专题03 空间图形的表面积和体积（6大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题03 空间图形的表面积和体积 目录 【题型一 空间几何体的表面积】 2 【题型二 求空间几何体的体积】 6 【题型三 根据表面积和体积求参数】 11 【题型四 内切球问题】 15 【题型五 外接球问题】 22 【题型六 点到平面距离】 29 一、内切球等体积法 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：， 可求出. 二、内切球独立截面法 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 三、外接球补形法 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 四、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 5、 双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 【题型一 空间几何体的表面积】 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 2．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算 【分析】若圆台上下底面半径分别为且，根据已知列方程求得，再应用圆台的表面积的求法求结果. 【详解】若圆台上下底面半径分别为且，则圆台轴截面腰长为， 所以，，即， 所以，可得，故， 综上，圆台的表面积为. 故选：C 4．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则四棱锥的表面积为 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用正四棱柱的性质求解各个面的面积，再求和计算表面积即可. 【详解】因为正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为， 而面，所以， 由题意得四边形是正方形， 所以由勾股定理得，而， 所以四边形是平行四边形，又， 所以四边形是矩形，其面积为， 而，， ，由勾股定理得 如图，在中，找中点，则， 所以，由勾股定理得， 所以， 综上四棱锥的表面积为. 故答案为： 5．（2024·山东威海·一模）已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】作出圆锥的轴截面，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】如图作出圆锥的轴截面，根据题意可知, , 所以可得, 根据三角形相似可得, 所以,可求得, 根据圆柱侧面积公式可得. 故答案为：    【题型二 求空间几何体的体积】 1．（24-25高三上·河南周口·期末）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，根据已知求得、棱台的高，在应用棱锥的体积公式求棱台的体积. 【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如下图示， 所以，则，而棱台的高， 所以， 则该三棱台的体积为 . 故选：D    2．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、空间垂直的转化 【分析】根据线线垂直可得平面，进而根据面面垂直的性质可得平面，进而根据三角形的边角关系，结合锥体体积公式求解. 【详解】如图：取的中点，连接， 则且，平面， 故平面， 平面，故平面平面， 平面平面， 过作的垂线，垂足为，即,平面，故平面， 由题意可知， 由余弦定理可得 , 故， 所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为 故选：B 3．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）如图，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其体积为 ． 【答案】/ 【知识点】正棱台及其有关计算、台体体积的有关计算 【分析】连接，分别交，与点，，由条件可得裁剪前，由六棱台性质可得，列方程求，再结合台体体积公式求结论. 【详解】如图，以为底边的等腰三角形的中位线为， 连接，分别交，与点，，则，分别为，的中点， 设，则由中位线和正六边形性质得，，， 折叠后形成的正六棱台如图所示，由正六边形性质得，，， 连接，则是正六棱台的高，即， 过点作，交于点， 由正六棱台结构特征可知平面， 平面，， 在中，，解得， 正六棱台的上下底面的边长分别为和， 正六棱锥上底面面积为，下底面面积为， 该正六棱台的体积为． 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四面体中，平面平面，，，．求四面体的体积． 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】在平面内过点作，垂足为，由平面平面，由面面垂直的性质，可得DF是四面体的面上的高．设为边CD的中点，连接，可得，计算可得与的长，进而可得，由棱锥体积公式，计算可得答案； 【详解】如图所示，在平面内过点作，垂足为， 故由平面平面，AC为交线，平面， 知平面，即DF是四面体的面上的高． 设为边CD的中点，连接AG，则由， 知，从而． 由，得． 在中，，． 故四面体的体积． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先确定旋转体的形状，再利用圆柱和圆锥的表面积公式与体积公式求解即可. 【详解】在梯形中，，， ，，， 如图，作， 由题意得四边形是矩形，故， ，， ，． 由于以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体 为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径． 圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． 设圆柱体体积为，圆锥体体积为， ，， ． 【题型三 根据表面积和体积求参数】 1．（2025·湖北·模拟预测）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、锥体体积的有关计算 【分析】先设底面边长及高，计算底面面积，进而得到该六棱锥的体积公式，再得出最后应用基本不等式计算即可． 【详解】    设正六棱锥的底面边长与高分别为, 底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 则 ， 因为， 当且仅当，即时取最小值， 则 的最小值为. 故选：A. 2．（2025·江西·一模）在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解. 【详解】连接相交于点，相交于点，连接， 则为正四棱台的高，作，垂足为， 则，， 四边形是等腰梯形，， 所以，， ， 由，得， 可得． 故选：C. 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】作辅助线，可知为异面直线与所成角或其补角，根据棱台体积公式求得，结合余弦定理即可求解. 【详解】设正四棱台的高为， 连接，作交于点，作交于点，连接， 则为异面直线与所成角或其补角. 因为，且正四棱台的体积为， 即， 所以，即， 则，，， ，， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若某圆台上、下底面的半径分别为1，3，且圆台的体积为，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为 ． 【答案】 【知识点】圆台的结构特征辨析、台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式计算得出，再结合圆台的轴截面根据正切公式计算. 【详解】设圆台的高为，则，解得． 取圆台的轴截面，如图所示．则所求为． 故答案为：． 5．（24-25高三下·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【答案】 / / 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、锥体体积的有关计算 【分析】根据体积关系可得的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得. 【详解】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号. 所以a的最小值为. 故答案为：；. 【题型四 内切球问题】 1．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意得到内切球半径和三棱锥高的关系，然后利用等体积的思路列方程，解方程即可得到. 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， 因为，所以，， 因为，所以， 因为三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面∥平面，所以， 由， 得， ， ，解得， 因为，所以，. 故选：A. 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】作出轴截面，根据直角三角形的知识计算出底面半径和高，再根据圆锥的体积计算公式即可. 【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积. 故选：C 3．（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面半径为2，该圆台内切球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求旋转体的体积 【分析】首先求出圆台内切球的半径，即可得圆台的高，然后设出下底面半径，即可表示出母线长，再结合勾股定理即可得下底面半径，最终由圆台体积公式即可得解. 【详解】 设该圆台内切球的半径为R，则，． 设圆台的下底面半径为r，易知圆台的轴截面与球的轴截面内切， 圆台的高为，母线长为， ，解得， 圆台的体积为. 故选：A． 4．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据内切球的统计求出半径，由线面垂直的判定定理可得平面，三棱柱为直三棱柱，由平面垂直平面可得，设，根据直角三角形内切圆的半径即外接球的可得，最后由可得答案. 【详解】设内切球的半径为，则，所以， 因为，，所以，， 且，平面，所以平面， 所以三棱柱为直三棱柱，即侧棱垂直于底面，且侧棱长为2， 做交于点，连接， 因为平面垂直平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 因为平面， 平面，所以， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 设，可得，解得，又， 解得，或，可得， 则三棱锥体积为. 故选：B.    5．（多选）（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 【答案】ABD 【知识点】圆台的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题、弧长的有关计算 【分析】对A，根据轴截面分析即可；对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C，应用二面角及点到平面距离计算即可；对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可 【详解】对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，， 则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确； 对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为，则根据扇形弧长，所以，故B正确； 对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面， 所以，到截面距离为，故C错误； 对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为， 故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确； 故选：ABD 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表面积之和为 . 【答案】 / 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为，如图，作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案. 【详解】设正四面体的棱长为，高为，底面圆半径为， 则，得，又， 所以正四面体的体积为，解得. 如图，取的中点，连接，，则，， 过点A作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 所以最大球的体积为，且，则，， 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 7．（2024·云南曲靖·二模）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且， M，N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M，N两点间距离的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】将三棱锥补成正方体，计算出内切球的半径以及点到平面的距离，即可求得、两点间距离的最小值. 【详解】由已知可将该三棱锥补成正方体，连接，如图所示. 设三棱锥的内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为， 易知、、三点均在上， 在正方体中，平面，平面，， 因为四边形为正方形，则， ，平面， 平面，则，同理可证， ，平面， 设内切球的半径为，外接球的半径为，则. 由等体积法可得， 即， 由等体积法可得，得， 、两点间距离的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将三棱锥置入正方体中，数形结合得到外接球和内切球半径，是一道有一定难度的题. 【题型五 外接球问题】 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】由勾股定理逆定理得，取中点，则是的外心，由三棱锥性质得平面，从而得外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆，由正弦定理求得的外接圆的半径即得球半径，再由面积公式计算． 【详解】由已知，所以， 取中点，则是的外心， 又，所以点在底面上的射影是的外心，即为， 所以平面，因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆， ，所以， ，，这就是外接球的半径， 外接球表面积为， 故选：C． 2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）在棱长为2的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】作出图形，设，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最大值，利用正弦定理求得外接圆直径的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，高为，圆柱的外接球半径为， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于， 则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 本题中，平面，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为，， 该三棱锥的外接球直径为，则. 如下图所示： 设，则，，， ， 当且仅当时，取得最大值， 由， 解得，， 所以的最大值为， 由正弦定理得，即的最小值为， 因此， 所以三棱锥外接球的表面积为， 故三棱锥外接球的表面积的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二面角、球的表面积的有关计算、证明线面垂直、多面体与球体内切外接问题 【分析】如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则为二面角的平面角，设正方形的边长为，利用锐角三角函数求出，即可求出，，再设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，最后再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则平面，得平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，由， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在上. 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥中，  平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】设外心为，外心为，DB中点为E，过外心分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圆半径，又注意到四边形为矩形，则外接球半径. 【详解】设外心为，外心为，DB中点为E. 因，平面，平面平面， 平面平面，则平面，又平面， 则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心， 则四边形为矩形.外接圆半径. 又因，，则.故外接圆半径. 又. 又平面，平面，则. 故外接球半径， 故外接球表面积为. 故选：A 【点睛】结论点睛：本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球.设底面与侧面外接圆半径为，底面与侧面公共棱长度为，则外接球半径. 5．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】已知三棱锥外接球球心到每个顶点的距离都是相同，等于外接球半径，在平面上，三角形外接圆圆心为外心（直角三角形的外心为斜边中点），是该三角形边中垂线的交点，过该交点作三角形所在平面的垂线，该垂线上的所有点到三角形的顶点距离相同，故我们只需用该方式，找两个面的垂线，其交点为外接球球心，然后计算其半径即可. 【详解】先分别作,中点，连接； 再过点在平面内作垂线，与相交于点,相交于点； 分别过点作平面,平面垂线，相交于点,连接，如图所示. 由题可知，二面角的平面角为,点分别为的外心，故为该三棱锥外接球球心，为外接球半径， 可得，， 所以 在中， 所以, 所以, 由正弦定理可知 因为， 所以 因为 所以有 所以外接表面积为 故答案为： 【点睛】思路点睛：球外接球相关的所有问题，只需要找到外接球的球心。然后求出半径；找外接球球心的一般方法，就是找出相关三角形的外接圆圆心，然后过圆心作该三角形所在平面的垂线，外接球球心一定在该垂线上，所以当我们作两个垂线时，有交点，交点为外接球球心. 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为 ． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、圆台表面积的有关计算 【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得. 【详解】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影， 为该圆台的外接球球心， 由该圆台的侧面积为，则有， 即， 由下底面半径比上底面半径大，则有， 由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即， 又，即有， 则，即，则， 则有， 即，即，即， 设该圆台的外接球半径为，则, 故该圆台的外接球体积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出该圆台的外接球球心，从而借助勾股定理得到. 【题型六 点到平面距离】 1．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）在正四棱台中，，，若存在球O与该正四棱台的各个面均相切，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求点面距离、正棱台及其有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】作出辅助线，四边形的内切圆是正四棱台内切球O的截面大圆，由等腰梯形性质及切线长定理求出各边长，得到正四棱台的高，设点到平面的距离为h，由等体积法得到方程，求出答案. 【详解】如图，在正四棱台中， 分别取，，，的中点为E，F，，， 连接，则四边形的内切圆是正四棱台内切球O的截面大圆， 设四边形各边与其内切圆的切点分别为(如图所示), 因为四边形是等腰梯形，，， 由切线长定理得， 过点分别作，交于点，    则，，由勾股定理得， 则正四棱台的高，设点到平面的距离为h， 又，所以， 且，， 所以，解得. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是抓住四边形的内切圆是正四棱台内切球O的截面大圆，进而利用该特性求出正四棱台侧面的高和正四棱台的高h，然后利用等体积法可求解点到平面的距离. 2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】根据给定条件，确定四边形的形状，再求出四边形面积最大时，圆心O到边BC的距离，然后在几何体中作出点O到平面的垂线段，借助直角三角形计算作答. 【详解】如图，设直线AB交大圆于点F，E，连接CE，DF，由，知四边形为等腰梯形， 取AB，CD的中点M，N，连接MN，则， 因为，所以， 因为，所以四边形是矩形， 因此四边形为矩形，过O作于，连接OB，OC，OA，OD， 从而四边形的面积， 当且仅当，即时取等号， 此时， 如图，在几何体中，连接PQ，PO，因为平面，平面， 所以，又， ，，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 显然平面平面，在平面内过作于， 从而平面，即OR长即为点到平面的距离， 在中，，， 所以， 所以点O到平面的距离是. 故选：C 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，E是中点，且，设，将沿折起向C点旋转（旋转过程中A点记为，且与C不重合），则与平面所成角的大小为 ，点C到平面的距离的最大值是 . 【答案】 // 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】以为轴旋转，始终与平面垂直，由可得垂直关系；点C到平面的距离的最大值即点到直线的距离，再利用等面积法求解即可. 【详解】①如图1，在梯形中，连接. 由题意，则四边形是平行四边形， 又，且，则四边形是正方形. 则，如图2，可知， 又平面，且平面，且， 所以平面. 由题意知，则四边形为平行四边形， 所以，则平面， 即与平面所成角的大小为； ②如图2，在平面中过点作，垂足为，延长交于. 设点到平面的距离为， 则，当且仅当平面时，取最大值. 又平面，也即平面平面时等号取到. 由题意，将沿折起向C点旋转，下面分析当旋转至何处时，等号取到. 若平面，由平面，则， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，则平面平面. 故当旋转至满足平面平面（即二面角为直二面角）时， 点C到平面的距离能取到最大值，最大值即为. 在直角梯形中，，则， ，所以. 在中，. 故点C到平面的距离的最大值是. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：定点到过定直线的平面的距离最大值（其中定点不在定直线上），即定点到定直线的距离.如题目中定点，动平面过定直线，点到直线的距离为定值，设点到平面的距离为，则，当且仅当平面平面时等号成立. 4．（23-24高三上·江苏南通）在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时， ，此时球心到平面的距离是 . 【答案】 3 【知识点】多面体与球体内切外接问题、由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】由题意可知，四棱锥可以看成是由某个正方体截取的一部分，因此该四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，则球心应在正方体对角线的中点，当球的半径最小时，其体积最小；根据四棱锥的体积为9，建立半径与棱长的关系式求最值即可得出；由几何关系可知平面与正方体对角线的交点为对角线的三等分点，即可求出球心O到平面的距离. 【详解】如下图所示， 设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积， 所以； 设四棱锥的外接球半径为，通过构造长方体可知满足； 即 令，则， 令,即； 所以，在上单调递减，在上单调递增； 即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小； 所以，，半径； 此时四棱锥可以看成是由棱长为3的正方体截取的一部分， 则球心应在正方体对角线的中点， 设平面 由正方体中的几何关系可知，且平面； 所以即为球心O到平面的距离. 又因为，即 所以球心O到平面的距离为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·北京·期中）如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .    【答案】 【知识点】求点面距离、立体几何中的轨迹问题 【分析】第一空，直观想象翻折过程中点的运动轨迹，结合点面距离的定义判断得所求为，从而得解；第二空，利用平行线的传递性，将问题等价于点的轨迹长试，从而得解. 【详解】第一空：过作交于， 易知当平面时，点到平面距离取得最大值，    因为在中，，，， 所以，； 第二空，取的中点，连接， 则，又， 则平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点F的轨迹与点的轨迹形状完全相同. 过作的垂线，垂足为， 则的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧， 从而PD的中点F的轨迹长度为. 故答案为：；. 6．（23-24高一下·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】求点面距离、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】到平面的距离，即三棱锥的高，由，利用等体积法求解. 【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接， 底面是矩形，，， ，， 则，且， 又底面，底面，，， 而，平面， 所以平面，平面， 即为三棱锥的高，， 在中，，， 在中，， 中，，， 在中，，则， ， 在中，， 在中， ， 在中，，，， 由余弦定理，则 ， 设到平面的距离为， ，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 点到平面的距离，转化为对应棱锥的高，利用等体积法求解，由图形中的垂直关系，利用勾股定理和余弦定理计算需要的边长和面积. 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】先确定两个四面体的公共部分，再利用锥体的体积公式求体积. 【详解】如图： 取与的交点为，取中点，连接，交于点， 则三棱锥即为四面体与四面体的公共部分. 因为. 又，所以，所以. 过作于点， 因为平面，平面，所以. 因为，平面，所以平面. 所以为到平面的距离，其值为， 点为的中点，所以点到平面的距离为：. 所以. 故选：C 【点睛】方法点睛：几何图形的公共部分和体积计算：通过分析两个几何体公共部分的几何位置，逐步构造关键点，利用三角形面积和锥体体积公式，最终得出公共部分的体积，此方法清晰有效，能充分展示逻辑推理与代数运算等解题技巧. 2．（23-24高三上·江苏南京·期中）已如是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、体积和表面积、锥体体积的有关计算 【分析】设球的半径为外接圆的半径为，根据题意求出，，在求球心到的距离，即可得到答案. 【详解】设球的半径为外接圆的半径为， 在中，由，则， 得，所以， 因为球的表面积为， 则，解得， 所以球心到的距离， 即三棱锥的高为， ， 所以三棱锥的体积. 故选：C 3．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积. 【详解】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则，   ， ， 由余弦定理得 ， 设，则，故， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径为，外接球表面积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 4．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）正方体中，，分别在上，且， ，则下列正确的有（   ）个 ① ，②，③，④点到平面距离为1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、余弦定理解三角形 【分析】连接交于，连接交于，根据比例关系可判断①；利用勾股定理可判断②；求出可判断③；利用，可判断④. 【详解】对于①， 连接交于，连接交于， 因为A1D，，所以，， 则重合，且为的中点， 再由，所以，故①正确； 对于②，连接，，，由余弦定理得 ， ，， 所以，，因为， 可得，故②正确； 对于③，由②知，故③错误； 对于④， ，，， ， 设点到平面距离为， 由，所以， 可得，故④错误. 故选：B. 【点睛】方法点睛：点到平面的距离问题是立体几何中的常见问题，是求直线与平面所成的角、二面角以及几何体的体积的基础．对这类问题，需灵活掌握以下求解策略： 1.直接作出平面的垂线；2.寻找两个垂直平面，在一个平面内作交线的垂线；3.利用直线与平面平行时，直线上任何一点到平面的距离都相等的这一性质，转化为求直线上另外一点到平面的距离；4.过该点作平面的斜线段：转化为求该线段的中点到平面的距离；5.利用三棱锥的等积变换一体积法. 5．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径. 6．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答. 【详解】如图所示：    由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足， ， 由勾股定理得， 所以，即是等边三角形，， 设点为外接圆的圆心， 则外接圆的半径为，， 如图所示：    设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点， 而均垂直平分，过点， 所以点在面，面内的射影分别在直线上， 不妨设点在面，面内的射影分别为， 即， 由题意，且二面角为直二面角，即面面，， 所以，即， 结合可知四边形为矩形，不妨设， 则由以上分析可知，， 由勾股定理以及，即， 可得，解得， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：画出图形，通过数学结合分析已知量与未知量的关系，建立适当的桥梁关系即可得到球心的位置以及球的半径，关键是首先去找，底面外接圆的圆心，综合性较强. 7．（23-24高三上·江苏·阶段练习）如图①，已知边长为4的等边分别为边的中点，现以为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、球的体积的有关计算 【分析】取中点，结合等腰三角形三线合一性质、余弦定理和勾股定理可分别证得，，从而得到平面；根据可知为梯形外接圆圆心，设外接圆圆心为，由球的性质可确定球心位置，根据长度关系可得半径，代入球的表面积公式即可. 【详解】取中点，连接， 分别为中点，，， 是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 为中点，，，即，； ，，， ，， ，平面，平面， ，，为等边三角形，， 同理可得：，， 为梯形的外接圆圆心， 设的外接圆圆心为，则， 分别过作的平行线，交于点，则点即为四棱锥的外接球球心，即为外接球半径， ，， 四棱锥的外接球体积为. 故选：B. 【点睛】关键点睛；本题考查立体几何中的多面体外接球相关问题的求解，解题关键是能够根据球的性质，结合线面垂直关系确定外接球球心的位置，从而根据长度关系求得外接球半径. 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、正棱锥及其有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案. 【详解】    如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形. 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）正三棱台中，，与底面所成角的正切值为3，所有顶点在球的表面上，则（   ） A． B．三棱锥的体积为18 C．球O的表面积为 D．经过三点，，O的平面截底面的交线长为 【答案】ACD 【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】将正三棱台补成正三棱锥后，借助线面垂直的性质定理与判定定理可得A；借助体积公式计算可得B；确定球心后，借助球的表面积公式计算可得C；结合空间中点、线、面的位置关系，可作出所需交线，结合相似性质计算即可得D. 【详解】延长各侧棱，使其交于点，取中点，连接、， 由正棱台性质可知，棱锥为正三棱锥； 对A：，又，故、， 又，、平面， 故平面，又平面， 故，故A正确； 对B：过点作底面，则， 令平面，由，则， 由与底面所成角的正切值为3，即有，故， 则， 故，故B错误； 对C：易得点在直线上，连接、， 则有，即， 解得，则， 故球O的表面积为，故C正确； 对D：由，故可延长交于点， 由，故平面， 过点作，分别交、于点、， 由，故，则平面， 即为经过三点，，的平面截底面的交线， 有，即， 故，则，故， 即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于借助，得到且平面，即可过点作，得到所需交线. 10．（24-25高三上·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是矩形，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（   ） A．不存在点使得 B．四棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成角为 D．当动点到直线的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 【答案】ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、面面垂直证线面垂直 【分析】取AD的中点G，证明平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，从而得为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D． 【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，平面，则． 又因为，所以， 又，平面，所以平面PGC． 因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，故不存在点使得，故A正确； 因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为1的正方体． 如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径， 即四棱锥外接球的表面积，故B错误． 如图2，由正方体的性质可知，， 则直线与直线所成角即为直线与直线所成角，又为等边三角形， 所以， 所以直线与直线所成角为，故C正确． 如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时， 由上推导知，，， ，，，， 因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为中点, 平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点， 故，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置． 三、填空题 11．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知正四面体ABCD的棱长为6，点E，F满足，，用过A，E，F三点的平面截正四面体ABCD的外接球O，当时，截面的面积的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径，再分析出时，三点共线，此时过A，E，F三点的平面球心，此时截面面积最大，截面面积为，求出和两种情况下，由等体积法求出球心到平面的距离相等，均为，此时截面面积最小，求出截面圆半径，从而得到截面面积的取值范围. 【详解】过点作⊥平面，则点在中线上，且， 球心在上，连接， 因为正四面体ABCD的棱长为6，所以，， 由勾股定理得， 设外接球O的半径为， 设，则， 由勾股定理得，即，解得， 时，三点共线，此时过A，E，F三点的平面过球心， 此时截面面积最大，截面面积为； 当或时，此时球心到截面的距离较大， 当时，过A，E，F三点的平面即为平面， 由对称性可知，此时球心到平面的距离等于到平面的距离， 即， 当时，，连接，交于点，则， 由于为等边三角形，故， 则，故，， 由勾股定理得，， 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 由于，故点到平面的距离为， 故与时，点到平面的距离相等，均为， 故平面截正四面体ABCD的外接球的半径为， 则截面面积为， 综上，截面的面积的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 12．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的取值范围为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】利用球的截面性质确定的轨迹，再结合圆的性质求解即可. 【详解】 如图，取的外心，过作平面， 则三棱锥的外接球球心一定在上，设外接球半径为， ，，，由，， 过作于点，过作平面于点， ，由，得， 在面内以为圆心，以3为半径的圆弧上（且位于上方）， 设到的距离为，， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是利用球的截面性质得到的轨迹，然后利用锥体体积公式得到函数解析式，再求出所要求的取值范围即可． 13．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算 【分析】在中，由正弦定理求得外接圆半径，得到的外接圆的半径为，进而求得球心到所在小圆的距离为，再由余弦定理，结合基本不等式求得，得到面积的最大值为，利用锥体体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆的半径为， 在中，因为， 由正弦定理得，可得， 即的外接圆的半径为， 因为为球的直径，且，可得球的半径为， 所以球心到所在小圆的距离为， 则点S到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为， 故三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.根据球的性质求点点S到所在小圆的距离； 2.利用余弦定理结合基本不等式求面积的最大值. 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 . 【答案】 π 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】第一空，由题意先画出图形，由勾股定理可知，，,该四面体是两个共斜边的直角三角形构成的，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边的中点处，从而即可求出外接球的体积. 第二空，将四面体A′BCD放在长方体内观察，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小，所以只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即，所以只需算出的长度即可. 【详解】第一空：由题意知，，，，由勾股定理可知，，，所以，， 取的中点O，所以，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边的中点处，四面体A′BCD的外接球O的半径， 外接球O的体积.    第二空，根据题意可知，将四面体A′BCD可放在棱长为3的正方体内，如图所示， 过点E作球O的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球O到截面的距离d, 只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即，取BD的中点F，，所以, 所以截面圆的半径为.    故答案为：①π，②. 四、解答题 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 【答案】(1)6； (2)4； (3). 【知识点】判断正方体的截面形状、台体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据水的体积不变即可得解； （2）根据空气部分的体积大小判断水面形状，记的中点为，连接，利用空气部分体积求出，然后可求侧棱与水平面所成角的正弦值，由可得所求； （3）判断空气部分为台体，设，,根据体积公式和勾股定理列方程，联立整理，代入梯形面积公式，转化为关于的函数，通过换元，利用二次函数性质求解可得. 【详解】（1）记水面与棱分别交于点， 当侧面水平放置时，水是以为底，高为8的直棱柱， 因为，分别为棱的中点， 所以，所以水的体积为， 当底面ABC水平放置时，设水面高为， 则，解得， 即当底面ABC水平放置时，水面高为6. （2）因为三棱柱体积为， 所以三棱锥的体积为， 空气部分的体积为， 因为，所以当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图， 由得， 记的中点为，连接，则， 因为，所以， 又平面，平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以直线在平面内的投影为， 所以为直线与水平面所成角， 又，所以， 所以， 因为，所以水面到地面的距离为. （3）由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为正三角形，设， 则，所以， 整理得①， 又因为平面，平面，平面平面， 所以与的交点必在上，所以为棱台， 所以， 整理得②， 联立①②可得，， 因为，所以为平行四边形， 所以， 易知为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 所以水面面积， 则 当水面刚好过点时，，解得， 则，， 由题意可知，则， 记，， 由二次函数性质可知，，即， 所以，所以， 即水面面积S的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题解答关键在于侧棱与水平面所成角的运用，利用侧面与水平面所成角表示出水面面积，然后利用二次函数的性质求解即可. 16．（2024·山东临沂·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面AMHN，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且． (1)证明：； (2)若H为PC的中点，，PA与平面PBD所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求长度 【分析】（1）根据菱形性质知，然后通过证明平面PAC，可得，根据垂直平分线性质可证； （2）令，先证明平面ABCD，平面PAC，然后由和可解. 【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OP， ∵平面AMHN，且平面平面，平面， ∴． ∵，∴， ∵四边形为菱形，∴，， ∵，且平面PAC， ∴平面PAC，又平面PAC，∴， ∴． （2）∵，且O为AC中点， ∴，由（1）得， ，平面ABCD， ∴平面ABCD， 令，又四边形为菱形，， ，，． ，且都在平面PBD内， 平面PBD，又PA与平面PBD所成角为60°， ∴，， ∴， ∴ 又H为PC中点，且，∴， 在△PAC中，记， 易知点G在MN上，且点G为△PAC重心，， 又∵，∴， 由（1）知平面PAC，∴平面PAC， 又， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间图形的表面积和体积 目录 【题型一 空间几何体的表面积】 2 【题型二 求空间几何体的体积】 3 【题型三 根据表面积和体积求参数】 4 【题型四 内切球问题】 5 【题型五 外接球问题】 7 【题型六 点到平面距离】 7 一、内切球等体积法 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：， 可求出. 二、内切球独立截面法 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 三、外接球补形法 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 四、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 5、 双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 【题型一 空间几何体的表面积】 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昭通·一模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 3．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则四棱锥的表面积为 5．（2024·山东威海·一模）已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为 . 【题型二 求空间几何体的体积】 1．（24-25高三上·河南周口·期末）已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）如图，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其体积为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四面体中，平面平面，，，．求四面体的体积． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【题型三 根据表面积和体积求参数】 1．（2025·湖北·模拟预测）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D． 2．（2025·江西·一模）在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若某圆台上、下底面的半径分别为1，3，且圆台的体积为，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为 ． 5．（24-25高三下·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【题型四 内切球问题】 1．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面半径为2，该圆台内切球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（   ） A． B．4 C．2 D． 5．（多选）（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表面积之和为 . 7．（2024·云南曲靖·二模）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且， M，N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M，N两点间距离的最小值为 . 【题型五 外接球问题】 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）在棱长为2的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥中，  平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 ． 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为 ． 【题型六 点到平面距离】 1．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）在正四棱台中，，，若存在球O与该正四棱台的各个面均相切，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，E是中点，且，设，将沿折起向C点旋转（旋转过程中A点记为，且与C不重合），则与平面所成角的大小为 ，点C到平面的距离的最大值是 . 4．（23-24高三上·江苏南通）在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时， ，此时球心到平面的距离是 . 5．（24-25高二上·北京·期中）如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .    6．（23-24高一下·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为 ． 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高三上·江苏南京·期中）已如是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）正方体中，，分别在上，且， ，则下列正确的有（   ）个 ① ，②，③，④点到平面距离为1 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏·阶段练习）如图①，已知边长为4的等边分别为边的中点，现以为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）正三棱台中，，与底面所成角的正切值为3，所有顶点在球的表面上，则（   ） A． B．三棱锥的体积为18 C．球O的表面积为 D．经过三点，，O的平面截底面的交线长为 10．（24-25高三上·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是矩形，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（   ） A．不存在点使得 B．四棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成角为 D．当动点到直线的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 三、填空题 11．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知正四面体ABCD的棱长为6，点E，F满足，，用过A，E，F三点的平面截正四面体ABCD的外接球O，当时，截面的面积的取值范围为 ． 12．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的取值范围为 . 13．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . 14．（23-24高三上·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达A′，且，则四面体A′BCD的外接球O的体积为 ；若点E在线段BD上，且BD＝4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动） 16．（2024·山东临沂·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面AMHN，点M，N，H分别在棱PB，PD，PC上，且． (1)证明：； (2)若H为PC的中点，，PA与平面PBD所成角为60°，四棱锥被平面截为两部分，记四棱锥体积为，另一部分体积为，求. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$