精品解析：江西省宜春市高安市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024一2025学年度上学期期末质量监则 九年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 3. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 4. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 5. 如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（　　） A. ﹣4 B. 2 C. ﹣2 D. 4 6. 如图所示为抛物线的图像，其对称轴为直线，且经过点．则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为__________． 8. 如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 9. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 10. 如图，圆内接正六边形的半径为，则图中阴影部分面积为___________． 11. 如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是______. 12. 已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________． 三、（本大题共五小题，每小题6分，共30分） 13 （1）解方程：； （2）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 14. 如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为多少厘米？ 15. 有三张卡片（背面完全相同），分别写有数字、、，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母、分别表示甲、乙两同学抽出的数字． （1）求关于的方程有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率． 16. 已知反比例函数图象与直线相交于点． （1）求直线与反比例函数解析式． （2）若在轴上有一点，使得三角形面积是18，求点坐标． 17. 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角； （2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形． 四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 19. 某商家销售一种成本为元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元． （1）求出关于的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是元； （3）求出商家销售该商品每天获得最大利润． 20. 如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为3，求的长．（结果保留） 五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 22. 如图所示，在中，，的垂直平分线与及的延长线分别相交于点，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，若． （1）求证：． （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，抛物线位于轴上方的图象记为，它与轴交于、两点，图象与关于原点对称，与轴的另一个交点为，将与同时沿轴向右平移的长度即可得到与；再将与同时沿轴向右平移的长度即可得到与；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象．我们把这组图象称为“波浪抛物线”． （1）当时， 求、及图象的顶点坐标； 点是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象顶点的横坐标为，请求出图象对应的解析式，并写出自变量的取值范围． （2）设图象、的顶点分别为、（为正整数），轴上一点的坐标为，试在各用图中先标出点所在的位置，再探究：当为何值时，以O、、、四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024一2025学年度上学期期末质量监则 九年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，根据其定义一一判断即可； 【详解】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A错误，不符合题意； 是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B正确，符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误，不符合题意； 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误； B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确； C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误； D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误． 故选B． 考点：随机事件． 3. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5， ∴6＞5，即：d＜r． ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C． 4. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 5. 如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（　　） A. ﹣4 B. 2 C. ﹣2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可解答. 【详解】∵反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，且S△AOB=2， ∴且k＜0， ∴k=-4. 故选A. 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟知反比例函数的比例系数k的几何意义是解决问题的关键. 6. 如图所示为抛物线的图像，其对称轴为直线，且经过点．则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，二次函数图象与轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 依据题意，由已知条件得出，，，抛物线与轴的另一交点为，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 又抛物线的对称轴为直线， ， 又抛物线与轴交于正半轴， ， ，故（1）正确； 抛物线与轴有两个不同的交点， ，故（2）正确； 抛物线的对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另一交点为， 当时，，故（3）错误； 抛物线经过点， 当时，，故（4）正确； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 8. 如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆心角和圆周角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数． 【详解】解：， ． 故答案为：． 9. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键熟练掌握，是解题的关键． 根据根据一元二次方程根与系数的关系求解则可，，，将整理得到，代入即可． 【详解】解：分别是一元二次方程的两个根， ， ． 故答案为：． 10. 如图，圆内接正六边形的半径为，则图中阴影部分面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型； 如图，连接，，．由题意得，，都是等边三角形，证明的面积的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接，，，如图： ， 由题意得，，都是等边三角形， ∴， ∴， 设的底边高为， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分面积等于扇形的面积， 故答案为：． 11. 如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是______. 【答案】1 【解析】 【分析】作如图的辅助线，根据旋转和三角形全等，证得EG=CF=1，然后得出三角形ADE的面积. 【详解】过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于点G，过点D作DF⊥BC于点F， 则∠G=∠DFC=∠DFB=90， ∵, ∴∠GDF=∠DFB=90 由旋转得∠EDC=90，DE=DC, ∴∠EDC-∠GDC=∠GDF-∠GDC, 即∠EDG=∠CDF， ∴△CDF≌△EDG， ∴EG=CF ∵，, ∴EG=CF=3-2=1， ∴的面积=. 【点睛】此题考查旋转的性质，利用全等三角形、直角梯形的性质求出的高EG=CF是解题的关键. 12. 已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________． 【答案】5或或 【解析】 【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可． 【详解】解：①当AO=AB时，AB=5； ②当AB=BO时，AB=5； ③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0）， 设A（a，）（a>0）， ∵OA=5， ∴， 解得：，， ∴A（3，4）或（4，3）， ∴AB=或AB=； 综上所述，AB的长为5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键． 三、（本大题共五小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求抛物线的解析式，熟练掌握解一元二次方程的方法和求函数解析式的方法是解题的关键． （1）移项，然后运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）设抛物线的顶点式解析式，代入点，确定a的值，即可解答． 【详解】解：（1） ∴或 解得：， （2）∵抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为． 14. 如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为多少厘米？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，取圆心O，过点O作于点B，连接，证明，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9， ∴． 取圆心O，过点O作于点B，连接， 则厘米， 设杯口的半径为r，则，， 在中，，即， 解得：（厘米）． 故答案为：． 15. 有三张卡片（背面完全相同），分别写有数字、、，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母、分别表示甲、乙两同学抽出的数字． （1）求关于的方程有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，一元二次方程根的判别式， （1）根据题意画出树状图一共有种等可能的结果，再结合一元二次方程根的判别式可得关于的方程有实数解的结果有种结果，然后利用概率公式计算即可； （2）根据（1）中所画树状图的结果，结果结合一元二次方程根的判别式可得关于的方程有两个相等的实数解的结果有种结果，利用概率公式计算即可； 解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 画树状如下： ∴一共有种等可能的结果， ∵关于的方程有实数解，即， ∴关于的方程有实数解的结果有，共种， ∴关于的方程有实数解的概率为； 【小问2详解】 ∵关于的方程有两个相等实数解，即， ∴关于的方程有两个相等实数解的结果有，共种， ∴（1）中方程有两个相等实数解的概率为． 16. 已知反比例函数的图象与直线相交于点． （1）求直线与反比例函数解析式． （2）若在轴上有一点，使得三角形的面积是18，求点坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再求出点B的坐标，最后将A，B的坐标代入一次函数解析式即可解决问题． （2）先求出直线与x轴的交点坐标，再结合的面积即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入得， ， 反比例函数的解析式为， 将点B坐标代入得 ， 点B的坐标为． 将点A和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得：， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 令直线与x轴的交点为M， 则点M的坐标为． 三角形的面积是18， 解得PM=4， 则，， 点P的坐标为或． 17. 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角； （2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）作直径AD，连接CD，AC，则∠ADC＝60°，∠DAC＝30°； （2）作直径BE，连接EC，AE，AC，△ACE即为所求． 【详解】（1）如图1中，∠CAD即为所求； （2）如图2中，△ACE即为所求． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等边三角形的判定等知识，掌握圆内接四边形的性质是关键． 四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠BDE＝90°；（2）DF＝PF，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质即可求得结果； （2）由旋转的性质可得∠ACE=∠ADB=45゜，则易得∠FPD=∠DAC+∠ACE=∠CDF+∠ADB=∠FDP，从而可得DF=PF． 【详解】（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE=∠B， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）DF＝PF．理由如下： 由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握旋转的性质． 19. 某商家销售一种成本为元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元． （1）求出关于的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是元； （3）求出商家销售该商品每天获得的最大利润． 【答案】（1）；（2）销售单价定为40元；（3）该商品每天获得的最大利润为8960元． 【解析】 【分析】（1）设关于的函数关系式为，利用待定系数法即可得答案； （2）根据利润=单件利润×销售量及（1）中解析式可得关于x的一元二次方程，解方程并根据销售单价不能超过元即可得答案； （3）根据利润=单件利润×销售量可得w与x关系式，根据二次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）设关于的函数关系式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴． （2）∵成本为元，，每天获得的利润是元， ∴， 解得：，． ∵物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元， ∴不合题意，应舍去． ∴当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润是元． （3）设商家销售该商品每天获得的利润为元， 则， ∵， ∴x≤50时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值为-10×（48-50）2+9000=（元）． 答：商家销售该商品每天获得的最大利润为元． 【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及二次函数的性质是解题关键． 20. 如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为3，求的长．（结果保留） 【答案】（1）所在直线与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆有关的性质，弧长公式，熟练运用是解答本题的关键． （1）根据圆周角为直角的弦是直径得到是直径，再根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，根据已知得，同弧所对的圆周角相等得，从而得到，即可证明； （2）找到圆心角，再利用弧长公式即可求解． 小问1详解】 解：所在直线与相切，理由如下：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即， 点D在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知，， ， ， ， ∴的长为． 五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 22. 如图所示，在中，，的垂直平分线与及的延长线分别相交于点，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，若． （1）求证：． （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）与相切，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线相切的判定定理、三角形全等的判定和性质的应用是解题关键 ． （1）由题可知，，，进而得到，即可证明； （2）连接，通过等角的转换，可得，进而求得，即可得解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ，即， 在和中， ； 【小问2详解】 解：与相切．理由如下：如图所示，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即，， 为的半径， 与相切． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，抛物线位于轴上方的图象记为，它与轴交于、两点，图象与关于原点对称，与轴的另一个交点为，将与同时沿轴向右平移的长度即可得到与；再将与同时沿轴向右平移的长度即可得到与；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象．我们把这组图象称为“波浪抛物线”． （1）当时， 求、及图象的顶点坐标； 点是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象的顶点的横坐标为，请求出图象对应的解析式，并写出自变量的取值范围． （2）设图象、的顶点分别为、（为正整数），轴上一点的坐标为，试在各用图中先标出点所在的位置，再探究：当为何值时，以O、、、四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时的值． 【答案】（1），，；不在，理由见解析；，的取值范围为：； （2），的值为4． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合题，熟知二次函数平移的性质、二次函数的最值问题是解题的关键． （1）把代入抛物线的解析式，然后令等于可求得对应的的值，从而可得到的坐标，然后依据平移的方向和距离可得到点的坐标，接下来，利用配方法可求得抛物线的顶点的坐标； 根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1即可得出结论； （2）设中点为，则线段经过，再根据图形平移的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，， 令，解得：或． 点的坐标为，由平移的性质可知的坐标为． ， 图象的顶点坐标为：； 该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为和， 点，不在该“波浪抛物线”上， 图象．的顶点的横坐标为，，故其图象与…形状相同， 图象对应的解析式为：，其自变量的取值范围为：； 【小问2详解】 解：设中点为，则线段经过，由题意可知， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴对应的解析式为， ∴的顶点坐标为， ∴由平移的性质可知，点的纵坐标为， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 故此时的值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$