精品解析：山东省聊城市莘县2024-2025学年九年级上学期1月期末试卷数学试题

2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 3. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的基本定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，，设，则，根据计算即可． 【详解】解：构造直角三角形如下： 根据题意，得， 设， 则， ∴， 故选：A． 4. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 5. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 6. 如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过点作于，则，设圆形纸片的半径长为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， 设圆形纸片的半径长为，则， ∵， ∴， 解得， ∴圆形纸片的半径长是， 故选： 7. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，，中的两个，能让小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，或和，或和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种， ∴能够让灯泡发光的概率为：， 故选：A． 【点睛】此题考查了树状图法以及概率公式．正确的画出树状图是解题的关键． 8. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 9. 如图，正比例函数与反比例函数 的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的k的几何意义可得，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是的中点，即可求出的面积． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图像上，且轴于点B， ∴， ∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且轴于点D， ∴O是BD的中点， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数k的几何意义和中心对称性是解题的关键． 10. 抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图像的性质等，根据抛物线对称轴，经过点得到，再由开口向下，得到，则，据此可判断①②；根据和关于对称轴对称，则时，，即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据时，，得到，进而得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴， ， ∴，故②正确； ∵开口向下， ∴， ， ∵图像与y轴正半轴相交， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③正确， ∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴， 抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴抛物线与轴有2个交点，则 ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴的另外一个交点为，开口向下， 时，， ， ， ，即，故⑤错误， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 中，若，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值． 【详解】解：由题意知，， ，， ∴，， ∴， 故答案为：105． 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式． 【详解】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1）， ∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）． 设反比例函数的解析式为()， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键． 13. 如图，点在上，若圆的半径为4，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，过点O作于点D，根据圆周角定理求出，证明为等边三角形，根据勾股定理求出，求出即可． 【详解】解：连接、，过点O作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 14. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式展开后，整体代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案：． 15. 如图，考古队在点A处测得古塔BC顶端C的仰角为，斜坡长10米，坡度，长12米，则古塔的高度为______米． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作，，由，可设，，结合，利用勾股定理可求得x的值，再根据等腰三角形的性质可得出，进一步即可得出． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点A作，交延长线于点F， 由， 可设，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 则，， ∴， ∵， ∴ ∴， 则， 故答案为：26． 16. 如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0）， ∴x＝4时，y＝0， ∴BC＝4， 作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3， ∵3＝2FH， ∴FH＝， ∵∠ABC＝60°， ∴BF＝＝， ∵DEAB， ∴AB＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共计72分。解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）根据公式法，可得答案； （2）根据因式分解法，可得答案． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是关键． （1）由可得，即，即可求证； （2）根据题意求出，结合即可求解； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即： ∵ ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ 19. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； （2）C组所对应的扇形圆心角为_______度； （3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； （4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40，图见解析 （2）72 （3）560 （4） 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360°乘以C组人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次调查总人数为（名）， C组人数为（名）， 补全图形如下： 故答案为：40； 【小问2详解】 ， 故答案为：72； 【小问3详解】 （人）， 故答案为：560； 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 20. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 21. 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． （1）求证：是的切线． （2）连接交于点，若，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2）弧的长为． 【解析】 【分析】（1）利用证明，推出，据此即可证明结论成立； （2）设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算求得，求得，再求得，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设的半径为， 在中，，即， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 23. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 24. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为 （3）的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，，中的两个，能让小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，正比例函数与反比例函数 图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 中，若，则________度． 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________． 13. 如图，点在上，若圆的半径为4，，则图中阴影部分的面积为______． 14. 设，是一元二次方程两个实数根，则的值为______． 15. 如图，考古队在点A处测得古塔BC顶端C的仰角为，斜坡长10米，坡度，长12米，则古塔的高度为______米． 16. 如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共计72分。解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； （2）C组所对应的扇形圆心角为_______度； （3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； （4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 20. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 21. 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． （1）求证：是的切线． （2）连接交于点，若，求弧的长． 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 24. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $