专题强化01：三角恒等变换【12大题型 培优 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

专题强化01：三角恒等变换 【题型归纳】 · 题型一：两角和与差的余弦公式 · 题型二：两角和与差的正弦公式 · 题型三：两角和与差的正切公式 · 题型四：二倍角公式的应用 · 题型五：降幂公式 · 题型六：辅助角公式 · 题型七：已知角求三角函数值 · 题型八：已经三角函数值求角 · 题型九：已知三角函数值求函数值 · 题型十：三角函数判断三角形形状问题 · 题型十一：三角函数恒等式问题 · 题型十二：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题 【题型探究】 题型一：两角和与差的余弦公式 1．（24-25高一下·甘肃临夏）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：两角和与差的正弦公式 4．（24-25高一上·山西·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建三明·期末）（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：两角和与差的正切公式 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）则（    ） A． B． C． D． 题型四：二倍角公式的应用 10．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 12．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 题型五：降幂公式 13．（21-22高三下·山西）已知，，则 ． 14．（21-22高一·全国）已知sin＝，则 ． 15．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）代数式可化为的形式，此时 . 题型六：辅助角公式 16．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 17．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，当时，的值域为 ． 18．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 题型七：已知角求三角函数值 19．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 20．（20-21高一下·全国·课后作业）cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 21．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 题型八：已经三角函数值求角 22．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型九：已知三角函数值求函数值 25．（24-25高一上·全国）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型十：三角函数判断三角形形状问题 28．（24-25高一下·上海徐汇）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 29．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 30．（21-22高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型十一：三角函数恒等式问题 31．（22-23高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（20-21高一下·陕西榆林）化简计算与证明． （1）已知角是第二象限角，且，求的值； （2）化简：； （3）已知，证明：． 题型十二：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题 34．（24-25高一下·湖南常德）已知 (1)若，且，求的值； (2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 35．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 36．（24-25高一下·云南昆明）已知函数． (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)若函数在上不单调，求的取值范围； (3)若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【专题强化】 一、单选题 37．（24-25高一上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则 A． B． C． D． 41．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 44．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 46．（24-25高一上·云南保山·期末）下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 47．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的单调递增区间是 D．不等式的解集是 49．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 51．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．不等式的解集为 C．在区间上单调递减 D．为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 三、填空题 52．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）求值： ． 53．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 54．（24-25高一上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则 ． 55．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ． 四、解答题 56．（24-25高一上·河南漯河·期末）（1）已知，求的值； （2）化简：. 57．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值； (3)已知，且，求的值． 58．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 59．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 60．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：三角恒等变换 【题型归纳】 · 题型一：两角和与差的余弦公式 · 题型二：两角和与差的正弦公式 · 题型三：两角和与差的正切公式 · 题型四：二倍角公式的应用 · 题型五：降幂公式 · 题型六：辅助角公式 · 题型七：已知角求三角函数值 · 题型八：已经三角函数值求角 · 题型九：已知三角函数值求函数值 · 题型十：三角函数判断三角形形状问题 · 题型十一：三角函数恒等式问题 · 题型十二：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题 【题型探究】 题型一：两角和与差的余弦公式 1．（24-25高一下·甘肃临夏）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知条件两边同时平方，再将所得式子相加，结合余弦差角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 故. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值. 【详解】∵为锐角，， ∴， ∴． 又，∴. 故选：B． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以， 又， 所以， ， 又， 所以. 故选：A. 题型二：两角和与差的正弦公式 4．（24-25高一上·山西·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系和两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以， 故选：A 5．（24-25高一上·福建三明·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C. 6．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案. 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 题型三：两角和与差的正切公式 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 8．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以．所以， 所以，则． 故选：A. 9．（2024·全国·模拟预测）则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角的正弦值求得余弦值，利用余弦与正切的和角公式，可得答案. 【详解】由，则， 由 ，则， 当时，， 则， ， ； 当时，， 则， ， . 故选：D. 题型四：二倍角公式的应用 10．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】由二倍角公式，然后构造齐次式，由的值求得结果. 【详解】. 故答案为：. 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 12．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 题型五：降幂公式 13．（21-22高三下·山西）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可. 【详解】解：由，，得， 所以． 故答案为： 14．（21-22高一·全国·课后作业）已知sin＝，则 ． 【答案】 【分析】结合诱导公式、降次公式求得正确答案. 【详解】， . 故答案为： 15．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）代数式可化为的形式，此时 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式来求得正确答案. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 题型六：辅助角公式 16．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 17．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，当时，的值域为 ． 【答案】 【分析】先利用辅助角公式得，然后利用换元法结合正弦函数的性质得，即可求解. 【详解】， 若，则， 则， 所以，即的值域为． 故答案为： 18．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用平方关系求出，，可得，代入运算得解； （2）由（1）求出得解. 【详解】（1）由为锐角，，可得. 又由、为锐角、有， 又由，有. 有 . （2）由， 又由， 可得. 题型七：已知角求三角函数值 19．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 20．（20-21高一下·全国·课后作业）cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简可得，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案. 【详解】因为. 故选：C. 21．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 题型八：已经三角函数值求角 22．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】已知， 则， 所以， 联立，结合，解得， 则， 故. 故选：D. 23．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 24．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可. 【详解】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 题型九：已知三角函数值求函数值 25．（24-25高一上·全国）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 26．（24-25高三上·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 27．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又， 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 题型十：三角函数判断三角形形状问题 28．（24-25高一下·上海徐汇）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 29．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用两角和差的正弦公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解. 【详解】由， 则， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：A. 30．（21-22高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用三角形内角和，诱导公式，二倍角公式化简计算，分析即得结论. 【详解】因, 故，， 则，即， 整理得，，因，故，故是直角三角形. 故选：C. 题型十一：三角函数恒等式问题 31．（22-23高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 32．（22-23高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 (4)证明见详解 【分析】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证； （2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明； （3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证； （4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证. 【详解】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 33．（20-21高一下·陕西榆林·阶段练习）化简计算与证明． （1）已知角是第二象限角，且，求的值； （2）化简：； （3）已知，证明：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）由商数关系求，应用诱导公式化简目标式，并求值即可. （2）利用同角三角函数商数关系、辅助角公式、诱导公式化简求值. （3）利用同角三角函数关系、二倍角正余弦公式、辅助角公式，以及对数的运算性质证明恒等式. 【详解】（1）由，则， . （2）原式. （3）左边，得证. 题型十二：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题 34．（24-25高一下·湖南常德）已知 (1)若，且，求的值； (2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数的解析式，根据可得，利用，可求的值. （2）先根据函数图象的变换确定的解析式，再结合正弦函数图象解不等式. 【详解】（1） 因为所以即 因为所以故， 所以 （2）将的图象上所有的点向右平移个单位得到的图象， 再将的图象向下平移1个单位得到的图象， 最后将的图象上所有点的纵坐标变为原来的横坐标不变， 得到的图象，即， 由，即，得， 解得 令可得，令可得， 又所以， 即当时，不等式的解集为. 35．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； （2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； （3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【详解】（1）， 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为. （2）由，得，则， 所以在区间上的值域为. （3）由，得， 又， 即的两个解为，且， 则，即，即， 则， 所以. 36．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； (2)若函数在上不单调，求的取值范围； (3)若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，  对称轴; (2); (3). 【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴； （2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围； （3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围. 【详解】（1）函数 , 所以函数的最小正周期， 由，所以函数图象的对称轴为； （2）由， 可得函数在区间上单调递增， 由于区间里面一定有，而， 所以函数在上不单调的等价条件是， 即满足或，解得：， 故的取值范围； （3）当时，，则， 所以函数的值域为， 再由，，都有恒成立， 则有，即， 故实数的取值范围． 【专题强化】 一、单选题 37．（24-25高一上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案. 【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以； 因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：C 38．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 39．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 40．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC. 【详解】，则，则， 整理得到. 因此.故B错误，D正确. ，则，.则. 且.解得.同理得，则， 因此得，则.故AC错误. 故选：D. 41．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解. 【详解】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 42．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合余弦二倍角公式即可求解； 【详解】因为，所以， 故选：D. 43．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正余弦公式可得，进而利用两角和的余弦与正弦公式可求得，进而可求得. 【详解】先由，得到， 即，所以， 即， 所以，，， 得. 44．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用诱导公式化简，后结合和角差角公式和二倍角公式计算即可. 【详解】因 ，解得， 故选：B. 45．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在上的值域和题设条件，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围. 【详解】因为， 当时，，故． 因为，在上的值域均为， 故区间长度必须大于一个周期， 即，解得． 故选：A. 二、多选题 46．（24-25高一上·云南保山·期末）下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用同角的正余弦的平方关系求解可判断A；利用两角和的正切公式计算可判断B；利用诱导公式计算可判断CD. 【详解】因为，所以的终边在一，二象限， 当的终边在一象限时，， 当的终边在二象限时，，故A错误； 由，可得，所以，解得，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 47．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即可判断；对于C，用诱导公式即可判断；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 48．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的单调递增区间是 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】由，然后逐项判断. 【详解】由题意可得，则的最小正周期为，故A正确． 因为，所以的最大值为1，故B错误． 令，解得， 则的单调递增区间是，故C正确． ，即，则， 解得， 即不等式的解集是，故D正确． 故选：ACD 49．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 50．（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 【答案】BD 【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 51．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．不等式的解集为 C．在区间上单调递减 D．为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 【答案】AB 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象性质及函数变换逐项判断. 【详解】函数， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，则， 解得，B正确； 对于C，当时，， 而正弦函数在上不单调， 因此在上不单调，C错误； 对于D，平移后的解析式为，D错误. 故选：AB 三、填空题 52．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）求值： ． 【答案】1 【分析】由，切化弦，再由辅助角公式即可化简求值； 【详解】 ． 故答案为：1 53．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 【答案】7. 【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解. 【详解】已知， 则， 即， 则， 则， 则. 故答案为：7. 54．（24-25高一上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义可求出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得， 由两角和的正切公式可得. 故答案为：. 55．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】先结合的范围求出. 再根据已知条件求出，再利用二倍角公式求出和，然后利用两角差公式求出，最后根据、的范围确定的值. 【详解】因为，所以. 已知， . 由两角和公式. 可得.   因为，则. 已知，可. ，. 又因为，，所以，. . 可得. 因为，，则,所以，又，所以.   故答案为：. 四、解答题 56．（24-25高一上·河南漯河·期末）（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2）-1 【分析】（1）通过联立方程组求解的值，再结合角的范围确定，进而求出和；（2）先对原式进行切化弦化简，利用三角函数差角公式逐步变形，最终得出结果. 【详解】（1）由可得. 解得或， 由，故. 所以. 于是. （2）原式 . 57．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2); (3). 【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值； （2）利用诱导公式化简，即可求值； （3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 即； （2）由； （3）因为，，所以， 又因为，所以， 则. 58．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)最小正周期为；单调减区间为； (2)最小值为0，最大值为2. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，再由正弦型函数最小正周期、单调性求的最小正周期和单调减区间； （2）根据正弦函数的性质求给定区间内的值域，即可得最值. 【详解】（1）因为. 由，所以函数的最小正周期为. 由，得. 所以函数的单调减区间为. （2）因为，所以. 所以，函数在上的最小值为0，最大值为2. 59．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，结合周期公式以及整体代入法即可求解函数的周期和单调递增区间； （2）先求的范围，进一步即可求解函数在区间上的最值. 【详解】（1） 最小正周期， 由，， 得，， 单调递增区间为； （2），， ， 在上最大值为1（当时取到）， 最小值为（当时取到）. 60．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，若函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程； （2）由三角函数图象变换可得出，令，由题意可知，直线与函数的图象有且只有一个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 由得， 所以，函数的对称轴方程为. （2）由三角函数图象变换可得 ， 由，可得， 因为，令， 则直线与函数的图象有且只有一个交点，如下图所示： 由图可知，当或时，直线与函数的图象有且只有一个交点， 因此，实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$