次函数化为顶点式，求出对称轴，再分别计算各点到对称轴的距离，最后根据二次函数的性质比较函数值大小． 【详解】将二次函数化为顶点式： 所以该二次函数的对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为二次项系数，当时，，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且点到对称轴的距离越远，函数值越小， 比较距离大小，所以， 故答案为：C． 8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键． 9. 如图，在等腰中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与交于点（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，由等腰直角三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，最后证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰中，，于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由该抛物线经过点即可判断结论①；由各点到抛物线对称轴的距离大小即可判断结论②；由当时函数值取最大值，即可判断结论③；由对称轴为直线，即可判断结论④；由抛物线的对称轴可得该抛物线与轴的交点坐标，即可判断结论⑤． 【详解】解：如下图， ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为 ∴当时，可有，故结论①正确； ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵对称轴为， ∵，，， 又∵， ∴，故结论②错误； ∵该函数图像的对称轴， ∴， ∵，即， ∴， ∵该二次函数的图象开口向下， ∴当时，该函数取最大值， ∴为任意实数，可有， 即，故结论③正确； ∵若且， 即有， ∵函数图象的对称轴为， ∴，即，故结论④错误； ∵方程的两实数根为，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为，， 由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为， 即该抛物线与轴的交点为，， ∵该抛物线开口向下，， ∴，，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程和不等式的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 方程是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，且， 解得； 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 12. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是． 故答案为：． 13. 为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、频率等知识，结合频率的概念建立关于的分式方程是解题关键．设暗箱里黑球的个数为个，根据“频率稳定在附近”可得，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设暗箱里黑球的个数为个， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以暗箱里黑球的个数为9个． 故答案为：9． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标． 【详解】解：作轴于点， 由旋转可得，轴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系． 15. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设该抛物线的表达式为，代入点的坐标求出解析式，再把点的纵坐标代入解析式，进而求得点的横坐标，即可求解，解题的关键是正确地建立平面直角坐标系． 【详解】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得，点的坐标为，点的纵坐标为， 设抛物线形的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∴米， 故答案为：． 16. 如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，则，再分分与相切和与相切两种情况考虑：利用切线的性质得到和圆的性质分别表示出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，点坐标为， ， ∵点是的中点， ∴． 分与相切和与相切两种情况考虑： ①当与相切时，如图1所示． 点横坐标为， ． 在中，，，， ，即， 解得：； ②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示． ，，， 四边形为矩形， ， ． 在中，，，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题 17. 按要求解下列方程： （1）（任选一种方法） （2）（配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一除，二移，三配，四变形，五开方的步骤，进行求解即可. 【小问1详解】 解：将原方程化为一般形式，得 即： ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴. 18. 如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． （1）对称中心的坐标为______； （2）将绕点O顺时针旋转90°得到． ①在直角坐标系中画出； ②求点A经过的路径的长． 【答案】（1） （2） ①即为所求： ② 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换：中心对称与旋转变换，画旋转图形，旋转经过的路径长； （1）根据A、D两点的坐标即可确定对称中心； （2）①确定A、B、C三个顶点旋转的对应点，依次连接即可； ②求出的长，由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解： 由中点坐标公式得：， 即对称中心的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②连接OA，根据勾股定理可得， ∴点A经过的路径的长为． 19. 已知关于的方程（为常数）． （1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，解这个方程． 【答案】（1） 由于是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， 方程总有两个不相等的实数根． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根的判别式，熟记根的判别式是解题关键． （1）根据根的判别式求出，再根据根的判别式求解即可； （2）把代入方程，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当，代入方程，得：， ， ， ，． 故答案为：，． 20. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径． 【答案】 （1）如图，⊙O即为所求； （2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切；理由如下： 连接OD， ∴OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC，OD是半径， ∴直线BC与⊙O相切； （3）⊙O的半径为3． 【解析】 【分析】（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心； （2）根据切线的判定即可判断直线BC与⊙O的位置关系； （3）根据AB=8，BD=4，即可求⊙O的半径． 【详解】（1）略 （2）略 （3）设⊙O的半径为x， 在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3． 答：⊙O的半径为3． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是准确画图． 21. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）写出、、的坐标； （2）当时，求函数值的取值范围； （3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）连接，分割法表示出的面积，利用二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，； 【小问3详解】 连接， ∵， ∴， 设点， ∴ ， ， ∵点P是第四象限内抛物线上一动点， ∴， ∴当时，S有最大值，最大值为． 22. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）100， 条形图如图所示， （2），10 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“羽毛球”人数所占比例为：， 所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：，10； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：     ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 23. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． 【小问3详解】 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识． 24. 在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）3元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 25. 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 【答案】 （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ． （2）； （3）①证明：和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ②． 【解析】 【分析】（1）由和都是等边三角形得，，，进而推出，证明即可得证； （2）由和都是等边三角形得，，，从而推出，进而证明得，即可得证； （3）如图，当点在线段上或当点在线段的延长线上时，证明，可得，结合证明从而得出结论． 【详解】（1）略； （2）解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：①略； ②如图，当点在线段的延长线上时， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题关键． 26. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； （2）点M的坐标为； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $