专题03 第11章 解三角形（10大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题03 第11章 解三角形 题型1 利用正余弦定理解三角形 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知的外接圆半径，且满足，则边的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据得，利用正弦定理得， 再由余弦定理求出角，结合可求边. 【详解】由. 所以. 由正弦定理得：. 所以，所以. 所以. 故选：A 2．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的面积为3，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】在中，结合题目条件利用正弦定理与三角函数内角关系可计算出及，即可在中借助面积公式与余弦定理求出长. 【详解】由， 则， 又由， 所以， 又由，可得， 在中，由正弦定理得：， 所以，可得， 由，可得， 又由的面积为，有，可得， 在中，由余弦定理有. 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）中，，，分别为角，，的对边，若，则的最小值为 ，的最大值为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】利用正弦定理以及三角函数恒等变换整理题目中的等式，可得边长的等量关系，根据余弦定理以及基本不等式，可得的最小值；利用正弦定理整理，建立方程，根据一元二次方程有解，可得答案. 【详解】，， ，， ，，， ， 当且仅当，等号成立； 设， 则，， 当时，解得，符合题意； 当时，可得，； 综上可得：. 故答案为：；. 4．（23-24高一下·江苏南京）在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则 ， . 【答案】 4 4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理和余弦定理求解即可 【详解】由题意得， 解得，又是锐角， 所以， 在中，由余弦定理得 . 由正弦定理得，即. 在中，，即 故答案为：①；②4. 5．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在中，已知，，，，分别在边，，上，且为等边三角形，设，则的面积最小时， ． 【答案】/ 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形 【分析】设的边长为，由题意，，，在中，运用正弦定理可得，故只需令即可求解. 【详解】 不妨设的边长为，．在中，． 因为， 所以在中，可得， 根据正弦定理可得， 由题意，所以， 所以，其中， 当时，取得最小值，此时面积的最小， 此时，. 故答案为：． 题型2 利用正余弦定理判断三角形形状 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知的外接圆半径，且满足，则边的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据得，利用正弦定理得， 再由余弦定理求出角，结合可求边. 【详解】由. 所以. 由正弦定理得：. 所以，所以. 所以. 故选：A 2．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的面积为3，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】在中，结合题目条件利用正弦定理与三角函数内角关系可计算出及，即可在中借助面积公式与余弦定理求出长. 【详解】由， 则， 又由， 所以， 又由，可得， 在中，由正弦定理得：， 所以，可得， 由，可得， 又由的面积为，有，可得， 在中，由余弦定理有. 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）中，，，分别为角，，的对边，若，则的最小值为 ，的最大值为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】利用正弦定理以及三角函数恒等变换整理题目中的等式，可得边长的等量关系，根据余弦定理以及基本不等式，可得的最小值；利用正弦定理整理，建立方程，根据一元二次方程有解，可得答案. 【详解】，， ，， ，，， ， 当且仅当，等号成立； 设， 则，， 当时，解得，符合题意； 当时，可得，； 综上可得：. 故答案为：；. 4．（23-24高一下·江苏南京）在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则 ， . 【答案】 4 4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理和余弦定理求解即可 【详解】由题意得， 解得，又是锐角， 所以， 在中，由余弦定理得 . 由正弦定理得，即. 在中，，即 故答案为：①；②4. 5．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在中，已知，，，，分别在边，，上，且为等边三角形，设，则的面积最小时， ． 【答案】/ 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形 【分析】设的边长为，由题意，，，在中，运用正弦定理可得，故只需令即可求解. 【详解】 不妨设的边长为，．在中，． 因为， 所以在中，可得， 根据正弦定理可得， 由题意，所以， 所以，其中， 当时，取得最小值，此时面积的最小， 此时，. 故答案为：． 题型3 利用正余弦定理判断三角形个数 1．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则有两解 B．若，，则无解 C．若为锐角三角形，且，则 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确． 对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误． 对于C，由得，C正确． 对于D，因为，所以，又因为， 所以，则 ， 由，得， 所以当，即时，取得最大值，D正确． 故选：ACD. 2．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，，则的面积最大值为 C．若，，，则外接圆半径为 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】AC 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】对于A，利用正弦定理判断，对于B，先利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，从而可求出的面积最大值，对于C，先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后利用正弦定理可求出外接圆半径，对于D，利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】对于A，因为，所以， 所以如图有两解，所以A正确，    对于B，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以当的面积最大值为，所以B错误， 对于C，因为，，，所以由余弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理得，得，所以C正确， 对于D，因为，所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误， 故选：AC 3．（2025高三下·全国·专题练习）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁（）和临秀亭（）两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的两地之间的距离，某同学任意选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案： ①测量；②测量；③测量． 其中一定能唯一确定两地之间的距离的所有方案的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据各项给定的条件，结合正余弦定理判断边长解的个数，即可得答案. 【详解】对于①，由正弦定理可得，则， 若且为锐角，则， 此时有两解，则也有两解，此时也有两解； 对于②，若已知，则确定，由正弦定理，知唯一确定； 对于③，若已知，由余弦定理得，则唯一确定． 故答案为：②③ 4．（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是 ；（2）若有两解，则实数的取值范围是 ； （3）若无解，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理可求得，再由三角函数值域即可得出对应结果. 【详解】由已知，， 根据正弦定理得， 又， 若，即时，为直角，只有一解； 若，即时，有两种情况，三角形就有两解； 若，即时，只有一种情形， 若，即，无解 故答案为： ；；. 5．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若角A有两解，则b的范围是 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式求得，将代入正弦定理可得，要使角有两解，即，解不等式即可得出答案 【详解】， 由正弦定理得， ， ， 又，则； 将代入正弦定理得， ， 由，角的解有两个，则角的解也有两个， ，即， 又，则，解得， 故的范围为． 故答案为： 题型4 三角形周长（边长代数和）最值问题 1．（2024·宁夏·一模）在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】先判断为直角三角形，设，，由正弦定理得到与之间的数量关系，由余弦定理得到与之间的数量关系，最后在中，由余弦定理及所得结论得到，利用正弦型函数的值域即得BD的长度的最大值. 【详解】 如图，在中，由正弦定理：可得：，因，则，即. 设，则，在中，设，由正弦定理，，则得：， 由余弦定理可得：，即. 在中，由余弦定理，, 因，则，则当时，即时，，此时. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用正、余弦定理求边长的最大值问题，属于难题. 解决此类题型的思路就是，要善于在图形中选设与已知条件和所求结论都相关的角，借助于正、余弦定理将所求量表示成关于角的三角函数式，最后根据三角函数的值域求得最值. 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）中，，延长线段至，使得，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】分别在与中用正弦定理，可得，再利用二倍角公式化简，结合二次函数性质可得最值. 【详解】如图所示， 设， 在中， 由，则， 再由正弦定理得， 即，则， 又在中，由正弦定理得， 即，即， 所以， 又，即，， 设， 则， 所以当时，取得最大值为， 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，已知B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为 ． 【答案】3 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【详解】 解析：（解法1）在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°，所以3＝ AB2＋BC2－AB·BC＝ （AB＋BC）2－3AB·BC，利用基本不等式，得AB＋BC≤2，当且仅当AB＝BC＝时取等号，故△ABC的周长的最大值为3. （解法2）由正弦定理得＝＝＝，即＝＝2，则BC＝2sin A，AB＝2sin C．又△ABC的周长l＝BC＋AB＋AC＝2sin A＋2sin C＋＝2sin （120°－C）＋2sin C＋＝2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＋2sin C＋＝cos C＋3sin C＋＝2（sin C＋cos C）＋＝2sin （C＋30°）＋，且B＝60°，所以C∈（0°，120°），故当C＝60°时，△ABC的周长的最大，最大值为3. 【考查意图】 利用正余弦定理解决三角形周长和范围问题． 4．（23-24高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的内角和的性质，化简得到，进而证得； （2）根据题意求得，由化简得到，结合对勾函数的单调性即可求解； （3）整理可得，分类讨论之间的大小关系，可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，则，故， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）因为为锐角三角形，，所以， 由题意可得，解得； 因为， 因为，则，可得， 令，则在上单调递增， 且，可知， 所以的取值范围为． （3）因为， 可得， 因为为锐角，则有： 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得， 又因为，即， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于第三问：整理可得，分类讨论之间的大小关系，进而可得. 5．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. (1)求的长度； (2)记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 【答案】(1) (2)，，. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、距离测量问题 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）根据正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质求出最大值. 【详解】（1）在中，， 所以， 由正弦定理， 即，解得，故的长度为. （2）由题可知， 在中， ∴，， ∴ ， ∴，， ∵，∴， ∴， 所以当，即时取得最大值，最大值为. 题型5 三角形周长（边长代数和）范围问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式 【分析】先利用余弦定理与正弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得，再求得角B的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解． 【详解】由，得， 由余弦定理，得，所以， 即， 由正弦定理，得， 因为， 则，所以， 即. 因为为锐角三角形，所以， 所以， 又在上单调递增，所以，则. 因为为锐角三角形，所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）三内角，，所对边分别是，，.若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、辅助角公式 【分析】由已知及余弦定理可得，再应用正弦定理有，，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可. 【详解】因为，由余弦定理，又，故， 由正弦定理知：，则，， 所以，而， 则 ，且， 又，当时的最大值为. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦边角关系及三角形内角性质、已知可得且，再由、，应用基本不等式求目标式的范围. 【详解】由题设，而， 所以或，又的三边长互不相等，即且， 由，故，仅当时等号成立，又， 所以，又，故的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一下·江苏徐州）在锐角中，，，分别表示角所对边的长，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理，结合三角函数求取值范围. 【详解】因为， ， 由于，即， 整理得， 又因为，则，可得，即， 且，可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得，即， 可得 ， 因为，则，可得， 所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 5．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可求出，再根据正弦定理将边化角，将转化为关于的三角函数，再结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，即， 所以，又，所以， 因为，所以， 由，所以，， 所以 ， 因为，所以，所以，所以，所以， 则，即的取值范围为. 故答案为： 6．（24-25高三下·湖北·开学考试）设 . (1)求的单调递增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）化简可得，令，即可得单调递增区间； （2）利用和角的范围求得角，结合正弦定理和化简整理得，再根据锐角三角形得到，代入求得的取值范围，即为周长的取值范围. 【详解】（1） ， 由， 得， 的单调增区间为， （2）因为， 可得， 由题意知A为锐角，则， 由正弦定理可得， 则，， 所以 ， 因为，解得， 则，所以，则， 所以， 即周长的取值范围为 . 7．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得； （2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即的周长l的取值范围为. 8．（23-24高一下·江苏徐州）已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换可出关于角的函数关系式，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以，， 所以，， 即， 所以，， 又因为，则，所以，， 又因为，则，所以，，故. （2）解：由正弦定理知，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 所以，，则， 所以，， 因此，的取值范围是． 9．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得的大小. （2）将表示为角的形式，由此求得其取值范围. 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理得, , ， 由于在三角形中，，所以， 所以为钝角，所以. （2）由于，所以. 由正弦定理得， 所以， 所以， ， 由于，所以. 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别是，满足. (1)求角的余弦值； (2)若是边的中点且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，即可求出，从而得解； （2）设，利用正弦定理表示出，，设，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理有， ， ，即， 在中，由余弦定理，有， ，则，即， ，∴，则； （2）如图，设，则，， 在中,根据正弦定理，有， ，， 设 ， （其中，，易得） 又，所以在上单调递增， 所以，又， 所以的取值范围为． 题型6 三角形面积最值问题 1．（23-24高二上·云南昆明）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式可得，再利用余弦定理，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 整理得， 又因为，则， 可得，整理得， 且，则， 由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 整理得， 可得面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】分别在和中利用余弦定理可得，，再将面积表达式平方并利用二次函数性质即可求得面积的最大值. 【详解】如下图所示： 设角所对的边分别为， 在中，由利用余弦定理可得， 又，可得， 即； 同理在中,由利用余弦定理可得， 又，可得， 即； 联立，解得，； 由的面积为可得 因此可得，可得， 即面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用中线长结合余弦定理求得三边长之间的关系，再由面积表达式平方计算，根据二次函数性质可求得最值. 3．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）条件①；②；③（其中为的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足__________. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分） 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）若选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求，进而可得的值；若选②，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求的值；若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求的值． （2）由题意利用余弦定理以及基本不等式可求的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）若选①，因为， 由正弦定理可得， 因为， 可得， 可得， 又为三角形内角，， 所以， 可得， 因为， 可得， 所以， 可得； 若选②，因为， 由正弦定理可得， 可得， 又为三角形内角，， 可得， 因为， 所以； 若选③，因为（其中为的外接圆半径）， 又由正弦定理可得， 所以， 可得， 又为三角形内角，， 所以， 因为， 所以． （2）因为，， 所以余弦定理可得， 可得，当且仅当时取等号， 所以的面积，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为． 4．（23-24高一下·福建福州·期中）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）选①：由，得到，利用正弦定理和三角形内角性质化简得到，求得，即可求解； 选②：由正弦定理和三角函数的性质得到，得到，即可求解； 选③：由余弦定理求得，即可求解； （2）由余弦定理求得，结合基本不等式求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：选①：因为， 由，可得， 由正弦定理得: ， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以. 选②：因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，则， 即，可得， 因为，所以. 选③：因为，可得， 由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：因为，且， 由余弦定理知，即， 可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 5．（23-24高一下·江苏苏州）已知函数. (1)求函数的值域； (2)在中，角的对边分别为，若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求三角形面积的最值或范围、辅助角公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可化简，进而可求值域； （2）根据结合正弦型函数的性质可得，进而由余弦定理以及不等式即可求解. 【详解】（1）解：， ∴的值域为． （2）解：由（1）知，即， 由 ,得 ∴，即， 又由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立． ∴， ∴的面积的最大值为，当且仅当时取得． 6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，D为边的中点，，求a； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）在和中，利用余弦定理结合，可得的关系式，在中，利用余弦定理可得的关系式，即可得解； （2）根据，，结合正弦定理化角为边，即可求得角，再利用余弦定理即可基本不等式即可得解. 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，所以， 即，化简得， 在中，由，得， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以； （2）因为，， 所以，所以， 又，所以， 则， 所以，当且仅当时，取等号， 所以， 即面积的最大值． 题型7 三角形面积范围问题 1．（23-24高一下·重庆北碚·阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 （填数值），的面积的取值范围是 ． 【答案】 5 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意由三角恒等变换，利用正弦定理和余弦定理可得，代入可得；由锐角三角形可知，再由面积表达式利用二次函数单调性即可求得面积范围是. 【详解】由题知， 即； 即， 由正弦定理和余弦定理可得，即 又，所以． 又是锐角三角形，∴，，， 即，，，结合可得． 又，； 所以， 因此． 不妨设，则， 所以，当时，取最大值，且， 即． 故答案为：5， 2．（23-24高一下·山西阳泉）已知中，角所对的边分别为，那么面积的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的取值范围，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，由正弦定理可得 ，， ，， 又，， 由余弦定理得，即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，它的面积等于且，则的面积的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据三角形面积公式化简已知等式可求得，结合余弦定理可求得，利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换知识可求得，由正弦型函数值域求法可求得取值范围，代入三角形面积公式即可. 【详解】，， 即，又，； 由得：，； 由正弦定理得：，，， ； 为锐角三角形，，解得：， ，，则， . 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立； ①；②；③. (2)若点M为外的一点，且，.当为等边三角形时，求四边形面积的取值范围. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）选择①②，由①和余弦定理得到，从而得到，由正弦定理和正弦和角公式得到；选择①③，由①得到，由③和正弦定理得到；选择②③，由③得到，由正弦定理及求出答案； （2）设，表达出四边形面积，结合得到面积的取值范围. 【详解】（1）选择条件①②： 化简①式可得，由余弦定理可得， 所以由②式可得，由正弦定理可得， 又， 所以. 由正弦定理可得，③式得证. 选择条件①③： 化简①式可得，由余弦定理可得. 由③式及正弦定理可得，， 即，由正弦定理可得，②式得证. 选择条件②③： 由③式及正弦定理可得，， 即，由正弦定理可得，结合②式可得， 化简①式可得，又，①式得证. （2）如图所示，设， 由余弦定理可得， 四边形的面积 . 又，所以. 5．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，的面积为，求的值； (2)若为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记与的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）由，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到，从而解得，再根据，利用正弦定理得到，再根据的面积为，得到，然后利用余弦定理求解； （2）利用三角形面积公式结合BD为角B的角平分线，得到，然后利用为锐角三角形求解. 【详解】（1）解：在中，， 所以，A+B+C=π， 而， 所以， 因为， 所以，且，所以， 又，所以，即， 又的面积为，所以，则， 由余弦定理得， ， 所以， 所以； （2）由题意知：， ， 因为BD为角B的角平分线，所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 所以， 所以. 6．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且. (1)求角A； (2)若为锐角三角形，边，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】(1)法一：由正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； 法二：由余弦定理将角化边，再化简即可得到角A； (2)由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）法一：因为. 由正弦定理得， 又， 所以. 所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，. 法二：因为， 由余弦定理得， 整理得， 所以. 又，所以. （2）由（1）得， 根据题意得解得. 在中，由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，所以. 所以 所以的取值范围是. 题型8 锐角三角形中周长，边长（边长代数和），面积问题 1．（23-24高一下·上海·期中）在锐角中，分别为三内角的对边，若，则b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，再根据锐角三角形求角B的取值范围，即可得结果. 【详解】由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以b的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据面积公式可得，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解， （2）根据边角互化，结合三角恒等变换，结合三角函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解； （2）先利用利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以； （2）因为， 由正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则，则， 故， 即的取值范围为． 4．（24-25高三上·山东·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，角的平分线交于，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）先由正弦定理化简再应用辅助角公式化简求出三角函数值进而求出角；（2）先由正弦定理化简，结合三角恒等变换，最后应用三角函数的值域可得范围. 【详解】（1）在中，， 利用正弦定理得，， 所以， 即， 因为，故，即， 因为，所以，所以. （2）由已知得，， 在中，由正弦定理得，，即， 同理得，.故， 而， ， 因为锐角中，，所以， 故，，， 所以的取值范围为. 5．（2024·河北·三模）在锐角三角形中，角对应的边分别记为. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用等式，运用两角和的正弦公式将等式化简最终可得，结合三角函数的图象和性质可得角； （2）结合（1）可得，统一用角表示，化简可得，由三角形为锐角三角形可得，进而可求范围. 【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可得：， 而，所以， 又，所以，那么，所以. （2）由题意可知， 因为锐角三角形中，，所以， 所以，所以 所以取值范围是. 6．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，设，请用表示，并求的取值范围． 【答案】(1)； (2)， 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）延长交于，延长交于，则，设，且，分别求出，再根据三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； （2） 如图， 延长交于，延长交于， 根据题意可得．因为，所以， 设，且， 则， 同理可得， 则 ， 因为，所以， 又， 所以， 所以的取值范围是． 题型9 三角形与向量综合 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． (1)求； (2)记锐角的角，，对应的边分别为，，，若，，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)的面积的取值范围为. 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、三角形面积公式及其应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、正弦定理解三角形 【分析】（1）由条件可得，，由此可求，再结合对称中心的性质求； （2）由条件结合（1）的结论求，利用正弦定理及三角形面积公式求面积解析式，结合正切函数性质求其最值． 【详解】（1）（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以且， 所以， 可知， 又由，， 可知，所以， 故， 因为为曲线的对称中心 由，可得． （2）由（1）知，又 所以，又， 所以， 由正弦定理可得，又， 所以， 所以的面积， 因为为锐角三角形， 所以，， 故，所以， 所以， 所以的面积的取值范围为. 2．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，函数 (1)求函数的解析式和单调递增区间; (2)若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由; (3)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值. 【答案】(1)，； (2)答案见解析 (3)的取值范围为，的值为. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦定理判定三角形解的个数、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用向量的数量积运算求得解析式，再利用正弦函数性质求出单调区间. （2）利用正弦定理分段讨论判断三角形解的数量. （3）利用诱导公式及二倍角的余弦公式变形方程，再借助正弦函数的性质求解即得. 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为 （2）在中，，由，得， 则，解得， 假设三角形存在，由正弦定理，得， ①当时，，三角形无解； ②当时，，，三角形有唯一解； ③当时，，此时，有两个不同的值，三角形有两解. ④当时，，，三角形有唯一解， 所以当时，三角形无解；当或时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解. （3）由（1）知， 方程化为， 即，整理得， 即，则或， 又时，给定方程有三个不同的实根， 且当时，不妨记其解为，则， 因此在上有两个不同的实根为，， 由，得，则，解得， 由正弦函数图象性质知，关于对称，即，则， ， 所以的取值范围为，的值为. 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）在中，角所对的边分别为，设向量. (1)求函数的最小值； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式，二倍角公式，辅助角公式化简，结合正弦函数性质求其最小值； （2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求结论. 【详解】（1） 因为，所以， 所以当，即时，有最小值 （2）因为，所以， 所以， 因为，所以 由正弦定理，， 所以. 又因为， 所以，得， 由余弦定理有：， 所以. 所以. 4．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期及区间上的最大值和最小值； (2)在中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，，，求AD的长． 【答案】(1)函数最小正周期，在区间上的最大值为2，最小值为； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解； （2）由已知先求出，结合锐角三角函数定义求出及，然后结合余弦定理即可求解． 【详解】（1）因为， 故，当时，， 所以， 所以， 即函数在区间上的最大值为2，最小值为； （2）因为在中，，角为锐角， 所以，因为，所以， 因为点为线段延长线上一点，，， 所以， 中，，，， 由余弦定理得，， 故． 5．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）设函数，其中向量，（）. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域； (3)在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得 （2）由的取值范围求出的范围，再由正弦函数的性质计算可得； （3）由题设可得，应用三角形面积公式求出，由余弦定理求得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. 【详解】（1）因为函数，其中向量，， 所以 ， 所以的最小正周期. （2）当时，所以， 所以，即在上的值域为； （3）由，得，则， 又，所以，故，则. 由，可得. 在△中，由余弦定理得， 所以， 由，所以. 6．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求a，c的值及的面积． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示 【分析】（1）先利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形求出，再由已知条件求出最小正周期，从而可求出，然后由可求出函数的增区间； （2）由求出，再由，得，结合余弦定理可求出a，c的值，然后由三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】（1）因为，， 所以 ， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，得， 所以， 由， 得， 所以的单调递增区间为； （2）由，得，， 因为，所以， 所以，得， 因为，所以由正弦定理得， 所以由余弦定理得，解得， 所以， 所以. 题型10 三角形中新定义题 1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在锐角三角形中，，． (1)设，试用表示的周长，并确定的取值范围； (2)如图，设为的外角平分线的交点，为与延长线的交点． （ⅰ）用正弦定理证明：； （ⅱ）设，分别为与同向共线的单位向量，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)，其中 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【知识点】平面向量共线定理的推论、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合为锐角三角形，求出的取值范围，再利用正弦定理求出的解析式即可． （2）（ⅰ）在、中，结合互补的两角正弦函数值，利用正弦定理即可证明；（ⅱ）根据，，三点共线，求出的解析式，再结合（ⅰ）中结论，利用三角函数的图象与性质，即可求出的取值范围． 【详解】（1）在中，因为，，所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 在中，由正弦定理得， 所以 ， 所以的周长为，其中． （2）（ⅰ）在中，由正弦定理得，即； 在中，由正弦定理得，即； 因为，所以，所以. （ⅱ）依题意，， 因为，，三点共线，所以，所以①， 由（ⅰ）知，，所以，代入①整理得，； 又由（1）知， ； 又，所以， 所以，所以， 即的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第一问关键是利用正弦定理及三角恒等变换公式表示出三角形的周长，第二问关键是由平面向量共线定理得到，从而得到，再结合（ⅰ）（1）的结论转化为的三角函数. 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）请欣赏： 上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形，，都是正方形.如果改变图（ⅰ）中的大小，会得到更多不同的“树形”. (1)在图（ⅰ）中，，，且，求； (2)在图（ⅱ）中，，，设，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再在中，由余弦定理求解； （2）在中，由余弦定理求出，由正弦定理求出，由诱导公式求出， 最后在中，由余弦定理求解． 【详解】（1）当时，得， 则， 在中，由余弦定理得， ， 得． （2）在中，由余弦定理得， ， 所以， 在中，由正弦定理得， ， 得， 则， 在中，由余弦定理得， ， 因为， 所以当时，取得最大值，其最大值为：． 【点睛】方法点睛：第二问，先由余弦定理求出，由正弦定理及诱导公式求出，即可求解． 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）著名的“费马”问题是法国数学家皮埃尔·德费马于1643年提出的，“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点.经过证明，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，则三角形最大内角的顶点即为费马点.试用以上知识解决下面问题： (1)在中，，，求的费马点到，，三点的距离之和. (2)为锐角的“费马点”，若，，. ①求的面积；②若实数，满足，求的值. (3)已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为多少？ 【答案】(1)4； (2)①；②； (3)-3. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用费马点的定义，已知有三个角是，再利用余弦定理，即可求解； （2）①利用费马点的定义，再把三角形面积分割成三个三角形面积来求解； ②以费马点为原点，建立坐标系，来表示各点坐标，即可用坐标法来求解； （3）利用三角恒等变形，即可求解，再利用余弦定理，可以求解出，从而计算出三角形的面积，再利用费马点分割成三个三角形面积和，最后转化到向量积上去，即可求解. 【详解】（1） 根据题意，为等腰三角形， ， 在中，由余弦定理可得： ， 即，解得：， 在中，由余弦定理可得： 即.，解得：， 其费马点到三点距离之和为4. （2）①由题意可知， ②以为坐标原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系， 如下图所示： 由， 得：,, 由.可得： 则，故. （3），， 即， ， ， ， 即， ， ， 由余弦定理知，，可得 ，， ， ，即 则. 【点睛】方法点睛：以费马点为原点，建立平面直角坐标系，然后用坐标法来研究向量关系即可. 4．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】数量积的坐标表示、余弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【详解】（1）函数的“源向量”为， 所以，， 则，则当时， 则当时，， 所以函数的值域为 （2）因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值. （3）如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. 5．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知， (1)求角C； (2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点不重合，记 ①当时，设的面积为S，求S的最小值； ②记，问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由．（参考公式：，） 【答案】(1)或 (2)①；②存在，， 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简可得，进而可得结果； （2）①设，利用正弦定理求出，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；②假设存在实常数，k，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解. 【详解】（1）在中，， 则， 整理得， 所以或 当时，且，即，所以； 当时，， 从而，且，因此； 综上所述：或. （2）①因为，所以，且，，所以，， 如图，设，    在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当，即，； ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有， 整理得， 由题意可知：是定值，则，是定值， 但不是定值， 即对于所有满足题意的，成立， 故有， 因为，为的内角，则，可得， 则，即，所以， 从而， 【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到，则，变量多，技巧性较强. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 第11章 解三角形 题型1 利用正余弦定理解三角形 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知的外接圆半径，且满足，则边的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的面积为3，则长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）中，，，分别为角，，的对边，若，则的最小值为 ，的最大值为 . 4．（23-24高一下·江苏南京）在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则 ， . 5．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在中，已知，，，，分别在边，，上，且为等边三角形，设，则的面积最小时， ． 题型2 利用正余弦定理判断三角形形状 1．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知的外接圆半径，且满足，则边的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的面积为3，则长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）中，，，分别为角，，的对边，若，则的最小值为 ，的最大值为 . 4．（23-24高一下·江苏南京）在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则 ， . 5．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在中，已知，，，，分别在边，，上，且为等边三角形，设，则的面积最小时， ． 题型3 利用正余弦定理判断三角形个数 1．（多选）（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则有两解 B．若，，则无解 C．若为锐角三角形，且，则 D．若，则的最大值为 2．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，，则的面积最大值为 C．若，，，则外接圆半径为 D．若，则一定是等腰三角形 3．（2025高三下·全国·专题练习）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁（）和临秀亭（）两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的两地之间的距离，某同学任意选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案： ①测量；②测量；③测量． 其中一定能唯一确定两地之间的距离的所有方案的序号是 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是 ；（2）若有两解，则实数的取值范围是 ； （3）若无解，则实数的取值范围是 ； 5．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若角A有两解，则b的范围是 ． 题型4 三角形周长（边长代数和）最值问题 1．（2024·宁夏·一模）在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是 ． 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）中，，延长线段至，使得，则的最大值为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，已知B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为 ． 4．（23-24高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 5．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. (1)求的长度； (2)记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 题型5 三角形周长（边长代数和）范围问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）三内角，，所对边分别是，，.若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 . 4．（23-24高一下·江苏徐州）在锐角中，，，分别表示角所对边的长，，且，则的取值范围是 . 5．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是 . 6．（24-25高三下·湖北·开学考试）设 . (1)求的单调递增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 7．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 8．（23-24高一下·江苏徐州）已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 9．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别是，满足. (1)求角的余弦值； (2)若是边的中点且，求的取值范围. 题型6 三角形面积最值问题 1．（23-24高二上·云南昆明）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则面积的最大值为 . 2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为 ． 3．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）条件①；②；③（其中为的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足__________. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分） 4．（23-24高一下·福建福州·期中）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 5．（23-24高一下·江苏苏州）已知函数. (1)求函数的值域； (2)在中，角的对边分别为，若，求的面积的最大值. 6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，D为边的中点，，求a； (2)若，求面积的最大值． 题型7 三角形面积范围问题 1．（23-24高一下·重庆北碚·阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 （填数值），的面积的取值范围是 ． 2．（23-24高一下·山西阳泉）已知中，角所对的边分别为，那么面积的取值范围是 . 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，它的面积等于且，则的面积的取值范围是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立； ①；②；③. (2)若点M为外的一点，且，.当为等边三角形时，求四边形面积的取值范围. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 5．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，的面积为，求的值； (2)若为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记与的面积分别为，，求的取值范围. 6．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且. (1)求角A； (2)若为锐角三角形，边，求面积的取值范围. 题型8 锐角三角形中周长，边长（边长代数和），面积问题 1．（23-24高一下·上海·期中）在锐角中，分别为三内角的对边，若，则b的取值范围是 . 2．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 4．（24-25高三上·山东·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，角的平分线交于，. (1)求； (2)求的取值范围. 5．（2024·河北·三模）在锐角三角形中，角对应的边分别记为. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 6．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，设，请用表示，并求的取值范围． 题型9 三角形与向量综合 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． (1)求； (2)记锐角的角，，对应的边分别为，，，若，，求的面积的取值范围． 2．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，函数 (1)求函数的解析式和单调递增区间; (2)若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由; (3)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值. 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）在中，角所对的边分别为，设向量. (1)求函数的最小值； (2)若，求的面积. 4．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期及区间上的最大值和最小值； (2)在中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，，，求AD的长． 5．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）设函数，其中向量，（）. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域； (3)在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值. 6．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求a，c的值及的面积． 题型10 三角形中新定义题 1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在锐角三角形中，，． (1)设，试用表示的周长，并确定的取值范围； (2)如图，设为的外角平分线的交点，为与延长线的交点． （ⅰ）用正弦定理证明：； （ⅱ）设，分别为与同向共线的单位向量，且，求实数的取值范围． 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）请欣赏： 上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形，，都是正方形.如果改变图（ⅰ）中的大小，会得到更多不同的“树形”. (1)在图（ⅰ）中，，，且，求； (2)在图（ⅱ）中，，，设，求的最大值. 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）著名的“费马”问题是法国数学家皮埃尔·德费马于1643年提出的，“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点.经过证明，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，则三角形最大内角的顶点即为费马点.试用以上知识解决下面问题： (1)在中，，，求的费马点到，，三点的距离之和. (2)为锐角的“费马点”，若，，. ①求的面积；②若实数，满足，求的值. (3)已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为多少？ 4．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 5．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知， (1)求角C； (2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点不重合，记 ①当时，设的面积为S，求S的最小值； ②记，问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由．（参考公式：，） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$