特训02 圆与扇形 压轴题（六大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训02 圆与扇形 压轴题（六大题型） 目录： 题型1：选填压轴题综合 题型2：羊吃草问题 题型3：解答题—计算题综合 题型4：解答题—比与比例在圆与扇形中的应用 题型5：解答题—动态问题 题型6：解答题—不规则图形面积问题 题型1：选填压轴题综合 1．观察如图有两个同样大小的正方形，两图中阴影部分的周长和面积的关系是（    ） A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积相等 【答案】D 【分析】此题考查了面积和周长大小比较的方法，关键是找出面积和周长的求法，再比较大小． 观察图形可发现：两个正方形的面积相等；两个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，从图中可以看出两个图形阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积，所以阴影部分的面积相等．第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长再加上正方形的两条边，第二个图形中阴影部分周长是圆的周长加上正方形的一条边，所以周长不相等；据此选择． 【解析】解：由图可知，正方形相等，圆也相等，两个图形阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积，所以阴影部分的面积相等． 第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长再加上正方形的两条边，第二个图形中阴影部分周长是圆的周长加上正方形的一条边，所以周长不相等． 故选：D． 2．下列四个图案中，哪个图案的阴影部分面积与其他三个不相等（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用圆的面积，正方形的面积，扇形的面积，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【解析】设正方形的边长为2a， ∴A选项中阴影部分的面积为：； 设扇形的半径为x, ∴B选项中阴影部分的面积为：； ∴C选项中阴影部分的面积为：； ∴D选项中阴影部分的面积为：； 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的面积，圆的面积，扇形的面积，正确进行图形分割是解题的关键． 3．如图，阴影部分面积和的和是（结果保留）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，阴影部分面积的和，即长为12，宽为4的长方形面积减去空白部分面积，最左侧空白部分是半径为4的四分之一圆的面积，其余空白部分可以看做是三个同样的部分，每部分都是边长为4的正方形面积减去一个半径为4的四分之一圆的面积，从而求解． 【解析】解：由题意可得：阴影部分面积和的和是 = = =． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的面积，正确分析图形，确定阴影部分与整体的关系，数形结合思想解题是关键． 4．下列个选项中，正方形边长相同，阴影部分面积与其他三个不同的图案是（　    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【答案】B 【解析】图A阴影的面积：正方形面积−圆的面积； 图B阴影的面积：正方形的面积−对角线的一半为半圆的面积； 图C阴影的面积：正方形的面积−圆的面积； 图D阴影的面积：正方形的面积−圆的面积. 故选B. 点睛：此题考查了扇形与圆的面积的计算，对每个图形的阴影部分的面积进行分析，据此解答. 5．如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米．（结果保留，不取近似值） 【答案】 【分析】求不规则图形的面积，扇形的面积计算公式，根据不规则图形的面积长方形的面积扇形的面积，阴影部分的面积扇形面积不规则图形的面积即可求解． 【解析】解：扇形的面积：（平方厘米）， 不规则图形的面积长方形的面积扇形的面积 平方厘米， 扇形面积：（平方厘米） 阴影部分的面积扇形面积不规则图形的面积， （平方厘米）． 则图中阴影部分的面积是为平方厘米， 故答案为：． 6．如图，大圆的半径等于小圆的直径，那么图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了割补法求阴影部分面积； 如图，将大圆分成4部分，把大阴影分成了①②两部分，将①②③平移到④⑤⑥，可得阴影部分的面积占大圆面积的，问题得解． 【解析】解：如图，将大圆分成4部分，把大阴影分成了①②两部分， 由图可得，①、②和④、⑤的面积相等，③和⑥的面积相等， 将①②③平移到④⑤⑥，可得阴影部分的面积占大圆面积的， ∴图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是， 故答案为：． 7．如图，边长为4的正方形，两个半径为4的圆弧相交于点O，正方形内部空白部分与阴影部分的面积差为 【答案】 【分析】先根据图形性质判断，再分别求解空白部分的面积与阴影部分的面积，从而可得答案． 【解析】解：由题意可得： ，，，， ∴， 所以空白部分的两个扇形面积相等， 所以空白部分的面积为：， 所以阴影部分的面积为：， ∴正方形内部阴影部分与空白部分的面积差为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的面积，扇形面积的计算，熟悉图形的性质是解本题的关键． 8．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）． 【答案】1270 【分析】根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解． 【解析】解：修剪草坪的面积为：（平方米）， 因此所用的人工费为（元）， 故答案为：1270． 【点睛】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积-小圆面积=环形面积是关键． 题型2：羊吃草问题 9．一片草地上有一个木桩，把一只羊用6米长的绳子拴在木桩上，羊能吃到36π平方米的草，若把绳子延长1米，则羊能多吃到（    ）平方米的草． A．π B．13π C．49π 【答案】B 【分析】由题意可得养原来吃草的区域为半径为6的圆，绳子延长1米,则半径变成7米，然后求出圆的面积，最后减去36π即可解答． 【解析】解：由题意可得：绳子延长1米，羊吃草区域的半径为7米 则：该区域的面积为：72π=49π 羊能多吃到草的面积为：49π-36π=13π． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式，掌握运用圆的面积公式求圆的面积成为解答本题的关键． 10．如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可； （2）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可． 【解析】（1）解：假设羊绷着绳子跑，则羊能到达的区域就是最大区域的边界， 当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大区域为图中阴影部分， 则面积（平方米）， 答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米； （2）如图，当绳长为6米时，羊活动的最大区域为阴影部分， 其中分为扇形，扇形，扇形， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能根据题意画出图形，列出算式是解此题的关键． 题型3：解答题—计算题综合 11．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等． （1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距． 【答案】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm （2）cm． 【分析】（1）通过总长21cm，右侧边缘1.5cm，左侧边缘1.5cm，大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm，即可求得其余四个圆的直径． （2）相邻两圆的间距d均相等即可求得． 【解析】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm （2）依题意得，， ∴， ∴ 答：相邻两圆的间距为cm.． 12．探究圆的面积时，我们把圆面积转化为近似长方形面积，其实圆的面积还可以转化为三角形面积，如图，是一个由若干粗细一致的麻绳围成的圆形茶杯垫，沿半径剪开，展开后得到一个近似的三角形．    (1)这个三角形的底相当于圆的______，高相当于圆的______． A．半径    B．直径    C．周长    D．周长的一半 (2)如果圆的半径是r，我们也可以推导出圆形的面积公式： 圆形的面积＝三角形的面积＝______×____________． 【答案】(1)C，A (2)， 【分析】（1）根据转化过程选择即可； （2）利用（1）中的关系补充公式即可． 【解析】（1）解：由图可得，这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径， 故选：C，A； （2）解：由（1）可知，这个三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径， ∵圆的半径是r， ∴圆形的面积＝三角形的面积， 故答案为：，r，． 【点睛】本题考查对圆的面积公式的推导过程的理解，根据题意可得三角形的底相当于圆的周长，高相当于圆的半径是解题的关键． 13．【问题背景】学校运动场如图①，两端是半圆形，中间是正方形运动场，周长是257米．中间正方形的边长是多少米？（π取3．14）            (1)【分析与解答】某小组采取合作学习的方式探究此问题，以下是该小组三位同学的对话： 甲：“把运动场进行平移变换（如图②），则圆的周长正方形边长运动场周长．” 乙：“圆的周长可以看作是正方形边长的3.14倍．” 丙：“我们可以用方程的思想来解决问题！” 亲爱的同学，请你帮助他们完成解答． (2)【拓展延伸】学校计划在此运动场内部修建一条宽是5米的塑胶跑道（图③中阴影部分），每平方米塑胶跑道的造价是80元，一共需要多少元？ 【答案】(1)米 (2)一共需要125818元 【分析】（1）通过正方形周长先求出正方形边长，即圆的直径，用圆的周长正方形边长运动场周长，计算即可； （2）用圆环面积两个长方形面积，求出塑胶跑道面积，再乘每平方米造价即可． 【解析】（1）解：（米）； （2）（米）； （米）； （平方米）； （元）． 答：一共需要125818元． 【点睛】本题考查了组合图形的周长和面积，圆环面积． 题型4：解答题—比与比例在圆与扇形中的应用 14．下图是亚冬会设计的主会场平面图，它由三个同心圆组成．其中最小圆半径与最大圆半径的比是，中圆半径与最小圆半径的比是，已知最大圆周长为．（π取3） (1)求舞台的半径多少米? (2)若通道内侧（沿中圆周长）每隔6米站一个安全疏散管理员，求需要安排几个人做安全疏散管理员? (3)图中舞台面积是南看台与北看台面积之和的，要在南北看台安置座椅，每个座椅大约，求这个主会场最多可以容纳多少观众? 【答案】(1)25米 (2)70名 (3)30000人 【分析】本题考查比的应用，分数的运算，圆的面积和周长．掌握圆的面积和周长公式是解题关键． （1）由题意可求出最大圆半径，再根据最小圆半径与最大圆半径的比可求出最小圆半径； （2）根据中圆半径与最小圆半径的比，可求出中圆半径，进而即可求解； （3）根据圆的面积公式可求出舞台面积，从而可求出南看台与北看台面积之和，进而即可求解． 【解析】（1）解：最大圆半径， 因为最小圆半径与最大圆半径的比是， 所以； （2）解：由（1）可知最小圆半径为， 因为中圆半径与最小圆半径的比是， 所以中圆半径， 所以中圆的周长， 人， 答：需要安排70人做安全疏散管理员； （3）解：舞台面积， 所以南看台与北看台面积之和为， 人． 答：这个主会场最多可以容30000人 15．圆形是自然界中最完美的形状之一，具有独特的美感和魅力，它通过一种简单的方式展现了和谐和平衡．小红同学在学习了圆之后，设计了一个以圆为主体的图案，如图所示，它是由三个圆组成，其中最小圆半径与最大圆半径的比是，中圆半径与最小圆半径的比是，已知最大圆的周长为．（取） (1)求中圆的半径； (2)图中分别用红色、黄色、蓝色填涂阴影部分，其中蓝色部分面积是红色部分面积与黄色部分面积之和的，红色部分面积是黄色部分面积的，分别求红色部分面积和黄色部分面积； (3)为了使图案更加精美，小红在空白区域内镶嵌银色水钻，每平方厘米所需银色水钻的原价是元，购买时正赶上商家促销，每平方厘米现价比原价少，求小红购买银色水钻花了多少钱？ 【答案】(1)中圆半径为 (2)红色部分面积为，黄色部分面积为 (3) 【分析】本题考查了圆的周长以及面积公式，分数的混合运算； （1）先根据周长公式求得圆的半径，根据比例的性质求得中圆的半径，即可求解； （2）先求得红色部分面积与黄色部分面积之和，进而根据红色部分面积是黄色部分面积的，列出算式求得黄色部分面积与红色面积即可求解； （3）先求得单价与空白部分面积，进而即可求解． 【解析】（1）解：∵最大圆的周长为． ∴大圆的半径为 ∵最小圆半径与最大圆半径的比是，中圆半径与最小圆半径的比是， ∴最小圆的半径为，中圆半径为； （2）解：蓝色部分面积是小圆的面积，即， ∵蓝色部分面积是红色部分面积与黄色部分面积之和的， ∴红色部分面积与黄色部分面积之和为， ∵红色部分面积是黄色部分面积的， ∴黄色部分面积， 红色部分面积为， 答：红色部分面积为，黄色部分面积为； （3）解：空白区域内的面积为， ， ∴小红购买银色水钻花了元， 答：小红购买银色水钻花了． 16．中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______． (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3） 【答案】(1)20π (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到360元 【分析】（1）根据圆的周长公式：c=πd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：c=πd，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【解析】（1）π×10×2=20π（米）， 答：修的花坛的周长是20π米． （2）2+3=5 20×=8（米） 20×=12（米）， 8π+12π=20π（米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）综合前两问可得，花坛的总周长为20π，修完花坛共花费20π×10=200π=600元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， 4x+（x +x）×（8-4）=20π 解得x=4， （4×4+4××4）×10=360（元）， 答：甲可以得到360元． 【点睛】此题解答关键是明确：圆的周长和直径成正比例，（3）找出等量关系列方程解答． 17．李明家的一扇门，为了达到既美观又耐用，需要让装修公司装上形状如图所示的装饰木条（也包括围成阴影部分的木条，木条的宽度忽略不计，其他部分都安装上玻璃，阴影部分是在玻璃上喷上彩色的油漆．（，单位：） (1)求这扇木门所用木条的总长度是多少厘米？ (2)求喷色部分的面积是多少平方厘米？ (3)若木门安装的玻璃按每平方米400元，涂色部分的油漆按每平方米2000元，木条按每米100元，一个门的安装费用是木条用料费用的，李明的爸爸又与装修公司讨价还价后，装修公司又给了总费用减免的优惠，李明家这扇门安装完毕共需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了圆、扇形的面积与周长．解题的关键在于正确的计算各部分的周长与面积． （1）把各部分的木条相加求解即可； （2）用割补法求解即可； （3）根据计费方式，把各部分费用相加即可． 【解析】（1）解：木门的装饰条的长为：； 答：这扇木门所用装饰条的总长度是1350厘米． （2）解：如图，由题意知， （平方厘米）． 答：喷色部分的面积是1250平方厘米． （3）解：玻璃部分费用：元， 喷色部分费用：元， 木条及安装费：元， 优惠后费用：元， 答：李明家安装这扇门共需要元． 题型5：解答题—动态问题 18．已知正方形的边长为8，圆的半径为1． （1）如图①，若圆在正方形的内侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积；（结果保留） （2）如图②，若圆在正方形的外侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积．（结果保留） 【答案】（1）路程为24，面积为；（2）路程为，面积为 【分析】（1）如图①，圆心经过的路程，就是边长为6的正方形的周长；圆滚动一周，滚不到的面积（阴影部分）是四周的角以及中间的一个小正方形，四周的角合起来相当于一个边长为2的正方形减去一个半径为1的圆的面积，中间小正方形的边长为，然后用大的正方形面积减去滚动不到的面积，即可解得； （2）如图②，圆形经过的路程，是四周的角和四条长度为8的线段组成的图形的周长，四个角合起来相当于一个半径为1的圆的周长，然后求和即可解得； 如图③，圆滚动一周，扫过的面积（阴影部分）是四周的角以及四个长方形组成，四周的角合起来相当于一个半径2的圆的面积，四个长方形的边长是长为8和宽为2，然后将两部分面积求和，即可解得； 【解析】（1）如图①，圆心经过的路程= 大的正方形面积= 中间小的正方形面积= 四周角的面积= 则圆扫过区域的面积= （2）如图②，圆心经过的路程= 如图③，圆扫过区域的面积= 【点睛】本题主要考查正方形和圆的组合图形的周长和面积的计算，解题的关键是弄清楚圆心经过的图形的形状和圆滚动的地方由哪几部分组成． 19．如下图，是一个电动玩具，它是由一个的长方形盘（单位：）和一个半径为的小圆盘（盘中画有娃娃脸）组成的，它们的连接点为，．如果小圆盘沿着长方形内壁，从点出发按逆时针方向不停地滚动（无滑动），直到回到原来的位置．    （1）请你计算一下，小圆盘中的娃娃脸在，，的位置是怎样的？请画出示意图； （2）小圆盘共自转了几圈？ （3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积． 【答案】（1）见解析；（2）3圈；（3）． 【分析】（1）求小圆盘从A到B到C再到D，这些过程滚过的路程长，看小圆盘转动了几圈，画出对应的“娃娃脸”； （2）把整个过程分成四段去分析每段小圆盘自转了几圈，最后加起来； （3）确定小圆盘绕长方形滚动一周扫过的图形的形状，然后利用割补法求面积． 【解析】（1）小圆盘的周长=（cm）， 从A处到B处，小圆盘滚动的距离=（cm）， ∴小圆盘从A滚动到B刚好转一圈，那么B处的“娃娃脸”刚好和A处一样， 从B处到C处，小圆盘滚动的距离= （cm）， ∴小圆盘从B滚动到C刚好转半圈，那么C处的“娃娃脸”应该是倒过来的， 从C到D的过程和从A到B一样， 综上，小圆盘中娃娃脸的位置如图所示：    （2）根据（1）中的分析，小圆盘从A到B自转了1圈，从B到C自转了圈，从C到D自转了1圈，从D到A自转了圈，所以一共自转了3圈； （3）如图，小圆盘扫过的面积是图中阴影部分面积， 四个角上的空白部分面积和=边长是2cm的正方形面积-半径是1cm的圆的面积=（）， 中间空白长方形的面积=（）， 阴影部分面积=整体面积-空白部分面积=（）．    【点睛】本题考查的是圆的周长和面积的综合运用题，解题的关键是搞清楚题目中这个小圆盘滚动的过程，利用它的周长和面积去解决问题． 20．物体平移的速度常用单位时间内移动的矩离来表示，如汽车每小时行千米，物体旋转的速度常用单位时间内转动的圈数或角度  来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转，分针每小时转圈或每分钟转，还有电风扇每秒转圈或（每秒转圈，圈是）．我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可 以将货物从 传送到， 主动轮每秒转圈 ． (1)观察该系统，如果主动轮顺时针转，那么从动轮就会逆时针转 ． (2)这个系统把货物从 传送到， 大约要多少秒？（计算时，圆周率取） 【答案】(1)； (2)秒． 【分析】本题主要考查了圆的周长公式，对于两个互相咬合的从动轮、主动轮，从动轮的齿数从动轮转的圈数主动轮的齿数主动轮转的圈数． 由图可知，主动轮有个齿,从动轮有个齿，根据主动轮与从动轮的齿数比，从而求出转动圈数比，根据比值求出从动轮转动的度数； 根据货物从点运动到点，经过的长度为米，从动轮的周长为米，计算出从动轮需要转动，则主动轮需要转动圈，又因为主动轮每秒转动圈，可以求出需要的时间． 【解析】（1）解：从图中可以看出主动轮有个齿轮，从动轮有个齿轮， ， 当主动轮转动时，从动轮转动的度数应是， 故答案为：； （2）解：从动轮的周长为：(米)， 要把货物从 传送到，从动轮需要转(圈)， 则主动轮需要转动(圈)， 主动轮每秒转圈 ， 需要(秒)． 题型6：解答题—不规则图形面积问题 21．数学思考． 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积．（单位：平方厘米）    【答案】平方厘米 【分析】如下图所示；连接，P点为半圆周的中点，作三角形的高，则G是的中点，所以的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以的长度是15厘米，可得三角形PAB的面积是75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形的面积是平方厘米，据此列式解答即可． 【解析】解：如图，作三角形的高，连接，    所以三角形的面积：（平方厘米） 三角形的面积：（平方厘米） 所以（平方厘米） 答：空白部分的面积是平方厘米． 【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键． 22．阅读理解：对称添补法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形．原来图形的面积就是这个新图形面积的一半．例如：求图1阴影部分的面积，可以在图1下方作关于直线对称的扇形，那么图2阴影部分面积的一半就是所求阴影部分的面积． 请根据上述解题方法，解决下面的问题： 如图3，两个正方形、正方形并排放置，．以点为圆心，为半径画弧．图中，阴影部分的面积是5.7平方厘米，求正方形的面积．（取3.14） 【答案】20平方厘米 【分析】本题考查圆面积的计算．根据阅读理解的方法在下方作关于对称的扇形，根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积求解即可． 【解析】解：如图，在下方作关于对称的扇形， 则阴影部分面积平方厘米，，， 设正方形为对角线a，则面积为， ∴， 化简得， 即正方形的面积为20平方厘米． 23．正方形的边长为4厘米． (1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积． (2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积． (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积． 【答案】(1)3.44 (2)4.56 (3)4 【分析】（1）因为四边形为正方形，所以，可通过可求出阴影部分的面积；（2）如图2，连接，，交点为O，则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④，则通过可求出阴影部分的面积；（3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②，则，求出的面积即可． 【解析】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴ (平方厘米)； （2）解∶如图2，连接，，交点为O， 则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④， 则 (平方厘米)； （3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②， 则， ∵厘米， ∴（平方厘米）， ∴（平方厘米）． 【点睛】本题考查了与圆有关的计算，阴影部分的面积等，解题关键是能够将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的差或和等． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 圆与扇形 压轴题（六大题型） 目录： 题型1：选填压轴题综合 题型2：羊吃草问题 题型3：解答题—计算题综合 题型4：解答题—比与比例在圆与扇形中的应用 题型5：解答题—动态问题 题型6：解答题—不规则图形面积问题 题型1：选填压轴题综合 1．观察如图有两个同样大小的正方形，两图中阴影部分的周长和面积的关系是（    ） A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积相等 2．下列四个图案中，哪个图案的阴影部分面积与其他三个不相等（    ） A． B． C． D． 3．如图，阴影部分面积和的和是（结果保留）（    ） A． B． C． D． 4．下列个选项中，正方形边长相同，阴影部分面积与其他三个不同的图案是（　    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 5．如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米．（结果保留，不取近似值） 6．如图，大圆的半径等于小圆的直径，那么图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是 ． 7．如图，边长为4的正方形，两个半径为4的圆弧相交于点O，正方形内部空白部分与阴影部分的面积差为 8．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）． 题型2：羊吃草问题 9．一片草地上有一个木桩，把一只羊用6米长的绳子拴在木桩上，羊能吃到36π平方米的草，若把绳子延长1米，则羊能多吃到（    ）平方米的草． A．π B．13π C．49π 10．如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 题型3：解答题—计算题综合 11．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等． （1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距． 12．探究圆的面积时，我们把圆面积转化为近似长方形面积，其实圆的面积还可以转化为三角形面积，如图，是一个由若干粗细一致的麻绳围成的圆形茶杯垫，沿半径剪开，展开后得到一个近似的三角形．    (1)这个三角形的底相当于圆的______，高相当于圆的______． A．半径    B．直径    C．周长    D．周长的一半 (2)如果圆的半径是r，我们也可以推导出圆形的面积公式： 圆形的面积＝三角形的面积＝______×____________． 13．【问题背景】学校运动场如图①，两端是半圆形，中间是正方形运动场，周长是257米．中间正方形的边长是多少米？（π取3．14）            (1)【分析与解答】某小组采取合作学习的方式探究此问题，以下是该小组三位同学的对话： 甲：“把运动场进行平移变换（如图②），则圆的周长正方形边长运动场周长．” 乙：“圆的周长可以看作是正方形边长的3.14倍．” 丙：“我们可以用方程的思想来解决问题！” 亲爱的同学，请你帮助他们完成解答． (2)【拓展延伸】学校计划在此运动场内部修建一条宽是5米的塑胶跑道（图③中阴影部分），每平方米塑胶跑道的造价是80元，一共需要多少元？ 题型4：解答题—比与比例在圆与扇形中的应用 14．下图是亚冬会设计的主会场平面图，它由三个同心圆组成．其中最小圆半径与最大圆半径的比是，中圆半径与最小圆半径的比是，已知最大圆周长为．（π取3） (1)求舞台的半径多少米? (2)若通道内侧（沿中圆周长）每隔6米站一个安全疏散管理员，求需要安排几个人做安全疏散管理员? (3)图中舞台面积是南看台与北看台面积之和的，要在南北看台安置座椅，每个座椅大约，求这个主会场最多可以容纳多少观众? 15．圆形是自然界中最完美的形状之一，具有独特的美感和魅力，它通过一种简单的方式展现了和谐和平衡．小红同学在学习了圆之后，设计了一个以圆为主体的图案，如图所示，它是由三个圆组成，其中最小圆半径与最大圆半径的比是，中圆半径与最小圆半径的比是，已知最大圆的周长为．（取） (1)求中圆的半径； (2)图中分别用红色、黄色、蓝色填涂阴影部分，其中蓝色部分面积是红色部分面积与黄色部分面积之和的，红色部分面积是黄色部分面积的，分别求红色部分面积和黄色部分面积； (3)为了使图案更加精美，小红在空白区域内镶嵌银色水钻，每平方厘米所需银色水钻的原价是元，购买时正赶上商家促销，每平方厘米现价比原价少，求小红购买银色水钻花了多少钱？ 16．中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______． (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3） 17．李明家的一扇门，为了达到既美观又耐用，需要让装修公司装上形状如图所示的装饰木条（也包括围成阴影部分的木条，木条的宽度忽略不计，其他部分都安装上玻璃，阴影部分是在玻璃上喷上彩色的油漆．（，单位：） (1)求这扇木门所用木条的总长度是多少厘米？ (2)求喷色部分的面积是多少平方厘米？ (3)若木门安装的玻璃按每平方米400元，涂色部分的油漆按每平方米2000元，木条按每米100元，一个门的安装费用是木条用料费用的，李明的爸爸又与装修公司讨价还价后，装修公司又给了总费用减免的优惠，李明家这扇门安装完毕共需要多少元？ 题型5：解答题—动态问题 18．已知正方形的边长为8，圆的半径为1． （1）如图①，若圆在正方形的内侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积；（结果保留） （2）如图②，若圆在正方形的外侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积．（结果保留） 19．如下图，是一个电动玩具，它是由一个的长方形盘（单位：）和一个半径为的小圆盘（盘中画有娃娃脸）组成的，它们的连接点为，．如果小圆盘沿着长方形内壁，从点出发按逆时针方向不停地滚动（无滑动），直到回到原来的位置．    （1）请你计算一下，小圆盘中的娃娃脸在，，的位置是怎样的？请画出示意图； （2）小圆盘共自转了几圈？ （3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积． 20．物体平移的速度常用单位时间内移动的矩离来表示，如汽车每小时行千米，物体旋转的速度常用单位时间内转动的圈数或角度  来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转，分针每小时转圈或每分钟转，还有电风扇每秒转圈或（每秒转圈，圈是）．我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可 以将货物从 传送到， 主动轮每秒转圈 ． (1)观察该系统，如果主动轮顺时针转，那么从动轮就会逆时针转 ． (2)这个系统把货物从 传送到， 大约要多少秒？（计算时，圆周率取） 题型6：解答题—不规则图形面积问题 21．数学思考． 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积．（单位：平方厘米）    22．阅读理解：对称添补法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形．原来图形的面积就是这个新图形面积的一半．例如：求图1阴影部分的面积，可以在图1下方作关于直线对称的扇形，那么图2阴影部分面积的一半就是所求阴影部分的面积． 请根据上述解题方法，解决下面的问题： 如图3，两个正方形、正方形并排放置，．以点为圆心，为半径画弧．图中，阴影部分的面积是5.7平方厘米，求正方形的面积．（取3.14） 23．正方形的边长为4厘米． (1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积． (2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积． (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$