专题16直线与圆（14题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题15 直线与圆归类 目录 题型01 斜率与倾斜角：函数型 1 题型02 直线含参：双参型定圆 2 题型03 直线一般式理论 3 题型04 光学性质与“将军饮马”型 4 题型05 直线对称与“叠纸”型 6 题型06 直线含“三角函数”型参数 7 题型07 直线与圆最值 8 题型08 圆切线长范围与最值 8 题型09 圆切线面积范围最值 9 题型10 圆的切点弦 10 题型11 切点弦最值范围 11 题型12 两圆公切线 12 题型13 圆型“将军饮马”求范围最值 13 题型14 角度型 14 题型01 斜率与倾斜角：函数型 【解题规律·提分快招】 斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应 由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大； 当α＝时，斜率不存在，但直线存在； 当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大． 【典例1-1】 （2022·湖南娄底·模拟）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为 A．π B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高三·江西景德镇·模拟）将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三·河南周口·阶段练习）已知，若直线过点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2021高三·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型02 直线含参：双参型定圆 【解题规律·提分快招】 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 【典例1-1】 （21-22高三·天津·模拟）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23上·贵州贵阳·阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【变式1-1】 （18-19高三·河北石家庄·模拟）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．4 B．10 C．5 D． 【变式1-2】 （2021高三·江苏·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式1-3】 （21-22高三·湖南·阶段练习）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 题型03 直线一般式理论 【解题规律·提分快招】 直线系型： (1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0； (3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 【典例1-1】 （21-22高三·全国·模拟）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论，，如何，方程组总有解 B．无论，，如何，方程组总有唯一解 C．存在，，，方程组无解 D．存在，，，方程组无穷多解 【典例1-2】 （20-21高三·上海宝山·模拟）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【变式1-1】 （21-22高三·全国·单元测试）定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（    ） A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交 【变式1-2】 （23-24高三·上海杨浦·模拟）已知直线，点、，设，，以下选项中命题都正确的为（    ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 （4）若，则直线与线段的延长线相交 A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【变式1-3】 （22-23高三·上海青浦·阶段练习）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 题型04 光学性质与“将军饮马”型 【解题规律·提分快招】 直线光学性质，即直线对称性质 关于轴对称问题： （1）点关于直线的对称点，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 【典例1-1】 （22-23高三·福建厦门·阶段练习）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（    ） A．24 B． C．14 D． 【典例1-2】 （22-23高三·浙江嘉兴·模拟）如图，棱长为3的正方体中，点在线段上且，点分别为线段上的动点，则空间四边形周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】 （21-22高三·重庆沙坪坝·模拟）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高三·浙江绍兴·模拟）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为、、，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点反射到边AB上，再由AB上的点反射回到BC边上的点停止，则光线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （18-19高三·福建莆田·模拟）已知长方形的四个顶点：、、、.一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的范围是 A． B． C． D． 题型05 直线对称与“叠纸”型 【典例1-1】 （2023·云南保山·二模）折纸艺术大约起源于公元1世纪的中国，6世纪传入日本，后经由日本传到全世界.折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动.现有一张半径为6，圆心为O的圆形纸片，在圆内选定一点P且，将圆翻折一角，使圆周正好过点P，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到O，P两点距离之和最小的点为M，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设M点的轨迹为曲线C，在C上任取一点Q，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D．4 【典例1-2】 （22-23高三·浙江杭州·模拟）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1-1】 （22-23高三·上海徐汇·阶段练习）折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】 （2023高三·安徽芜湖·专题练习）如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型06 直线含“三角函数”型参数 【解题规律·提分快招】 圆的动切线： 到直线系距离，每条直线的距离 ， 直线系表示圆的切线集合， 【典例1-1】 （21-22高三·全国·模拟）对于直线系，，下列说法错误的有（    ）． A．存在定点C与M中的所有直线距离相等 B．M中不存在两条互相平行的直线 C．M中存在两条互相垂直的直线 D．存在定点P不在M中的任意一条直线上 【典例1-2】 （22-23高三·广东广州·模拟）设直线系，对于下列四个命题： （1）中所有直线均经过某定点； （2）存在定点不在中的任意一条直线上； （3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上； （4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（    ） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2） 【变式1-1】 （21-22高三·吉林白城·阶段练习）已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（   ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 【变式1-2】 （24-25高三·山东·模拟）已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（   ） A．当时，直线的一个方向向量为（1，0） B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 题型07 直线与圆最值 【解题规律·提分快招】 直线与圆的位置关系： (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 【典例1-1】 （24-25高三·江苏连云港·模拟）已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三·天津·模拟）已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （21-22高三·湖南衡阳·阶段练习）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三·天津·模拟）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B．9 C．10 D． 【变式1-3】 （2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（    ） A． B． C． D． 题型08 圆切线长范围与最值 【解题规律·提分快招】 圆的切线常用结论： (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 【典例1-1】 （22-23上·浙江嘉兴·阶段练习）已知直线及圆，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24上·天津和平·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率为是椭圆上的点，的中点为，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【变式1-1】 （24-25高三·天津滨海新·阶段练习）已知圆与圆. 相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，①圆O与直线l相切; ②线段AB的长为③的最小值是2； ④从P点向圆M引切线，切线长的最小值是则说法正确的是 （    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【变式1-2】 （24-25高三·天津武清·模拟）已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三·河南安阳·模拟）已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型09 圆切线面积范围最值 【解题规律·提分快招】 圆切三角形面积最值 ,然后把三角形面积最值转化为PC最值 圆切四边形面积最值 然后把三角形面积最值转化为PC最值 【典例1-1】 （20-21高三·天津滨海新·模拟）已知，直线，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三·山西朔州·模拟）已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高三·浙江温州·阶段练习）已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且.则四边形ABCD的面积最大值为 A．20 B．30 C．49 D．50 【变式1-2】 （22-23高三·河北唐山·模拟）已知 是圆的互相垂直的两条弦,垂足为,则四边形面积的最大值为,最小值为,则的值为 A． B． C． D． 题型10 圆的切点弦 【解题规律·提分快招】 切点弦求解： 1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 【典例1-1】 （20-21高三·四川凉山·模拟）已知直线，圆．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为．当四边形面积最小时，直线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （20-21高三·山西晋中·模拟）已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D．    【变式1-1】 （22-23高三·山西晋中·模拟）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ） A． B． C． D．4 【变式1-2】 （22-23·河北石家庄·开学考试）已知圆C1：和圆，点P为上任意一点，过P作的两条切线，连接两个切点的线段称为圆的切点弦，则在圆内不与切点弦相交的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022天津·模拟）已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为 A．3 B． C． D．2 题型11 切点弦最值范围 【解题规律·提分快招】 切点弦最值范围 （1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． （2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法： ①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 【典例1-1】 ．（2022·河南安阳·模拟预测）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （21-22高三·四川绵阳·模拟）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式1-1】 （2023·贵州毕节·一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-2】 （20-21·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-3】 （21-22高三·江苏南通·模拟）以下四个命题表述错误的是（    ） A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 题型12 两圆公切线 【解题规律·提分快招】 圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和. （1）若，则圆与圆内含； （2）若，则圆与圆内切； （3）若，则圆与圆相交； （4）若，则圆与圆外切； （5）若，则圆与圆外离. 【典例1-1】 （20-21高三·全国·模拟）若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （23-24高三·全国·模拟）已知圆，圆，两圆的内公切线交于点，外公切线交于点，若，则等于（　） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2022·北京·模拟）已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于 A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高三·四川成都·阶段练习）若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，点是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三·天津西青·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线的方程为      ②线段的长为 ③的最小值是2                                  ④从点向圆引切线，切线长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型13 圆型“将军饮马”求范围最值 【典例1-1】 （2021·全国·专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高三·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （21-22高三·湖南益阳·模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三·江苏·模拟）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式1-3】 （21-22高三·浙江·阶段练习）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型14 角度型 【典例1-1】 （23-24高三·安徽合肥·模拟）已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23·河北石家庄·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23·广西南宁·阶段练习）已知双曲线的左焦点分，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2021·全国·模拟预测）知直线，圆，若在直线上存在一点，使得过点作圆的切线，(点A，为切点)，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （24-25·河北沧州·阶段练习）已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 冲高考 1．（24-25 ·江西赣州·模拟）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 2．（24-25·江苏·阶段练习）已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ． 3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 . 4．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时， ；当时，的最小值为 . （20-21高三·浙江嘉兴·模拟）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 . 5.（24-25高三·江苏苏州·模拟）如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是 .    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 直线与圆归类 目录 题型01 斜率与倾斜角：函数型 1 题型02 直线含参：双参型定圆 4 题型03 直线一般式理论 5 题型04 光学性质与“将军饮马”型 8 题型05 直线对称与“叠纸”型 12 题型06 直线含“三角函数”型参数 14 题型07 直线与圆最值 16 题型08 圆切线长范围与最值 19 题型09 圆切线面积范围最值 22 题型10 圆的切点弦 25 题型11 切点弦最值范围 27 题型12 两圆公切线 30 题型13 圆型“将军饮马”求范围最值 33 题型14 角度型 36 题型01 斜率与倾斜角：函数型 【解题规律·提分快招】 斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应 由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大； 当α＝时，斜率不存在，但直线存在； 当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大． 【典例1-1】 （2022·湖南娄底·模拟）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为 A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】因为时，在是减函数且，当且仅当时等号成立， 故函数的图像的切线中，在处切线的倾斜角最大，其值为，由此可以求得答案 【详解】函数的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时， 当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为在是减函数且，当且仅当时等号成立， 故函数的图像的切线中，在处切线的倾斜角最大，其值为. 由此可知－.故选. 【点睛】本题主要考查了函数的概念和导数的几何意义，只需按照题意来求解，较为基础． 【典例1-2】 （23-24高三·江西景德镇·模拟）将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据导数求函数在定义域上切线斜率的最大值，转化为切线旋转，根据函数的定义，即可求解. 【详解】令原函数为，即，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为， 令函数图象在处的切线倾斜角为，则， 曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同， 而曲线始终为函数图象，因此，而，则， 所以的最大值为.故选：A 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 【变式1-2】 （22-23高三·河南周口·阶段练习）已知，若直线过点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，即可求得答案. 【详解】斜率存在，设直线的倾斜角为，则 由题意，故，则，故的倾斜角为．故选：A． 【变式1-3】 （2021高三·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 题型02 直线含参：双参型定圆 【解题规律·提分快招】 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 【典例1-1】 （21-22高三·天津·模拟）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知确定点，坐标，且，结合基本不等式求范围. 【详解】由已知可得动直线经过定点，动直线经过定点， 且两条直线互相垂直，且相交于点，所以，即， 由基本不等式可得， 即，可得，故选：C. 【典例1-2】 （22-23上·贵州贵阳·阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】D 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：D. 【变式1-1】 （18-19高三·河北石家庄·模拟）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．4 B．10 C．5 D． 【答案】C 【分析】由题意可知两条动直线经过定点、，且始终垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 因为，所以动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有，， 故（当且仅当时取“” ， 故选：C． 【变式1-2】 （2021高三·江苏·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABM，利用三角函数求最值即可． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点，， 动直线和动直线满足， 两条直线始终垂直，又因为是两条直线的交点，所以.所以. 设，则，由，可得， ，令， 所以， 故的最大值为．故选: C 【变式1-3】 （21-22高三·湖南·阶段练习）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABP，利用三角函数求最值即可. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点，，∵动直线和动直线满足， ∴两条直线始终垂直，又因为是两条直线的交点，所以.所以. 所以是直角三角形，且，设，则， ∴所以的最大值是.故选：B. 题型03 直线一般式理论 【解题规律·提分快招】 直线系型： (1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0； (3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 【典例1-1】 （21-22高三·全国·模拟）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论，，如何，方程组总有解 B．无论，，如何，方程组总有唯一解 C．存在，，，方程组无解 D．存在，，，方程组无穷多解 【答案】B 【分析】通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可. 【详解】已知与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以,即,并且，. 所以得：即, 所以方程组有唯一解.故选：B 【典例1-2】 （20-21高三·上海宝山·模拟）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【答案】A 【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项. 【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以即，故既在直线上，也在直线上. 因为与是两个不同的点，故、不重合， 故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A. 【变式1-1】 （21-22高三·全国·单元测试）定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（    ） A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交 【答案】D 【分析】根据有向距离的定义，分别对直线与直线l的位置关系进行判断. 【详解】由定义可知，若d1＝d2＝0，即点P1，P2到直线l的有向距离为0，则点P1，P2在直线l上，则可知A，B，C均不成立， 故选：D. 【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强. 【变式1-2】 （23-24高三·上海杨浦·模拟）已知直线，点、，设，，以下选项中命题都正确的为（    ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 （4）若，则直线与线段的延长线相交 A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】根据条件，再合（1）（2）（3）（4）中所给条件，逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于（1），因为，所以，即，所以（1）正确； 对于（2），当时，满足，此时有，，即、均在直线上，所以（2）错误； 对于（3），由，得到，由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知选项C正确； 对于（4），由，得到，则有，由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知点、分布在直线的同侧，且由，得到，所以，从而有，所以（4）正确，故选：C. 【变式1-3】 （22-23高三·上海青浦·阶段练习）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】依次分析命题：①根据中的分母不为0，即可判断点不在直线上；②当时，分和两种情况考虑，当时，根据推出直线与直线平行；当时，根据，化简后得到直线与直线的斜率相等，且点不在直线上，进而得到两直线平行；③当时，化简后得到线段的中点在直线上；④根据，得到与同号且小于，进而得到点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交，综合可得答案. 【详解】①因为中，，所以点不在直线上，故①错误； ②当时，根据得到，化简得：，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；当时，根据，得到，化简得：，即直线的斜率为，又因为直线的斜率为，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；综上，当时，直线与直线平行，故②正确； ③当，得到，化简得，而线段的中点坐标为，所以直线经过直线的中点，故③正确； ④当，得到，即，所以得到点、在直线的同侧，且，得到点与点到直线的距离不等，所以直线与线段的反向延长线相交，故④正确，故选：. 题型04 光学性质与“将军饮马”型 【解题规律·提分快招】 直线光学性质，即直线对称性质 关于轴对称问题： （1）点关于直线的对称点，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 【典例1-1】 （22-23高三·福建厦门·阶段练习）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（    ） A．24 B． C．14 D． 【答案】B 【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可. 【详解】∵点到直线的距离, ∴直线始终与圆相切, ∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合, ∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值. 故选：B 【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再转换所求求最值即可.属于难题. 【典例1-2】 （22-23高三·浙江嘉兴·模拟）如图，棱长为3的正方体中，点在线段上且，点分别为线段上的动点，则空间四边形周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平面与平面展开在同一平面上上，然后利用对称将空间四边形各边长转化到同一直线上，找到最小值即可求解； 【详解】把平面与平面展开在同一平面上上，    作点关于的对称点，因为，且正方体边长为3，易得为正三角形，由对称性可得：，所以周长 作，可得易得， ,故选：C. 【变式1-1】 （21-22高三·重庆沙坪坝·模拟）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得坐标，再由求解即可. 【详解】由题意，，则,， ，，即， ，解得.故选：A 【变式1-2】 （21-22高三·浙江绍兴·模拟）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为、、，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点反射到边AB上，再由AB上的点反射回到BC边上的点停止，则光线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】入射角等于反射角，把以为轴进行翻折，使点落到，再以为轴，把进行翻折，使点落到，由光的反射原理得光线的斜率满足，根据为等边三角形得出，利用两点求斜率即可求解. 【详解】入射角等于反射角， 把以为轴进行翻折，使点落到，再以为轴，把进行翻折，使点落到，如图：由光的反射原理，若或， 则光线反射到边后不会反射到边上，光线的斜率满足， ，，，， 是等边三角形，由翻折可得，直线的斜率， 直线的斜率，光线的斜率的范围为.故选：A 【变式1-3】 （18-19高三·福建莆田·模拟）已知长方形的四个顶点：、、、.一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，过点作轴，可得，计算出的取值范围，可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，如下图所示： 延长分别交、、于点、、， 过点作轴，垂足为点，则， 由对称性结合图形可知，， 且有，，， 所以，， 在中，. 故选：B. 题型05 直线对称与“叠纸”型 【典例1-1】 （2023·云南保山·二模）折纸艺术大约起源于公元1世纪的中国，6世纪传入日本，后经由日本传到全世界.折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动.现有一张半径为6，圆心为O的圆形纸片，在圆内选定一点P且，将圆翻折一角，使圆周正好过点P，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到O，P两点距离之和最小的点为M，如此反复，就能得到越来越多的折痕，设M点的轨迹为曲线C，在C上任取一点Q，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线C，再利用椭圆的性质计算即可. 【详解】如图所示，设折痕为直线，点P与关于折痕对称，，在上任取一点B，由中垂线的性质可知：，当且仅当M、B重合时取等号. 即折痕上到O，P两点距离之和最小的点为M，且. 故M的轨迹是以O，P为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距，， 故短半轴长，所以当Q为椭圆上（下）顶点时，面积的最大值为.    故选：B. 【典例1-2】 （22-23高三·浙江杭州·模拟）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数. 【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点与点可得折痕所在直线的方程为，由点与点可得折痕所在直线的方程为，故舍去； 由点与点可得折痕所在直线的斜率不为0， 由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即，由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即，则有，解得. 所以故选：D 【变式1-1】 （22-23高三·上海徐汇·阶段练习）折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，O点落在线段上，O点与上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解 【详解】如图，要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点， 作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合，因为， 所以，且.又当折叠后与重合时，，所以 的取值范围是，故选：D 【变式1-2】 （23-24下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用对称性，两点之间，线段最短得到答案. 【详解】如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，，则有， 故.   故选：D 【变式1-3】 （2023高三·安徽芜湖·专题练习）如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式，结合，即可求解. 【详解】由图形的折叠，可得， 因为，所以，所以为等边三角形， 可得，因为，所以， 所以，所以， 则阴影部分的面积.故选：B． 题型06 直线含“三角函数”型参数 【解题规律·提分快招】 圆的动切线： 到直线系距离，每条直线的距离 ， 直线系表示圆的切线集合， 【典例1-1】 （21-22高三·全国·模拟）对于直线系，，下列说法错误的有（    ）． A．存在定点C与M中的所有直线距离相等 B．M中不存在两条互相平行的直线 C．M中存在两条互相垂直的直线 D．存在定点P不在M中的任意一条直线上 【答案】B 【分析】应用点线距离公式知，点到M的距离且该点不在M上，可判断A、D的正误；利用特殊值法可判断B、C的正误. 【详解】A：由M的方程知：点到M的距离为，故正确； B：当有，当有，即存在平行的直线，故错误； C：当有，当有，即存在垂直的直线，故正确； D：显然存在，有，即不在中的任意一条直线上，故正确； 故选：B. 【典例1-2】 （22-23高三·广东广州·模拟）设直线系，对于下列四个命题： （1）中所有直线均经过某定点； （2）存在定点不在中的任意一条直线上； （3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上； （4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等； 其中真命题的是（    ） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2） 【答案】A 【分析】先求出直线 的几何特征，再逐项分析即可. 【详解】原点O 到直线的距离为 ，所以直线M始终是圆O： 的切线； 对于A，由于 的变化，直线M是围绕圆O旋转的，没有定点，错误； 对于B，O点不在直线M上，正确； 对于C，如果圆O是该正多边形的内切圆，则其所在的边必定在M上，正确； 对于D，正 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，错误； 故选：A. 【变式1-1】 （21-22高三·吉林白城·阶段练习）已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（   ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 【答案】C 【分析】A中，当时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为；B中，S中所有直线均经过一个定点，不正确；C中，当m>n时，S中的两条平行直线间的距离为，可得最小值为2n；D中，由（0，0）不满足方程，可判断命题错误． 【详解】当θ时，sinθ＝cosθ，S中直线的方程为，即，故其斜率为，故A不正确； 根据y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确； 当时，S中的两条平行直线间的距离为，而，则，故，即最小值为2n，C正确； 易见，点（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确；故选：C. 【变式1-2】 （24-25高三·山东·模拟）已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（   ） A．当时，直线的一个方向向量为（1，0） B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 【答案】C 【分析】对于A，将代入得直线方程，即可判断；对于B，通过给赋值，得三条直线的方程，根据三条直线交于一点不成立判断B不成立；对于C，根据公式表示距离，再利用同角三角函数关系化简，即可求最小值；对于D，根据不满足直线方程，即可判断. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，即，平行于轴，直线的方向向量与平行，故A不正确； 对于B，当时，得，即；当时，得，即，联立方程得，则两直线交于点，当时，得，显然点不在直线上，此时三条直线交于一点不成立，故当变化时，所对应的直线均过同一个定点不成立，故B不正确； 对于C，当时，坐标原点到直线的距离，而，则，故，即最小值为，故C正确； 对于D，由于点不满足方程，所以所有直线组成的平面区域不可能覆盖整个平面，故D不正确； 故选：C. 题型07 直线与圆最值 【解题规律·提分快招】 直线与圆的位置关系： (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 【典例1-1】 （24-25高三·江苏连云港·模拟）已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定动直线过圆内一定点，求出圆心的坐标和半径，由时，弦最短求解． 【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径， 动直线，即，恒过点. 设，又由，则点在圆的内部， 动直线与圆（圆心为）交于点， 当为的中点，即与垂直时，弦最短， 此时，弦的长度为， 此时的面积， 故选：D. 【典例1-2】 （22-23高三·天津·模拟）已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形PAMB等面积法将求的最小值转化为求的最小值，即：当时，取得最小值；联立与l的方程可求得点P坐标；再由点P，点M求出以PM为直径的圆的方程；两圆方程之差即为（公共弦）AB所在的直线方程. 【详解】的方程为： ① 可化为：，则圆心M（1，1），半径为2. 点M到直线l的距离为 ∴直线l与相离，则如图所示，连接AM，BM. ∴要求的最小值，只需求的最小值. ∴当时，取得最小值，即：取得最小值. ∴ ∴ 即： 联立 解得 ∴ ∵，∴A，B也在以PM为直径的圆上. 又∵以PM为直径的圆的方程为： （或用圆的标准方程求解为：）即： ② ∴②-①得：故选：D. 【变式1-1】 （21-22高三·湖南衡阳·阶段练习）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线恒过定点，再确定圆心到直线的距离的取值范围，再根据弦长公式可求解. 【详解】由得，， 由解得，所以直线恒过定点， 设圆心到直线的距离为，， 当直线过圆心， 即即时，有最小值为0， 当直线时，有最大值为， 所以，所以弦长等于， 故选:D. 【变式1-2】 （23-24高三·天津·模拟）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B．9 C．10 D． 【答案】D 【分析】，过定点，，，由垂径定理易知，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，计算出点到的最大距离为，据此即可求出面积的最大值. 【详解】因为圆：，所以，因为：，即，所以过定点，直线：，令，则；令，则， 则，，，作出图象如图所示： 因为为中点，所以，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 所以点到的最大距离为，所以面积的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是得到点的轨迹，再求出该圆上的点到定直线距离的最大值，从而得到面积最大值. 【变式1-3】 （2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过的定点及圆的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解. 【详解】依题意，直线，由，解得， 所以直线过定点，由，得， 所以圆心，半径，显然，即点在圆内， 所以直线斜率，当时，直线被圆截得的弦最短， 所以，即，解得,所以直线的方程为，即， 经检验，此时，满足题意.故选：C. 题型08 圆切线长范围与最值 【解题规律·提分快招】 圆的切线常用结论： (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 【典例1-1】 （22-23上·浙江嘉兴·阶段练习）已知直线及圆，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由切线长公式可得 ，据此可得当取得最小值时， 取得最小值，又由的最小值即点C到直线l的距离，计算可得答案. 【详解】根据题意，圆的圆心C(-1，-2)，半径r= 2， 过直线上任意一点P向圆引切线PA，切点为A 则 ，当取得最小值时， 取得最小值， 又由的最小值即点C到直线l的距离，取得最小值为.故选：A 【典例1-2】 （23-24上·天津和平·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率为是椭圆上的点，的中点为，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】由，得到，从而求得，再由离心率为求得椭圆，设，利用切线长公式求解. 【详解】解：如图所示：因为，所以， 即，则，又因为离心率为，所以，， 所以椭圆，设，则， ，当时，.故选：C 【变式1-1】 （24-25高三·天津滨海新·阶段练习）已知圆与圆. 相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，①圆O与直线l相切; ②线段AB的长为③的最小值是2； ④从P点向圆M引切线，切线长的最小值是则说法正确的是 （    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】对于①，由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进而判断①是否正确；对于②，将两圆方程相减，得到直线的方程，根据圆心到直线的距离公式，利用勾股定理，即可求出结果，进而判断②是否正确；对于③，利用圆心到直线的距离减半径最小，即可求出结果，进而判断③是否正确；对于④，由勾股定理，可知当最小时，切线长的最小值，结合点到直线的距离公式，即可求出结果，进而判断④是否正确. 【详解】对于①，由圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离，所以圆O与直线相切，故①正确； 对于②，将两圆方程相减，可得直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以线段AB的长为，故②错误； 对于③，圆，即， 所以圆的圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离为， 当时，可取得最小值，此时的最小值是，故③正确； 对于④，从点向圆引切线，设切点为，则， 所以当最小时，切线的长取的最小值，所以当直线时，最小， 即，所以，故④正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求直线上的点到圆上的点的距离的最小值，常常数形结合，求得圆心到直线的距离的最小值减去圆的半径，可求得最小值. 【变式1-2】 （24-25高三·天津武清·模拟）已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据相似三角形以及勾股定理，建立所求圆的半径与的等量关系，利用数形结合，可得答案. 【详解】由题意可作图如下：由圆，则圆心，半径，因为与圆分别相切于，所以，， 设，，，易知， 易知，则，可得，即， 在中，，则，即， 由图可知，则，整理可得， 由图易知当垂直于直线时，取得最小值，则， 由函数在上单调递增，则的最小值为， 以为直径的圆的面积，所以面积的最小值为.故选：C. 【变式1-3】 （23-24高三·河南安阳·模拟）已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【详解】因为、在圆上，所以，，， 且，因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形，   表示、到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， ，，故在圆上，.故的最小值为.故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出，再将题意转化为表示、到直线的距离之和，最后利用中位线性质和圆外点外圆上点距离最值问题解决. 题型09 圆切线面积范围最值 【解题规律·提分快招】 圆切三角形面积最值 ,然后把三角形面积最值转化为PC最值 圆切四边形面积最值 然后把三角形面积最值转化为PC最值 【典例1-1】 （20-21高三·天津滨海新·模拟）已知，直线，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将面积化为，即可得点C到直线的距离即为最小，由此求出M坐标，由四点共圆，求出该圆方程，和圆C方程相减可得直线AB方程. 【详解】将化为标准方程为，故圆心，半径为2， 可得，则，， 为直线上的动点，则可得，此时取得最小值为2，此时， ，则直线方程为，即，联立MC和l可得， 可得四点共圆，且圆心为MC中点，半径为， 则该圆方程为，将两圆联立相减可得直线AB方程为.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是得出当，面积最大，求出点M坐标，且共圆，求出该圆方程，即可求出公共弦AB方程. 【典例1-2】 （22-23高三·山西朔州·模拟）已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，可知，由四边形的最小面积是，可知此时取最小值，由勾股定理可知的最小值为，即圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出的值. 【详解】如下图所示，由切线长定理可得，又，，且，，所以，四边形的面积为面积的两倍， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 四边形的最小面积是，所以，面积的最小值为， 又，，由勾股定理， 当直线与直线垂直时，取最小值，即，整理得，，解得.故选：D. 【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 【变式1-1】 （23-24高三·浙江温州·阶段练习）已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且.则四边形ABCD的面积最大值为 A．20 B．30 C．49 D．50 【答案】C 【详解】圆的方程为.设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且.则四边形ABCD的面积最大值为49，选C 【变式1-2】 （22-23高三·河北唐山·模拟）已知 是圆的互相垂直的两条弦,垂足为,则四边形面积的最大值为,最小值为,则的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：设点到直线和直线的距离分别为，如图，做,则四边形为矩形，又，所以，．则四边形的面积为：，又，所以，令，则，从而．对于函数，其对称轴为，根据一元二次函数的性质，，即，所以，选D． 考点：1.勾股定理；2.一元二次函数的最值；3.数形结合的思想和方法． 【方法点晴】本题考查的是勾股定理和一元二次函数的最值，属于中档题．本题首先根据已知条件可得：和，从而转化为利用圆中三角形勾股定理求弦长．表示出面积后，利用前面条件，把面积表示为关于的二次函数，利用换元法令，此时注意，转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，确定对称轴即可求解． 题型10 圆的切点弦 【解题规律·提分快招】 切点弦求解： 1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 【典例1-1】 （20-21高三·四川凉山·模拟）已知直线，圆．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为．当四边形面积最小时，直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求得点C到直线l的距离d ，根据，等号成立时，求得点P，进而求得过的圆的方程，与已知圆的方程联立求解. 【详解】设点C到直线l的距离为，由， 此时，，方程为，即，与直线联立得， 因为共圆，其圆心为，半径为，圆的方程为, 与联立，化简整理得，答案：B 【典例1-2】 （20-21高三·山西晋中·模拟）已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，结合图象求得直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以 ，而， 当直线PC⊥l时，最小，此时最小. 结合图象可知，此时切点为，所以直线的方程为，即. 故选：A    【变式1-1】 （22-23高三·山西晋中·模拟）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线,切点分别为A，B，根据切线的性质可得过点P，A，B的圆是以直径的圆，设其方程，联立方程组得出的直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设圆的动点为，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则过点P，A，B的圆是以直径的圆，该圆的方程为．由,可得的直线方程为．原点到直线的距离为， 故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为，故选:B． 【变式1-2】 （22-23·河北石家庄·开学考试）已知圆C1：和圆，点P为上任意一点，过P作的两条切线，连接两个切点的线段称为圆的切点弦，则在圆内不与切点弦相交的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线长定理及直角三角形的边角关系确定，则可得切点弦始终与圆相切，即可得所求区域面积. 【详解】解：如图，切点为，，连接，与的交点为， 由切线长定理可得，，且， ，所以，则原点到直线的距离为定值 故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 故选：B． 【变式1-3】 （2022天津·模拟）已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为 A．3 B． C． D．2 【答案】D 【详解】试题分析：圆的方程可化为，因为四边形的最小面积是，且此时切线长为，故圆心到直线的距离为，即，解得，又，所以． 考点：直线与圆的位置关系． 【思路点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，解决本题时先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值． 题型11 切点弦最值范围 【解题规律·提分快招】 切点弦最值范围 （1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． （2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法： ①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 【典例1-1】 ．（2022·河南安阳·模拟预测）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答. 【详解】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离， 依题意，，四边形周长， 当且仅当时取“=”，此时直线，由得点， 四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为. 故选：D 【典例1-2】 （21-22高三·四川绵阳·模拟）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案． 【详解】根据题意，设为直线上的一点，则， 过点作圆的切线，切点分别为、，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为C，，半径， 则其方程为，变形可得， 联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：， 又由，则有，变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点， 点在圆上，则点到直线距离的最大值为． 故选：B． 【变式1-1】 （2023·贵州毕节·一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由圆的切线的性质得点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆C的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案． 【详解】由题意可得的圆心到直线的距离为， 即与圆相离； 设为直线上的一点，则， 过点P作圆的切线，切点分别为，则有， 则点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为 ，半径为， 则其方程为，变形可得 ， 联立，可得：， 又由，则有 ， 变形可得 ， 则有，可得，故直线恒过定点， 设，由于，故点在内， 则时，C到直线的距离最大， 其最大值为, 故选∶B 【变式1-2】 （20-21·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据相交圆的公共弦所在直线方程的求法，先求以为直径的圆的方程，和圆的方程的差即为公共弦所在直线方程，利用距离公式即可得解. 【详解】设，则，以为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得直线的方程为，即 所以到直线的距离为， 当且仅当时取等号，所以坐标原点到直线距离的最大值为. 故选：B 【变式1-3】 （21-22高三·江苏南通·模拟）以下四个命题表述错误的是（    ） A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D．已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点 【答案】B 【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点 为直线上一点，求出切线的方程即可判断． 【详解】解：选项A：圆的圆心为 ，半径 ， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于， 故选项A正确； 选项B：方程可化为，故曲线 表示圆心为，半径 的圆， 方程可化为， 因为圆 与曲线 有四条公切线， 所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径  ， 同时两圆的位置关系为外离，有 ，即 ， 解得，故B错误； 选项C：圆的圆心 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形， ，当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为，故选项C正确； 选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，所以直线过定点，D正确． 故选：B． 题型12 两圆公切线 【解题规律·提分快招】 圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和. （1）若，则圆与圆内含； （2）若，则圆与圆内切； （3）若，则圆与圆相交； （4）若，则圆与圆外切； （5）若，则圆与圆外离. 【典例1-1】 （20-21高三·全国·模拟）若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，记与的交点为C，求出，再求出即得解. 【详解】如图所示，连接，记与的交点为C， 在中，，， 所以，所以， 所以． 故选：C 【典例1-2】 （23-24高三·全国·模拟）已知圆，圆，两圆的内公切线交于点，外公切线交于点，若，则等于（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出两圆的内公切线和外公切线，由三角形的相似得到，再利用求得值。 【详解】如图所示，，，解得：， 设，则，所以， ，因为，所以，故选B. 【点睛】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，与平面向量进行交会，求解时注意平面几何中相似三角形的运用，考查数形结合思想和坐标法思想求解问题。 【变式1-1】 （2022·北京·模拟）已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为直线、关于直线对称，故两直线斜率互为相反数， 设直线方程的斜率为，则直线斜率为， 所以，直线方程为：， 整理得：， 所以： ，即：，， 所以，同理， 所以，故选． 【变式1-2】 （21-22高三·四川成都·阶段练习）若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，点是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心与半径，分析可得， 则有，由此得出的值，即可得出的方程，过点作圆的切线，切点为，可得，由，进而转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，圆,其圆心，半径，圆， 其圆心为，半径，两圆在点处的切线互相垂直， 则，则有，即，解得，因为，所以， 即，过点作圆的切线，切点为，则 由，所以， 又，点是直线上的动点， 所以，所以 所以.故选：C 【变式1-3】 （23-24高三·天津西青·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线的方程为      ②线段的长为 ③的最小值是2                                  ④从点向圆引切线，切线长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①将两圆方程作差后整理即可得到公共弦的方程；②利用弦长公式求解；③依据时取得最小值进行求解；④依据时由P向圆作切线所得切线长最小进行求解. 【详解】对于①，直线AB的方程为， 整理得，故①正确； 对于②，圆O的圆心到直线AB的距离，圆O的半径， 所以，故②错误； 对于③，圆M的方程可化为，圆心，半径. 圆心M到直线l的距离， 当时取得最小值，此时，故③正确； 对于④，从点P向圆M引切线，设其中一个切点为D， 则切线，所以当最小时，切线长最短. 由③可知，故，故④正确.故选：C 题型13 圆型“将军饮马”求范围最值 【典例1-1】 （2021·全国·专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案. 【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)． 若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋； 若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋． ②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图， 连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2， 所以．因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则， 所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|， 所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．因为B(1，1)，K(－2，0)， 所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝． 又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．故选：C 【典例1-2】 （23-24高三·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设，令，则，所以，则，即，又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为.故选：C 【变式1-1】 （21-22高三·湖南益阳·模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可. 【详解】设，，所以，由， 所以，因为且，所以， 整理可得，又动点M的轨迹是，所以， 解得，所以，又，所以， 因为，所以的最小值， 当M在位置或时等号成立.故选：D 【变式1-2】 （22-23高三·江苏·模拟）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆的方程、可知，从而得到，进而根据比例关系得到，将问题转化为求解的最小值的问题，可知当为线段与圆的交点时，取最小值，两点间距离公式求得即为所求最小值. 【详解】为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示， ，，         ，即    又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号），即的最小值为 本题正确选项： 【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将转化为，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题. 【变式1-3】 （21-22高三·浙江·阶段练习）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知圆：，在坐标系中找到，应用三角线相似将转化到，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可. 【详解】由题设，知：且，即圆的半径为4， ∴圆：，   如上图，坐标系中则，∴，即△△，故， ∴，在△中， ∴要使最大，共线且最大值为的长度. ∴.故选：A 【点睛】关键点点睛：首先求出圆方程，找到定点使，进而将转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值. 题型14 角度型 【典例1-1】 （23-24高三·安徽合肥·模拟）已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得的轨迹方程为，即可根据相切求解最值. 【详解】由题意知圆的方程为，设，， 则,所以,又在圆上，所以， 即，即的轨迹方程为.如图所示， 当与圆相切时，取得最大值， 此时，，所以的最大值为. 故选:A 【典例1-2】 （22-23·河北石家庄·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，利用，先求出,再根据,即可求出双曲线离心率的取值范围. 【详解】设右焦点为,，令，,则,, 因为点M关于原点O的对称点为N,,, ═,， ,═,═， ，,,, ，. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法,是中档题,解题时注意三角函数性质的灵活运用. 【变式1-1】 （22-23·广西南宁·阶段练习）已知双曲线的左焦点分，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由圆的性质及直角三角形的边角关系得出，结合双曲线的定义及正弦函数的性质即可得出该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由题意，得点也在双曲线上，且，设双曲线的右焦点为 根据双曲线的定义： 又因为，所以 因为是斜边上的中点，所以 设，则，所以 以因为，所以 所以所以故选：C． 【点睛】本题主要考查了求双曲线离心率的取值范围，涉及正弦函数的性质，属于中档题. 【变式1-2】 （2021·全国·模拟预测）知直线，圆，若在直线上存在一点，使得过点作圆的切线，(点A，为切点)，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的标准方程得圆心，，连接，，，再由条件得点到直线的距离，根据点到直线的距离公式可求得范围. 【详解】圆，圆心，，连接，， 则，，， ，， ，要使直线上存在一点，使其满足条件，只需点到直线的距离， ，. 故选:D. 【点睛】关键点点睛：在解决直线与圆的位置关系相关问题，关键在于利用直线与圆相切、相交、相离时的几何性质，可以较容易地解决问题. 【变式1-3】 （24-25·河北沧州·阶段练习）已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解. 【详解】如图，过点向圆引两条切线，切点分别为， 则与分别为的最大､最小角，设， 由，可得，由可知, 所以.故选：D. 冲高考 1．（24-25 ·江西赣州·模拟）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】依题意求出的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即， 所以的反函数为. 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以当与垂直时，取得最小值为4， 因此两点到的距离都为2. 过点作切线平行于直线，斜率为1，由，得， 可得，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 2．（24-25·江苏·阶段练习）已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设的中点为，设，由，知，结合勾股定理化简整理得点的轨迹方程；设与圆交于点，取的中点，利用三角形相似得到，求解即可. 【详解】由题知，圆的半径，，圆的半径， 设的中点为，连接，所以， 因为，，所以四边形为矩形，则为的中点，且， 设，则，所以，因为，所以， 所以，即， 整理得，所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 因为，所以，设与圆交于点，取的中点，连接，则，， 在和中，且， 所以与相似，所以，即， 所以，当且仅当三点共线且垂直于轴时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据已知条件得到点的轨迹为圆，其次在于构造三角形相似，从而得到. 3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出抛物线焦点坐标为，由抛物线定义得到，数形结合当三点共线时，取得最小值，最小值为，的最小值即为的最小值，将图形整体向上平移两个单位，等价于在圆上找到点，使得取得最小值，结合三角换元即可求解. 【详解】的焦点坐标为，为抛物线的准线， 故，则，连接，与交于点，即当三点共线时， 取得最小值，最小值为，的最小值即为的最小值， 为了计算的简便，先将图形整体向上平移两个单位，如下图， 其中，，原问题等价于在圆上找到点，使得取得最小值， 根据圆的对称性，不妨设在第一象限， 设，， ，设， 则，令，则， 而， 故，当时，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故， 则的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时， ；当时，的最小值为 . 【答案】 【分析】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等和勾股定理以及对称性得到点的轨迹方程，再由两点间距离公式求出，由向量数量积的坐标表示结合几何意义求出的最小值； 【详解】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等可知，不妨设点在轴上方时， 由可得，又，所以， 设圆的半径为，所以在中，，解得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆中所对应的优弧，不包括断点， 又对称性可得轴下方也满足，图形如下： 可得点的轨迹方程为， 当时，直线方程为，联立，解得， 由对称性可得，所以， 当时，设，由对称性可得，所以， 由几何意义可得表示点到原点距离的平方，所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能根据圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等的到点的轨迹方程. （20-21高三·浙江嘉兴·模拟）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，由题意，计算，，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将转化为，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值. 【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F， 与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，， 因为，所以，在中，由余弦定理得. 又由，得，即， 所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.因为 ， 当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解. （24-25高三·江苏苏州·模拟）如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】以为邻边，作矩形，则，证明出，从而得到，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，数形结合得到，得到答案. 【详解】以为邻边，作矩形，则， 由矩形性质可得，证明如下： 设， 过点分别为⊥，⊥，⊥，垂足分别为， 过点作⊥，垂足为，则， 故， ， 所以， ， ， 所以，证毕，   即，故， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以， 左边等号成立的条件为三点共线，且在之间， 右边等号成立的条件为三点共线，且在之间， 则的取值范围是故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$