专题02立体几何表面积与体积（专项训练）数学苏教版必修第二册

专题02立体几何表面积与体积 目录 A题型建模・专项突破 题型01棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型02棱柱、棱锥、棱台的体积 题型03圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型04圆柱、圆锥、圆台的体积 题型05组合体的表面积 题型06组合体的体积 题型07简单几何体表面积的比 题型08简单几何体体积的比 B综合攻坚・能力跃升 题型01棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    2．（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 4． 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 题型02棱柱、棱锥、棱台的体积 5．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 8．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（   ） A．1m B．2m C．m D．m 题型03圆柱、圆锥、圆台的表面积 9．如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为___________. 10．在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 11．已知正四棱台的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为_________． 12．已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 题型04圆柱、圆锥、圆台的体积 13．已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________. 14．如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 15．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比___________. 16．一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为和，母线长为，则该水桶的容积（忽略桶壁厚度）为（   ） A． B． C． D． 17．（多选）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 18．已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 题型05组合体的表面积 19．从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（   ） A． B． C． D． 20．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 21．如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 22．在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 23．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 题型06组合体的体积 24．如图所示，已知多面体,两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为___. 25．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    26．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 27．已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，将其绕着它的某一条侧棱所在直线旋转一周所得的几何体的体积为_______________. 28．已知是以BC为斜边，面积为1的直角三角形，则绕BC边旋转一周得到的几何体的体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型07简单几何体表面积的比 29．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 30．过圆锥高的三等分点分别作平行于底面的截面，求它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（从小到大）． 31．圆锥的侧面积与全面积之比是，则圆锥的顶角是________． 32．已知底面半径为r(r>0)的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为 则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为________； 33．埃及著名的吉萨（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥.已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积，则高的平方与底面棱长的平方的比值为（   ） A． B． C． D． 34．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 题型08简单几何体体积的比 35．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 36．一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（    ） A． B． C． D． 37．刍甍是如图所示五面体ABCDEF，其中，底面ABCD是平行四边形，《九章算术·商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一”，意思是：若，AB、CD之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积，现有刍甍ABCDEF，，AB、CD之间的距离是2，EF与平面ABCD之间的距离是4，过AE的中点G，作平面平面ABCD，将该刍甍分为上下两部分，则上下体积之比为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于______.    39．如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 1．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．将棱长为1的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八面体的体积为（   ） A． B． C． D． 4．花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有7000年的历史，为了方便堆叠和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构.小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为，下底面圆的直径为，高为，则该花盆的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 7．（多选）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 8．如图，三棱锥的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为________. 9．如图在一个五面体中，其中面为矩形，平面，且与平面的距离为5，则该五面体的体积为______． 10．若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 11．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 12．若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则这个圆锥的表面积为_____． 13．已知某圆锥侧面展开后得到的扇形的面积等于其底面积的31倍，则该圆锥的高与底面圆半径的比值为______. 14．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02立体几何表面积与体积 目录 A题型建模・专项突破 题型01棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型02棱柱、棱锥、棱台的体积 题型03圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型04圆柱、圆锥、圆台的体积 题型05组合体的表面积 题型06组合体的体积 题型07简单几何体表面积的比 题型08简单几何体体积的比 B综合攻坚・能力跃升 题型01棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    【答案】 【分析】求出正四棱柱的侧棱长和底面边长后即可求表面积. 【详解】因为四边形为正方形，，故， 而，故，故， 故正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 2．（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，. 3．已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【答案】(1)底面边长为，斜高为 (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的性质结合勾股定理计算求解； （2）根据正四棱锥侧面积计算公式计算求解. 【详解】（1）如图，在正四棱锥中，高， 侧棱， 则为直角三角形， 在中，， ， ∵四边形为正方形， ． 作交于，则为的中点，．连接，则即为正四棱锥的斜高． 在中，，， ，即正四棱锥的斜高为． 故正四棱锥的底面边长为，斜高为； （2）由（1）知，． 所以正四棱锥的侧面积为． 4．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 【答案】高为，侧棱长为 【详解】如图，在三棱台中，分别为上、下底面的中心，分别是的中点，连接，，，，则是等腰梯形的高， 所以． 又，， 则上、下底面面积之和为． 由，得，所以， 又，， 所以棱台的高为 ． 在直角梯形中， ，，， ． 故棱台的高为，侧棱长为． 题型02棱柱、棱锥、棱台的体积 5．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解. 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 因为底角的正切值为2， 设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线， 所以圆台的表面积. 故选：D. 6．某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理和圆锥的侧面积公式求解. 【详解】圆锥的轴截面为，，， 则，， 圆锥的侧面积为. 故选：A. 7．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 8．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（   ） A．1m B．2m C．m D．m 【答案】B 【详解】设这个圆锥底面半径为，母线为，则底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为， 由弧度制的定义知，所以，则侧面积为， 所以这个圆锥的表面积为，所以，则直径为2m． 题型03圆柱、圆锥、圆台的表面积 9．如图1，取边长为6的正方形纸板，分别为三边的中点，先将等腰直角三角形沿虚线段裁去，再将剩下的五边形沿线段折起，连接，就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体（如图2）．若棱的长为5，则该五面体的体积为___________. 【答案】 【分析】使用补形的方法将五面体的体积转化成三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可. 【详解】将五面体补回三棱柱，由题得底面， 五面体的体积可以看作是三棱柱的体积减去三棱锥的体积. 过点向作垂线，交BC于点H，则有， 在四边形中，且，则四边形为平行四边形， 故，所以， 在中，， 则，进而， 在中，，所以， 所以， 则，， 故. 即该五面体的体积为. 10．在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到截面，并由等体积法得到各个几何体之间的体积关系，得到答案 【详解】如图所示，在正四棱锥中，是棱PA的中点， 取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA， 所以，因为，所以， 所以，，，四点共面，所以平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE. 平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥的体积为，高为. 设四边形的面积为， 则， 同理. 设点到平面AEF的距离是， 则， 即，故， 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 11．已知正四棱台的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为_________． 【答案】 【详解】因为正四棱台的上、下底面面积分别为18，32， 所以上、下底面边长分别为． 如图，过点作于点，则． 因为，所以AD与所成的角为， 所以，解得． 设该正四棱台上、下底面的中心分别为，连接，， 可得，过作于点，则 所以． 所以该正四棱台的体积． 12．已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 【答案】8 【分析】设正四棱台的高为，上底面的面积为，根据正棱台的体积公式列方程求出，进而可求得三棱锥的体积． 【详解】如图，设正四棱台的高为，上底面的面积为， 因为，所以下底面的面积为， 所以正四棱台的体积，解得， 所以三棱锥的体积． 题型04圆柱、圆锥、圆台的体积 13．已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________. 【答案】 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为、高为， 则由侧面积相等可得，解得， 由圆锥体积为可得，将代入得，解得， 因此. 14．如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中截面性质得出圆柱的高和底面半径，然后由圆锥体积减去圆柱体积即得. 【详解】如图，过OP的中点作平行于底面的截面，截面圆半径， 是圆锥底面半径，在母线上， 因为为中点，则，， 所以剩余的几何体的体积为. 15．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比___________. 【答案】/ 【详解】由甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和， 得甲圆台的高， 乙圆台的高， 因为两个圆台的上下底面半径相同， 由圆台体积公式可知，其体积之比等于高之比， 所以两个圆台的体积之比. 16．一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为和，母线长为，则该水桶的容积（忽略桶壁厚度）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出圆台示意图，计算出圆台的高，代入圆台体积公式计算即可. 【详解】如图，过作垂线于，由题知 由勾股定理可得， 设圆台上底面半径为，下底面半径为，高 代入圆台体积公式有. 17．（多选）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 【答案】BC 【分析】作出圆锥的轴截面，利用弧长公式求得小圆锥的高，利用，结合圆锥的体积公式及圆台的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作出圆锥的轴截面等腰，则， 设小圆锥的半径，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为，所以， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，所以，计算得， 可得，小圆锥的高为3，A选项错误； 由，可得，所以， 则，即圆台的母线长为，C选项正确； 所以大圆锥的体积为，B选项正确； 圆台的表面积为，D选项错误； 18．已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的侧面积公式求出母线长，进而求出圆台高，再利用圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的半径分别为，圆台上、下底面圆的面积分别为，圆台高为，母线长为， 因为圆台的上、下底面的面积分别为，， 所以，，解得，， 由题意得，圆台的侧面积为，所以， 作圆台的轴截面，如图： 所以圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：C. 题型05组合体的表面积 19．从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析挖去部分的形状，再分别计算正方体剩余部分的表面积和挖去部分的表面积，最后将两部分面积相加得到几何体Ω的表面积. 【详解】根据题意易得是由正方体，挖去个以4为半径的球所得， 所以的表面积为.    故选：D 20．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 21．如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出旋转体，则该几何体的表面积由两个圆锥的侧面和一个矩形组成，分别求其面积相加即可得解. 【详解】作出旋转体如下图： 过点作所在直线的垂线，垂足为,，，，则， 即底面圆的半径为，则圆的周长为， 圆锥侧面展开图的半径为，上下两个圆锥的侧面积为， 几何体的侧面展开是一个矩形，， 所以几何体的表面积为. 故选：B. 22．在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 23．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义，结合菱形的面积公式求解. 【详解】因为ABCDEF是正六边形，又BC=1， 则，即， 因为四边形PGHI为菱形，连接PH，GI，则， 又且GI=AC，则， 设， 则， 则，则， 则菱形PGHI的面积为， 则上顶菱形的面积为. 故选：D. 题型06组合体的体积 24．如图所示，已知多面体,两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为___. 【答案】4 【分析】法一：将多面体分割成一个直棱柱和一个斜棱柱即可求出；法二：利用补形法将多面体补成了正方体，即可求出. 【详解】法一（分割法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，两两互相垂直，所以可推出. 如图所示，过点作于，连接， 即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱. 由题知，，. 故所求几何体的体积为. 法二（补形法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半. 又正方体的体积，故所求几何体的体积为. 25．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．    【答案】 【分析】分别在上取点，连接，将在几何体分成一个三棱柱和四棱锥的体积求解即可. 【详解】分别在上取点，连接， 所以平面平面， 取的中点，连接，因为平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 平面， ，梯形， ∴所求几何体的体积为.    故答案为：. 26．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】 【分析】由题意可得该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，由圆台、圆锥的表面积、体积公式运算即可得解. 【详解】由，得． 又因为，所以． 因为，， 所以． 所以几何体的表面积 ． ． ． ． 27．已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，将其绕着它的某一条侧棱所在直线旋转一周所得的几何体的体积为_______________. 【答案】/ 【分析】根据题设分析并想象，得几何体是以为底面半径，高分别为、的圆锥构成的组合体，再应用圆锥的体积公式求几何体体积. 【详解】如下图，正三棱锥，， 其中是线段（除端点外）上任意点，且棱锥绕旋转一周，，， 所以在旋转过程中，线段上所有点都在侧面绕旋转一周的几何体内或上， 综上，将绕旋转等同于将侧面绕旋转，若， 所以，即，可得，所以， 所以，几何体是以为底面半径，高分别为、的圆锥构成的组合体， 所以几何体体积为. 故答案为： 28．已知是以BC为斜边，面积为1的直角三角形，则绕BC边旋转一周得到的几何体的体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AB，AC的长度分别为x，y，由面积为1可知，边上的高的长度，表达出其体积，由基本不等式求出体积的最大值. 【详解】设的两条直角边AB，AC的长度分别为x，y，则BC的长度为. 由题意，由面积为1可知，则， 边上的高的长度满足，则. 绕BC边旋转一周得到的几何体为两个圆锥的组合体， 其体积， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 故几何体的体积的最大值为. 故选：B. 题型07简单几何体表面积的比 29．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 30．过圆锥高的三等分点分别作平行于底面的截面，求它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（从小到大）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆锥的侧面积公式，结合割补法思想求解即得. 【详解】令圆锥的底面圆半径为，母线长，点是圆锥的高的三等分点，如图， 依题意，圆锥、圆锥的底面与圆锥的底面平行，因此它们的轴截面等腰三角形都相似， 则圆锥、圆锥的底面圆半径分别为，母线长分别为， 于是圆锥、圆锥、圆锥的侧面积分别为， 所以两个截面把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为. 31．圆锥的侧面积与全面积之比是，则圆锥的顶角是________． 【答案】60°/ 【分析】运用圆锥侧面积和全面积公式列方程，求出底面半径和母线关系式，后根据锐角三角函数可解. 【详解】根据圆锥侧面积和全面积公式知道，解得，即，则，则圆锥的顶角是60°. 故答案为：60°. 32．已知底面半径为r(r>0)的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为 则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为________； 【答案】 【分析】由△△，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案． 【详解】由题意可知圆锥的轴截面是边长为的正三角形， 则圆锥的高，如图， 由△△，可得，则， ， 圆柱侧面积， 圆锥侧面积，则． 故答案为：． 33．埃及著名的吉萨（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥.已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积，则高的平方与底面棱长的平方的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的几何性质，以及题目所给条件，列出方程，求出结果即可. 【详解】如图所示，设四棱锥，底面中心为，棱中点为，连接， 设高为，底面棱长为，则，则， 由高度的2倍的平方等于它的侧面积，可得， 化简得，即， 可知关于一元二次方程的， 因为，解得. 故选：B. 34．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体和正四面体的表面积公式计算即可得解. 【详解】正方体中，正四面体，如图： 不妨设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 所以正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为. 故选：B 题型08简单几何体体积的比 35．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 36．一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该直角三角形的三条边长分别为，求出三角形斜边上的高，再根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设该直角三角形的三条边长分别为， 设三角形斜边上的高为， 则， ， 由题意设该3个几何体的体积为， 则， ， ， ， 所以这3个几何体的体积从小到大之比为. 故选：. 37．刍甍是如图所示五面体ABCDEF，其中，底面ABCD是平行四边形，《九章算术·商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一”，意思是：若，AB、CD之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积，现有刍甍ABCDEF，，AB、CD之间的距离是2，EF与平面ABCD之间的距离是4，过AE的中点G，作平面平面ABCD，将该刍甍分为上下两部分，则上下体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意中的体积公式分别求出总体积和上部分的体积，即可求解. 【详解】由，得， ，所以， 所以上下体积之比为. 故选：D． 38．如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于______.    【答案】 【分析】根据已知证得，即，易知点的轨迹以为球心的球面被三个平面所截得，应用球体、棱锥的体积公式求体积，即可得. 【详解】由，，，平面，则平面， 由平面，则，则，而，故， 则中点的轨迹以为球心的球面（如图），被三个平面所截，体积为球体的， 所以上部分体积为，下部分体积为， 所以上、下两部分的体积之比等于. 故答案为：    39．如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 【答案】 【分析】截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台，另一部分是一个不规则几何体，故可以用棱柱的体积减去棱台的体积求得． 【详解】设棱柱的底面积为，高为，则的面积为， 令， 剩余的不规则几何体的体积为， 所以两部分的体积之比为． 1．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 2．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 3．将棱长为1的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 该八面体由正四棱锥和正四棱锥组成. 结合正方体的特征易知，四边形为正方形，且边长， 所以四边形的面积为. 正四棱锥和正四棱锥的高均为正方体边长的一半，即. 所以这个八面体的体积为. 4．花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有7000年的历史，为了方便堆叠和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构.小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为，下底面圆的直径为，高为，则该花盆的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，该花盆为圆台结构，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 则该花盆的体积为. 5．（多选）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用相似圆锥侧面积比等于相似比的平方求出高的相似比，再通过总高减去小圆锥高得到圆台高，从而得到两段高的两种顺序的比例. 【详解】 设大圆锥的高为，底面半径为，母线长为；小圆锥的高为，底面半径为，母线长为，圆锥侧面积公式为 ； 由题意，侧面积比为：，因为，所以相似比满足：， 代入侧面积比，可得：，解得，即：， 截面将大圆锥的高分为两段：小圆锥的高和圆台的高， 两段的比为：，若将两段顺序颠倒，则比为：， 因此，这个截面把圆锥的高分成的两段的比是或. 6．（多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 7．（多选）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 【答案】BCD 【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，判断B，首先确定是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，故A错误； 对于B，由题意得，且 所以，故B正确； 对于C，取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，故D正确． 故选：BCD． ， 8．如图，三棱锥的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为________. 【答案】/ 【分析】通过等体积法建立棱锥体积关系，将所求几何体拆分为两个棱锥，分别利用底面积比例和高的比例计算体积，最后求和得到结果. 【详解】设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则， 因为，点到平面的距离是点到平面距离的, 所以， 因为，点到的距离是点到距离的，所以， 又点到平面的距离是点到平面距离的， 所以 所以. 【点睛】一拆二算三求和，等积比例巧得果. 9．如图在一个五面体中，其中面为矩形，平面，且与平面的距离为5，则该五面体的体积为______． 【答案】40 【分析】将多面体补形为三棱柱，过点F作平面，过作的平行线，交于点，交于点，利用，进行计算即可. 【详解】如图，可将多面体补形为三棱柱， 过点F作平面，为垂足， 过作的平行线，交于点，交于点， 因为平面，平面， 所以平面平面， 由题知， 因为平面，平面，所以， 又，，所以，，平面， 平面，∴， 连接，因为，，所以， 所以， ∴． 10．若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 【答案】 【分析】利用台体的体积公式计算即可. 【详解】解析：． 故答案为： 11．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【分析】利用四棱锥侧面积和表面积公式求解即可. 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 12．若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则这个圆锥的表面积为_____． 【答案】 【分析】利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】设圆锥母线长为a，结合三角形面积计算公式，得到，解得（负值舍去）， 所以底面半径，底面积，所以侧面积，所以圆锥的表面积为． 故答案为： 13．已知某圆锥侧面展开后得到的扇形的面积等于其底面积的31倍，则该圆锥的高与底面圆半径的比值为______. 【答案】 【分析】利用圆锥侧面积公式及条件列方程即得答案. 【详解】记圆锥底面半径为，高为，则其母线为. 由条件可知，即，即， 解得. 故答案为：. 14．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______． 【答案】 【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥与球的表面积公式计算求解即可． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为， 球的表面积为，所以， 即，解得（负值舍去）， 故圆锥的底面直径与母线长的比值为． 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $