第09讲 第七章 随机变量及其分布 章末题型大总结（7类高频题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第09讲 第七章 随机变量及其分布 章末题型大总结 题型01 相互独立事件与互斥、对立事件 【典例1】（24-25高二上·四川成都·期中）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【典例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【典例3】（多选）（24-25高二上·湖北孝感·期中）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 【变式1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【变式2】（多选）（24-25高三上·江苏·阶段练习）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 【变式3】（多选）（24-25高三上·云南·阶段练习）已知随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与事件相互独立 B．若，则事件与事件互为对立 C．若事件两两独立，则 D．若事件两两互斥，则 题型02 离散型随机变量的均值与方差的性质 【典例1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从二项分布，若，则 ． 【变式1】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【变式2】（多选）（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式3】（23-24高二下·福建·期中）已知随机变量的分布列为，则 ． 题型03 离散型随机变量的均值与方差 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【典例2】（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【典例3】（24-25高二下·全国·单元测试）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现服从正态分布． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差． （参考数据：若，则，，．） 【变式1】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个，其中白球有4个，黑球有6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率； (2)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望与方差. 【变式3】 （23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 题型04 二项分布 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段练习）某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 【典例3】（24-25高三上·福建·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为，且.从该工厂生产的产品中随机抽取n件，设其中一等品的数量为X，二等品的数量为Y. (1)已知X的数学期望，X的方差，求的值. (2)若，且，求的值. (3)已知，，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的数量之和为M. M的数学期望是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由. 【变式1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 题型05 超几何分布 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.95 0.8 0.75 0.85 0.86 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． (1)从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； (2)从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； (3)按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 【典例3】（23-24高三上·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【变式1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元． (1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列； (3)已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润． 【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）． (1)求直方图中的值； (2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）； (3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望． 【变式3】 （23-24高二下·山东淄博·期末）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和； 题型06 正态分布 【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件) 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. ①求抽取的零件为废品的概率； ②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则，， 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 【典例3】（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【变式1】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式2】（23-24高二下·江苏徐州·期中）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. (1)现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 【变式3】 （23-24高二下·重庆·阶段练习）某学校组织学生参加知识竞赛，为了解该校学生的考试成绩，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40～100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）； ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 题型07 正态分布的实际应用 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 【典例2】（2024·江西南昌·二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 【变式1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）从某技术公司开发的某种产品中随机抽取件，测量这些产品的一项质量指标值(记为)，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利元；若是次品，则亏损元．若将样本频率视为概率，记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望； (2)由频率分布直方图可以认为，服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)． ①利用该正态分布，求； ②某客户从该公司购买了件这种产品，记表示这件产品中该项质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求． 附：；若，则，. 【变式2】（24-25高三·安徽六安·阶段练习）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． (1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） (2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中近似为（1）中计算的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取4位，求4位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量X服从正态分布，则，,，，，． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 第七章 随机变量及其分布 章末题型大总结 题型01 相互独立事件与互斥、对立事件 【典例1】（24-25高二上·四川成都·期中）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】明确事件，，所包含的样本点，根据互斥、对立、独立事件的概念判断各选项是否正确. 【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：. 因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误； 因为所含的样本点为：，所以，故B错误； 因为所含的样本点为：，所以，又，所以. 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，对立事件的性质以及独立事件的概率乘法公式，可得答案. 【详解】①：由是互斥事件，则，故①错误； ②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确； ③：由是独立事件，则也是互相独立的， 即，故③正确； ④：由，， 则相互独立，即相互独立，故④正确. 故选：D. 【典例3】（多选）（24-25高二上·湖北孝感·期中）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 【答案】ACD 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由古典概率公式求出，再由互斥事件和独立事件的性质判断即可； 【详解】由题意可得， 对A，，故A正确； 对B，事件A与事件C可以同时发生，故B错误； 对C，，， 所以事件A与C相互独立，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：ACD. 【变式1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，可得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误. 【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 【变式2】（多选）（24-25高三上·江苏·阶段练习）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算条件概率、独立事件的判断、利用全概率公式求概率 【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可. 【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确； ，，故C正确； 所以，， 所以， 则， 所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 【变式3】（多选）（24-25高三上·云南·阶段练习）已知随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与事件相互独立 B．若，则事件与事件互为对立 C．若事件两两独立，则 D．若事件两两互斥，则 【答案】AD 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据反例可判断BC的正误，根据独立事件的定义可判断A的正误，根据互斥事件的概率性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据事件独立性的定义可得独立，故A正确； 对于B，记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数， 事件：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足， 但不是对立事件，故B错误；. 对于C：考虑从1，2，3，4中随机选出一个数字， 记事件“取出的数字为1或2”，“取出的数字为1或3”，“取出的数字为1或4”， 则“取出的数字为1”， 显然， ， 满足，，， 所以事件A，B，C两两独立，但是，故C错误. 对于D，若两两互斥， 根据互斥事件的概率性质可得， 故选：AD 题型02 离散型随机变量的均值与方差的性质 【典例1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， 则， 因为， 则. 故选：D. 【典例2】（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、方差的性质、均值的性质 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即得. 【详解】随机变量服从正态分布，则， 对于A，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，由，得， 因此，C正确； 对于D，，则，D错误. 故选：ABC 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【知识点】二项分布的均值、均值的性质 【分析】根据题意，由二项分布的期望公式以及期望的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，故，又，解得． 故答案为： 【变式1】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【知识点】二项分布的方差、方差的性质、二项分布的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，故，C错误； 对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确. 故选：BC 【变式2】（多选）（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AC 【知识点】指定区间的概率、方差的性质、均值的性质 【分析】利用期望与方差的性质结合正态分布的性质计算一一判定选项即可. 【详解】A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：由正态分布密度曲线知其关于对称， 利用对称性知，故C正确； D选项：因为， 所以，，故D错误. 故选：AC 【变式3】（23-24高二下·福建·期中）已知随机变量的分布列为，则 ． 【答案】 【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据随机变量的分布列求解其数学期望，从而得其方差，再由方差的性质，即可得结论. 【详解】随机变量的分布列为， 则其数学期望，则方差， 所以. 故答案为：. 题型03 离散型随机变量的均值与方差 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】超几何分布的分布列、方差的性质、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可； （2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为， 所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为． （2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6． 所以的可能取值为． 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以， 所以，所以． 【典例2】（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【答案】(1) (2)期望为；方差为 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，根据条件先求，再利用条件概率公式，即可求解； （2）由题知可能取值为，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，，所以， 又，所以． （2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，     所以，， ，，     所以，     ． 【典例3】（24-25高二下·全国·单元测试）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现服从正态分布． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差． （参考数据：若，则，，．） 【答案】(1)0.84 (2) 【知识点】超几何分布的分布列、指定区间的概率、离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的均值 【分析】（1）应用正态分布的概率性质计算； （2）应用超几何分布求概率进而求出数学期望及方差. 【详解】（1）因为每个小学生的普通话测试成绩服从正态分布，所以，， 所以． （2）因为总体平均分为， 所以这12个数据中大于总体平均分的有3个， 所以的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以， ． 【变式1】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【详解】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个，其中白球有4个，黑球有6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率； (2)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，，. 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意有放回地从袋中随机摸一个黑球的概率为，进而根据二项分布公式可得恰好摸到2个黑球的概率为； （2）先判断的可能取值为0，1，2，分别求出，，即可. 【详解】（1）摸出黑球的概率是，则有放回地从袋中随机摸出3个球， 恰好摸到2个黑球的概率为； （2）的可能取值为0，1，2， 则，，， 的分布列为： 0 1 2 P 期望为， 方差为 【变式3】 （23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求解即可； （2）根据题意分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，求解即可； （3）列出随机变量X的分布列，再利用期望、方差公式求值. 【详解】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元， 则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车， 或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况， 甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为； （3）X的可能取值为0，2，4，6，8， ， ，， 分布列如下表： X 0 2 4 6 8 P 数学期望， . 题型04 二项分布 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据题意，得到获奖次数服从，由获得750元现金券需要中奖5次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，小王购买了价值3800元的手机，可得小王购物后可以获得6张抽奖券， 因为每张抽奖券中奖的概率均为，所以获奖次数服从， 又因为若获奖获得价值150元的现金券，则获得750元现金券需要中奖5次， 所以小王得到750元现金券的概率为． 故答案为：. 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段练习）某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 【答案】(1) (2)分布列见解析，； (3) 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用二项分布求分布列、计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率. （2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可. （3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系. 【详解】（1）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A， 由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合， 其中男生成绩高于女生，， ，，. 所以事件A有17种组合 ，因此； （2）由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为. 因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且 , ，，， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 数学期望. （3）男生的平均成绩为，则； 女生的平均成绩为，则； 由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本， 所以，则； 所以. 【典例3】（24-25高三上·福建·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为，且.从该工厂生产的产品中随机抽取n件，设其中一等品的数量为X，二等品的数量为Y. (1)已知X的数学期望，X的方差，求的值. (2)若，且，求的值. (3)已知，，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的数量之和为M. M的数学期望是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】二项分布的方差、均值的实际应用、二项分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）由，利用二项分布的期望方差公式解方程组可得； （2）由，利用公式代入解方程可得； （3）由，利用期望公式可得，结合函数单调性可知最值情况. 【详解】（1）由题意知，则， 解得； （2）由，则， 由得，， 化简可得，即，解得； （3）由题意知，，又，， 所以，则，当增大时，也增大. 所以，当，，故的数学期望没有最大值. ‌但在实际情境中，‌的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，取最大值. 【变式1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)200人； (2)分布列见解析，数学期望为 【知识点】指定区间的概率、二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）利用正态分布的性质求出，进而求出对应的人数. （2）根据给定条件，利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）由问卷调查的成绩近似服从正态分布，且， 则，于是， 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200人. （2）由（1）知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为， 的可能取值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解； （2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解. 【详解】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】(1)0.20． (2)答案见解析 (3) 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据分层抽样的抽样比计算的人生，即可根据超几何分布的概率公式即可求解， （3）根据二项分布的概率公式,结合组合数的性质即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20． （2）由频率分布直方图得，这500名学生中日平均阅读时间在三组内的学生人数分别为． 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，现从这10人中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3），理由如下： 由频率分布直方图得抽取的学生中日平均阅读时间在内的概率为0.50，所以从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列大致服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大． 题型05 超几何分布 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.95 0.8 0.75 0.85 0.86 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． (1)从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； (2)从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； (3)按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【知识点】超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）计算出所有答卷的总数，再求得英语兴趣良好的答卷份数即可得出结果； （2）根据互斥事件概率的加法公式计算可得结果； （3）由分层抽样比得出每层抽取的人数，再利用超几何分布公式计算得出分布列和期望值. 【详解】（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件， 答卷总份数为， 其中英语兴趣良好有， 故. （2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件， ， 则所求的概率为： ． （3）从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人， 其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人， 再从中选取3人，则的所有取值为． ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 故． 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】超几何分布的分布列、利用二项分布求分布列 【分析】（1）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，求出对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望. （2）总体中合格品的比例为，样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，即样品中合格品的比例大于等于且小于等于，即样本中合格品的个数为2或3，求出对应概率，相加即可得所求概率. 【详解】（1）有放回的抽取时，P（取到合格品）（取到次品）， 根据题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， . X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）由题意得总体中合格品的比例为， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过， 所以样本中合格品的比例大于等于且小于等于，即样本中合格品的个数为2或3， ， ， 所以P（样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过）. 【典例3】（23-24高三上·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【答案】(1)均值为15，方差为1.66. (2)答案见解析 【知识点】超几何分布的分布列、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据均值与方差的概念，计算即可求解； （2）根据超几何分布及古典概型的概率公式即可求解． 【详解】（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 【变式1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元． (1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列； (3)已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润． 【答案】(1)0.2 (2)答案见解析 (3)42元 【知识点】超几何分布的分布列、指定区间的概率、二项分布的均值 【分析】（1）由正太分布曲线的对称性即可求解； （2）的所有可能取值为，由超几何分布的概率公式即可求解； （3）由二项分布的均值公式即可列方程求解. 【详解】（1）由题意该产品是“一等品”即，而服从正态分布，且，， 所以 ； （2）一箱产品中“一等品”的件数约为，其余80件为“二等品”， 由题意的所有可能取值为， 所以， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 （3）设每件“一等品”的利润为元，而每件“二等品”的利润是12元， 每箱中“一等品”所占的比例为0.2， 每箱中“一等品”、“二等品”所获利润分别服从二项分布： ， 则，解得， 所以每件“一等品”的利润为42元. 【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）． (1)求直方图中的值； (2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）； (3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.05； (2)497.1克； (3)分布列见解析，期望为. 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、由频率分布直方图估计中位数、补全频率分布直方图 【分析】（1）由频率之和为1即可求解； （2）利用频率分布直方图中中位数的求解方法即可得解； （3）由题可得X所有可能的取值为0，1，2，然后利用超几何分布求出对应的概率即可得解． 【详解】（1）依题意，，解得， 所以直方图中a的值是0.05； （2）由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05， 则，， 所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，设中位数为， 则，解得：， 所以这100件产品的重量的中位数约为497.1克； （3）样本中合格产品数量为， 在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X， 则X所有可能的取值为0，1，2， 于是，，， 所以X的分布列为： 0 1 2 则． 【变式3】 （23-24高二下·山东淄博·期末）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和； 【答案】(1). (2)分布列见解析 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的方差、二项分布的均值、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意，得到变量，结合二项分布的期望与方差的公式，即可求解； （2）根据题意，得到变量服从超几何分布，结合，求得相应的概率，列出分布列. 【详解】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量， 所以，. （2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几何分布， 则， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 题型06 正态分布 【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件) 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. ①求抽取的零件为废品的概率； ②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则，， 【答案】(1)60； (2)①；② 【知识点】利用全概率公式求概率、指定区间的概率、正态曲线的性质、计算条件概率 【分析】本题主要考查全概率公式和条件概率公式，考查正态曲线的性质，属于一般题. （1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）①利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【详解】（1）由题意可知，， 则， 所以 ； （2）①设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的汽车零件为废品”， 设事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 设事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； ②因为， 所以， 所以 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 【答案】(1)生产线出现异常，理由见解析 (2)均值为，方差为 【知识点】正态分布的实际应用、二项分布的方差、方差的性质、二项分布的均值 【分析】（1）借助正态分布的性质计算可得小概率事件多次发生，故可视为生产线出现异常； （2）计算出次品率后可得，结合二项分布的期望与方差公式可得、，结合期望与方差的性质即可得X的均值及方差. 【详解】（1）依题意，有， 所以正常产品尺寸的范围为， 生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为，故生产线出现异常； （2）依题意，尺寸在以外的就是次品，故次品率为， 记这3件产品中次品件数为Y，则Y服从二项分布， 则， 因为， 所以X的均值（元）， 方差. 【典例3】（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【答案】(1)成绩在的人数约为20481人，75分以上的人数约为684人； (2)63分 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】（1）由题意可得，则可得，从而可估算出成绩在的人数，根据正态分布曲线的对称性求出，从而可估算出成绩在75分以上的人数； （2）设该划线分为m，由题意可得，，则，从而可求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以成绩在的人数约为人， 由正态分布曲线的对称性可得：， 则， 所以估计75分以上的人数约为人； （2）设该划线分为m，由，得，， 令， 由题意因为η～N（0，1），， 所以，所以， 所以． 【变式1】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)159人 (2)分布列见解析，，． 【知识点】利用二项分布求分布列、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解； （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解． 【详解】（1）样本中100名学生每周阅读时间的均值为： ， 即，又，所以， 所以， 所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人） （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得， 故，，， ，，， 随机变量Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故，． 【变式2】（23-24高二下·江苏徐州·期中）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. (1)现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 【答案】(1)分布列见解析，； (2)，； (3). 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列关求出期望. （2）根据给定条件，利用二项分布的概率公式，结合互斥事件的概率求出概率，用二项分布的方差公式求出方差. （3）利用正态分布的对称性和对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意，可知可取0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 从而的数学期望. （2）可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然， ，， . 所以技术攻坚成功的概率， 所以的方差. （3）由，得，由，得， 则， 于是，则， 记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件， 则. 所以至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为. 【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数. 【变式3】 （23-24高二下·重庆·阶段练习）某学校组织学生参加知识竞赛，为了解该校学生的考试成绩，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40～100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这600名学生成绩的中位数； (3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题： ①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）； ②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望和方差． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)80 (3)①4442；②， 【知识点】3δ原则、二项分布的均值、由频率分布直方图估计中位数、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据频率和为1，求的值； （2）根据频率和为0.5，计算中位数； （3）①首先根据频率分布直方图求均值，，再求，②求，则根据题意抽象为，根据二项分布求期望和方差. 【详解】（1）由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1得： ， 解得． （2）由频率分布直方图，因为前4组的频率为， 所以估计600名学生成绩的中位数为80． （3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数，即 ， 所以， 则， 题意中是把这个2.8万人看成一个总体，这里面每个人的成绩是服从正态分布， 为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件， 每个人的成绩超过86.8分的概率约是0.15865， 所以，此时， 即估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人， ②由①得，则， 由于是从所有参赛的学生中随机抽取10人， 所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量， 所以，． 题型07 正态分布的实际应用 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19. (1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？ (2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为. （ⅰ）证明：； （ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）： (3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）. 附：，，，. 【答案】(1)95，合适，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）96，18 (3)定为等级，定为等级，定为等级，定为等级 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、3δ原则 【分析】（1）结合比例分配的分层抽样，利用平均数公式即可求解；由样本的均值与总体均值的差异来估计总体均值的合适情况； （2）（ⅰ）结合比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，进而进行化简即可得证； （ⅱ）利用平均值公式计算，由（ⅰ）直接代入即可计算； （3）由（2）知，，进而由对称性和即可求解. 【详解】（1）总样本的均值为. 用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大， 这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差. （2）（ⅰ）证明：根据方差的定义，总样本方差为 . ∵， 同理. 因此， . （ⅱ）因为是按比例分配分层随机抽样，所以，得 男生样本的均值为，方差为， 女生样本的均值为，方差为， 记总样本的均值为，方差为， 则， 所以 又，所以. 总样本的均值为96，标准差约为18. （3）由（2）知，，所以服从正态分布， 所以，. ， 故可将定为等级，定为等级， 定为等级，定为等级. 【典例2】（2024·江西南昌·二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 【答案】(1)0.093 (2)不正常，理由见解析. 【知识点】特殊区间的概率、3δ原则、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据正态分布性质分别求电阻阻值在和在的概率，再结合概率公式求结论， （2）根据原则判断即可. 【详解】（1）电阻阻值服从正态分布. 所以，. 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在和在的概率分别为 ， . 因此这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率； （2）生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布，即， 记，计算可得， 而，即， 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常. 【变式1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）从某技术公司开发的某种产品中随机抽取件，测量这些产品的一项质量指标值(记为)，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利元；若是次品，则亏损元．若将样本频率视为概率，记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望； (2)由频率分布直方图可以认为，服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)． ①利用该正态分布，求； ②某客户从该公司购买了件这种产品，记表示这件产品中该项质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求． 附：；若，则，. 【答案】(1)分布列见解析；数学期望 (2)①；② 【知识点】计算频率分布直方图中的方差、标准差、3δ原则、求离散型随机变量的均值、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图可求得产品为正品和次品的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值； （2）①根据频率分布直方图估计平均数和方差的方法可求得，由正态分布的原则可求得结果； ②根据二项分布期望公式可求得结果. 【详解】（1）由频率估计概率，产品为正品的概率为， 产品为次品的概率为； 随机变量的分布列为： 数学期望. （2）①抽取产品的该项质量指标值的样本平均数为； 样本方差.； ，则，， . ②由①知：一件产品中该项质量指标值位于区间内的概率为， ，. 【变式2】（24-25高三·安徽六安·阶段练习）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． (1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） (2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中近似为（1）中计算的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取4位，求4位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量X服从正态分布，则，,，，，． 【答案】(1)总样本的均值为17，方差为23；估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23 (2)0.0006 【知识点】3δ原则、独立重复试验的概率问题、估计总体的方差、标准差 【分析】（1）首先根据每一层的均值和方差，代入总体样本的均值和方差公式，即可求解； （2）首先由参考公式计算，再根据独立重复事件求概率. 【详解】（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为； 把女性样本记为，其平均数记为，方差记为． 则，；，．记总样本数据的平均数为，方差为． 由，，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数， 根据方差的定义，总样本方差为 由，可得 同理，， 因此， ， 所以总样本的均值为17，方差为23， 并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23． （2）由（1）知， 所以，又因为， 所以， , 因为 所以, 所以4位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.0006． / 学科网（北京）股份有限公司 $$