10.2 二倍角的三角函数【4大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

10.2 二倍角的三角函数 【考点梳理】 · 考点一：二倍角的正弦公式 · 考点二：二倍角的余弦公式 · 考点三：二倍角的正切公式 · 考点四：二倍角公式的综合应用 【知识梳理】 知识点：二倍角的正弦、余弦、正切公式 【题型归纳】 题型一：二倍角的正弦公式 1．（23-24高一下·云南大理）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由， 平方可得， 解得. 故选：A. 2．（22-23高一下·广东广州）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两边平方，根据二倍角公式整理得到到结果 【详解】由两边平方，得 即，所以， 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏泰州）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦和差公式得到，再利用万能公式求出答案. 【详解】， 即， 所以， 故，故， . 故选：D 题型二：二倍角的余弦公式 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解. 【详解】，， ，，， 故选：A. 5．（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解. 【详解】令，则， 所以， 故选：A. 6．（2024·河北保定·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解. 【详解】由，得， 即，解得或（舍）， 所以. 故选：D. 题型三：二倍角的正切公式 7．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则（    ） A． B．2 C．-2或 D．或2 【答案】B 【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式，结合已知条件即可求解. 【详解】由于，故，即. 所以. 故选：B. 8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据正弦和余弦二倍角公式化简得到，再利用正切二倍角公式求出答案. 【详解】，即， 因为，所以， 故，即， 则. 故选：D 9．（23-24高三上·云南曲靖）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决. 【详解】由，即， 可得，由正切的倍角公式可得． 故选：D． 题型四：二倍角公式的综合应用 10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且 (1)求 的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用同角公式及二倍角的正弦公式计算即得. （2）利用同角公式及差角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）由，得，又，解得， 所以. （2）由，得，而，则， 所以. 11．（23-24高一下·江苏扬州·期中）设是钝角，． (1)求的值； (2)求和的值． 【答案】(1) (2), 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式即可求解， （2）根据同角关系可得，进而根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【详解】（1）是钝角， （2）是钝角，, 12．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值. (1); (2); (3); (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 利用三角函数的二倍角公式，结合诱导公式转化计算即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4） . 13．（23-24高一上·广东·期末）已知，其中. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】 （1）根据同角三角函数的关系，结合二倍角的正弦余弦公式可求的值； （2）结合（1），利用两角和的余弦公式，可求的值. 【详解】（1）因为，所以， ， ， . （2）， . 14．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）已知，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同角平方关系即可求解； （2）根据和角余弦公式求解，再根据倍角余弦公式即可求解； （3）先根据差角正弦公式求解，再结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为，所以.又，所以， 所以. 而，所以， 所以. （2）由且，得， 所以 . 又，所以. （3）由（2）知，所以， 所以. 又，所以， 所以. 【高分达标】 一、单选题 15．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 16．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】. 故选：B 17．（2025高三下·全国·专题练习）若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解 【详解】因为，则，① 又因为，则， 故①式整理可得，，解得或（舍去）， 故，所以． 故选：． 18．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】已知， 则， 所以， 联立，结合，解得， 则， 故. 故选：D. 19．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故选：A 20．（24-25高三上·山东青岛·期末）设 ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式化简所求式子，再将齐次分式转化为表示的式子，即可求解. 【详解】 . 故选：D 21．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】易知， 所以 . 故选：B 22．（24-25高一上·广东广州·期末）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倍角公式可求答案. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确. 故选：D 23．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两角和的正弦公式展开，再利用辅助角公式，求得，进而求得，根据，得出答案. 【详解】由，得，所， 由二倍角公式得， 又， 所以， 所以. 故选：B 二、多选题 24．（2025高三下·全国·专题练习）下列各式的值正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用二倍角正弦，余弦，正切公式计算化简判断各个选项即可. 【详解】．A不正确； ，B正确； ，C不正确； ，D正确． 故选：BD. 25．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 26．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据两角和与差的正弦、余弦、正切公式，可判断A，B，D选项；由二倍角的余弦公式，可判断C选项. 【详解】A选项，因为 所以，故A正确； B选项，，故B错； C选项，，故C错； D选项，，故D正确； 故选：AD 27．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得，再结合平方公式求，由此可求，，再结合二倍角公式，商的关系求，即可判断. 【详解】因为， 两边平方可得， 所以，即，A正确； 因为，， 所以， 所以，B正确； 所以，， 所以，，C错误，D错误. 故选：AB. 28．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中条件及平方关系式，解得，结合角的范围判断A；进而求得，可判断B，C；继而利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算即可判断D. 【详解】由和， 解得，因为， 则，所以为锐角，A正确； 则，即，C正确； 可得， 由，可知点在的终边上，B错误； 由,， 所以，D正确. 故选：ACD. 29．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列四个式子中，计算正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据两角差的正弦公式求A，由辅助角公式求B，由两角和的正切公式求C，由同角三角函数的关系结合二倍角公式求D. 【详解】A选项，根据两角差的正弦公式，，A选项错误； B选项，根据辅助角公式，，B选项正确； C选项，根据两角和的正切公式，，C选项正确； D选项，，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 30．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】由二倍角公式，然后构造齐次式，由的值求得结果. 【详解】. 故答案为：. 31．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 32．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】由正切二倍角公式即可求解； 【详解】. 故答案为： 33．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】根据结合二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 34．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义和二倍角公式可求答案. 【详解】因为角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，即； 所以，所以， 故答案为： 35．（24-25高一上·天津·期末）已知，则 【答案】 【分析】根据二倍角公式得，再求出和，最后利用两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】因为，则，则， ， 因为，则，则， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 36．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边平方，求出，即可得解； （2）首先求出，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即， ，所以， 即. （2）因为，所以，又，所以， 则 ， 所以 . 37．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点，过A作x轴的垂线，垂足为B． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，利用三角函数的定义即可求得； （2）由三角函数的定义先求得，再利用二倍角公式将所求式化简成齐次的弦的分式，运用同角的三角函数关系式化弦为切，代入计算即得. 【详解】（1）由题意得角的终边与单位圆O相交于， 所以． （2）因角的终边与单位圆O相交于， 故， 则 ． 38．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知. (1)求的值； (2)求和的值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）由诱导公式及同角函数的基本关系可得答案； （2）由二倍角正切公式及两角差的正切公式可得答案. 【详解】（1）由诱导公式及同角函数的基本关系， 有 有.可得； （2）由，有， 有. 故有，. 39．（24-25高一下·全国·课堂例题）证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由二倍角的余弦与正弦公式证明； （2）右边由两角和与差的正弦公式变形后，弦化切可得到左边． 【详解】（1）左边右边， ∴原等式成立． （2）右边，分子，分母同除以， 得右边左边， 40．（24-25高一上·河南周口·期末）已知． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，利用齐次式可求解； （2）由二倍角的正切函数公式求得，由，求得，进而利用两角和的正切函数公式可求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以．                  因为，① 两边平方得，所以，        又因为，所以， 所以，②                ①②联立，得， 所以，                     故． 41．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． (1)求； (2)求的值； (3)若角是三角形内角，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或1 【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解； （2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解； （3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）解：因为角终边过点， 所以点P到原点的距离为， 所以； （2）由（1）知：， 所以， ； （3）因为是三角形内角，且， 所以， 由（1）知：， 所以， 当时，， ； 当时，， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 二倍角的三角函数 【考点梳理】 · 考点一：二倍角的正弦公式 · 考点二：二倍角的余弦公式 · 考点三：二倍角的正切公式 · 考点四：二倍角公式的综合应用 【知识梳理】 知识点：二倍角的正弦、余弦、正切公式 【题型归纳】 题型一：二倍角的正弦公式 1．（23-24高一下·云南大理）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广东广州）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏泰州）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型二：二倍角的余弦公式 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北保定·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：二倍角的正切公式 7．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则（    ） A． B．2 C．-2或 D．或2 8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 9．（23-24高三上·云南曲靖）已知，则（    ）． A． B． C． D． 题型四：二倍角公式的综合应用 10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且 (1)求 的值； (2)求的值． 11．（23-24高一下·江苏扬州·期中）设是钝角，． (1)求的值； (2)求和的值． 12．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值. (1); (2); (3); (4). 13．（23-24高一上·广东·期末）已知，其中. (1)求的值； (2)若，求的值. 14．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）已知，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求角的大小． 【高分达标】 一、单选题 15．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三下·全国·专题练习）若，则的值是（ ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 20．（24-25高三上·山东青岛·期末）设 ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·广东广州·期末）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 24．（2025高三下·全国·专题练习）下列各式的值正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 29．（24-25高一上·广西柳州·期末）下列四个式子中，计算正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 30．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则 . 31．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 32．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则 . 33．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则 . 34．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则 ． 35．（24-25高一上·天津·期末）已知，则 四、解答题 36．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 37．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点，过A作x轴的垂线，垂足为B． (1)求的值； (2)求的值． 38．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知. (1)求的值； (2)求和的值. 39．（24-25高一下·全国·课堂例题）证明： (1)； (2)． 40．（24-25高一上·河南周口·期末）已知． (1)求； (2)若，且，求． 41．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． (1)求； (2)求的值； (3)若角是三角形内角，且，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$