热点05 三角形的基础知识、判定和性质(17大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

热点05 三角形的基础知识、判定和性质 上海中考数学对于三角形的判定和性质，考查重点主要是全等、等腰、直角三角形的判定与性质，注重基础与综合应用结合。全等三角形以 SAS、ASA、SSS、HL为核心，常与四边形、圆结合，需灵活添加辅助线(如倍长中线、截长补短);等腰三角形侧重"等边对等角”"三线合一"性质及逆定理应用，常结合几何变换(旋转、折叠)考查分类讨论能力;直角三角形聚焦勾股定理及其逆定理，涉及坐标系距离计算、圆与直径的性质(圆周角为直角)等创新题型，强调数学建模与实际应用。备考雲强化基础定理记忆，针对全等证明、等腰分类讨论、直角三角形综合题进行专项突破，精研近5年真题几何证明与压轴题型，总结“手拉手模型”"一线三等角” 等常见模型，关注参数问题与图形运动创新考法，同时整理易错点(如全等判定条件混淆、等腰分类遗漏)，提升辅助线添加与代数几何结合能力，利用“勾股数“简化计算步骤。 考向一：三角形基础性质 【题型1 三角形的面积】 1．（2023•徐汇区模拟）如图，在中，已知，垂足为，，若是的中点，则　　． 2．（2022•松江区校级模拟）如图，在中，已知，垂足为，．若是的中点，则　　． 【题型2 三角形的重心】 中线长度与重心关系： 若中线长为，则重心到顶点的距离为，到中点的距离为。 解题技巧： 1．利用比例求线段长度： 已知中线长，直接按分配（如中线，则）。 2．坐标系中的重心问题： 直接代入坐标公式，避免复杂计算。 3．结合面积分析： 重心将三角形分成6个面积相等的小三角形（每条中线分三角形为2个面积相等的部分）。 1．（2024•长宁区二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径的取值范围是 　　． 2．（2024•崇明区二模）如图，点是的重心，的延长线交于点，过点作，交于点，则　　． 3．（2024•青浦区二模）如图，在中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 4．（2024•奉贤区二模）如图，是等腰直角三角形，，，点、分别在边、上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 　　． 【题型3 三角形三边关系】 一、核心定理（必记） 1．三角形三边关系： 任意两边之和＞第三边（如）； 任意两边之差＜第三边（如）。 二、快速应用技巧 1．判断三条线段能否组成三角形： 只需验证：较小两边之和＞最大边（无需全部验证）。 例：线段，可组成三角形。 2．已知两边求第三边范围： 设两边为，则第三边满足： 例：已知两边为5和8，则。 3．等腰三角形三边问题： 若已知两边为腰，需验证是否满足三边关系； 若已知两边为底边和一腰，直接计算第三边（腰）。 三、解题注意事项 1.“任意” 的含义：需确保所有组合都满足三边关系，避免遗漏。 2.等腰三角形的分类讨论：已知两边时，需分情况讨论哪条边是腰或底边。 3.实际问题中的限制：第三边可能需为整数或符合实际意义（如篱笆长度）。 1．（2023•宝山区二模）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是　　 A． B． C． D． 2．（2023•普陀区二模）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 　　． 考向二：全等三角形 【题型4 全等三角形的性质】 一、核心性质（必记） 1．对应边相等：全等三角形的所有对应边长度相等。 2．对应角相等：全等三角形的所有对应角角度相等。 3．对应线段相等： 对应中线，对应高，对应角平分线，对应周长，对应面积均相等。 二、快速应用技巧 1．求线段长度／角度： 若已知两三角形全等，直接利用对应边／角相等求未知量。 例：若，且，则。 2．证明线段／角相等： 通过证明两三角形全等，间接得到线段／角相等。 例：要证，可证。 3．复杂图形分解： 在组合图形中找出全等三角形，利用性质简化计算。 三、注意事项 1．对应关系： 全等符号＂＂中，对应顶点需按顺序书写（如表示）。 2．隐含条件： 公共边，公共角，对顶角等常作为全等的隐含条件。 3．避免混淆： 全等三角形性质与相似三角形性质区分（相似仅对应角相等，对应边成比例）。 1．（2024•静安区校级二模）我们把一条对角线是另一条对角线2倍的四边形叫“奇异四边形”．现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是　 　． 2．（2023•黄浦区二模）我们规定：在四边形中，是边上的一点，如果与全等，那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是 。 【题型5 全等三角形的判定与性质】 一、判定方法（必记） 1．SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2．SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 3．ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4．AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5．HL（斜边直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 口诀：边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边。 二、核心性质（直接用） 1．对应边相等：全等三角形的所有对应边长度相等。 2．对应角相等：全等三角形的所有对应角角度相等。 3．对应线段相等：对应中线，高，角平分线，周长，面积均相等。 三、解题技巧（快速得分） 1．选择判定方法： －已知三边SSS；已知两边及夹角SAS；已知两角及夹边；已知两角及一角对边 AAS；直角三角形已知斜边和直角边 。 2．利用隐含条件： －公共边，公共角，对顶角常作为全等的隐含条件（如）。 3．构造全等三角形： －添加辅助线（如中线，角平分线），构造符合判定条件的三角形。 4．全等模型识别： - 平移型：对应边平行且相等； - 旋转型：存在公共顶点，夹角相等； - 翻折型：对称轴为公共边或角平分线。 四、注意事项 1．对应顺序：全等符号＂＂中，顶点需按对应顺序书写（如表示 ）。 2．SSA 陷阱：一般三角形中，SSA 无法判定全等（可能存在两解），但直角三角形可用 HL。 3．HL 限制：仅适用于直角三角形，需先证直角。 1．（2024•宝山区校级二模）已知：如图，在中，，是边上的高．为线段上的点，以、为邻边作矩形，联结交于点，联结交于点． （1）如果，求证：四边形为正方形； （2）联结，如果，求证：四边形为矩形． 2．（2024•青浦区三模）在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 考向三：重要线段与性质 【题型6 角平分线的性质】 一、核心性质（必记） 1．基础性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 符号表示：若平分，且，则。 2．三角形角平分线定理： 三角形内角平分线分对边的比等于邻边的比。 公式：在中，若平分，则。 二、解题技巧（快速得分） 1．证明线段相等： 若某点在角平分线上，直接用性质得距离相等。 例：要证，可证在的平分线上且。 2．求线段比例： 利用三角形角平分线定理，结合已知边长求比例。 例：已知平分，则。 3．辅助线添加： －过角平分线上的点作两边的垂线，构造全等三角形。 例：在中，作和，利用角平分线性质得。 三、注意事项 性质与判定的区别： 性质：角平分线→距离相等； 判定：距离相等→点在角平分线上（逆定理）。 角平分线与中线混淆： 角平分线是射线，中线是线段，二者作用不同。 定理应用条件： 三角形角平分线定理仅适用于内角平分线，外角平分线需额外推导。 1．（2023•普陀区二模）如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是　　 A． B． C． D．点到直线的距离是1 【题型7 线段垂直平分线的性质】 一、核心性质（必记） 1．基础性质： 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。 符号表示：若是线段的垂直平分线，点在上，则。 2．逆定理： 到线段两端点距离相等的点，必在线段的垂直平分线上。 应用：判断某点是否在线段的垂直平分线上。 二、解题技巧（快速得分） 1．证明线段相等： 若某点在线段的垂直平分线上，直接得出该点到两端点距离相等。 例：要证，可证在的垂直平分线上。 2．构造垂直平分线： 已知两点，作的垂直平分线，确定其上点的位置（如等腰三角形顶点）。 3．结合全等三角形： －利用垂直平分线性质构造全等三角形（如连接垂直平分线上的点与两端点，形成等腰三角形）。 4．几何最值问题： －最短路径问题中，利用垂直平分线找对称点（如关于的对称点，则 三、注意事项 1.性质与判走的区别： 性质:垂直平分线一距离相等 判定:距离相等→点在垂直平分线上(逆定理)。 2.唯一性: 线段的垂直平分线是唯一的，且过线段中点。 3.与角平分线混淆 垂直平分线针对线段，角平分线针对角； 垂直平分线性质与角平分线性质(到两边距离相等)不同。 （2024•奉贤区二模）到线段两个端点距离相等的点的轨迹是　　． 考向四：特殊三角形 【题型8 等腰三角形的性质】 一、核心性质（必记） 1．等边对等角：两腰相等两底角相等。 2．三线合一：顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合为一条线段。 3．对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 二、快速解题技巧 1．证明角相等： 直接利用＂等边对等角＂（如）。 2．利用三线合一： 已知等腰三角形底边中点，可直接得出中线，高，角平分线重合（如是中点， 平分 。 3．构造等腰三角形： 添加辅助线（如作角平分线，垂线）构造等腰三角形，利用性质简化计算。 三、注意事项 1．分类讨论： 已知两边求第三边时，需分情况讨论哪条是腰或底边（如已知两边为5和8，第三边可能是5或8）。 2．顶角与底角区分： 顶角可能为锐角，直角或钝角，底角必为锐角（如顶角为，底角为）。 3．与等边三角形区分： 等边三角形是特殊的等腰三角形，三边相等且三角均为。 1．（2023•宝山区校级模拟）如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为和，则　．（用的代数式表示） 2．（2023•浦东新区校级模拟）已知：如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求点到的距离． 【题型9 等腰三角形的判定】 一、核心判定方法（必记） 1．定义法： 有两边相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形）。 2．判定定理： 等角对等边：若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等 二、快速应用技巧 1．已知边相等： 直接用定义判定（如等腰三角形）。 2．已知角相等： 通过角度计算或几何关系证明两角相等，再用判定定理（如平行线，全等三角形，外角定理）。 3．隐含条件挖掘： 公共边：如； 对顶角：如； 平行线性质：如内错角相等。 4．辅助线构造： 作角平分线，高线或中线，构造等腰三角形（如作平分，结合角度关系证明 三、注意事项 1．分类讨论： 已知两边时，需判断哪条边是腰或底边（如已知，第三边可能为5或8）。 2．避免误用条件： 单独的高，中线或角平分线无法直接判定等腰三角形，需结合其他条件（如＂三线合一＂）。 3．与等边三角形区分： 等边三角形需三边相等或三角均为，判定时需额外条件。 1．（2024•普陀区二模）已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是　　 A． B． C． D． 【题型10 等边三角形的性质】 一、核心公式（直接用） 1．高：（为边长）。 2．面积：。 3．内切圆半径：。 4．外接圆半径：。 二、解题技巧（快速得分） 1．求角度／边长： 直接利用等边三角形的角为或边长相等。 例：若边长为4，则高。 2．与全等／相似结合： 构造等边三角形证明线段或角度相等（如通过旋转构造全等）。 3．最值问题： 周长固定时，等边三角形面积最大（等周定理）。 三、注意事项 1．与等腰三角形区分： 等边三角形是特殊的等腰三角形，但需额外满足三边相等或三角为。 2．高的计算： 用勾股定理验证（如边长，高）。 3．实际问题应用： 如求正三角形瓷砖边长，旗帜设计等，直接代入公式。 1．（2023•杨浦区一模）如图，已知在四边形中，，，，点、分别在线段、上．如果，那么的值为 　　． 2．（2023•奉贤区一模）如果两个等边三角形的边长的比是，那么它们的周长比是 　 　． 【题型11 等腰直角三角形】 一、核心公式（直接用） 1．斜边公式：（为直角边）。 2．面积公式： （用直角边）； （用斜边）。 3．外接圆半径：。 4．内切圆半径：。 二、解题技巧（快速得分） 1．已知一边求其他边： 若已知直角边，斜边； 若已知斜边，直角边。 2．与正方形结合： 正方形对角线分割出的三角形是等腰直角三角形（如边长为的正方形，对角线长）。 3．构造辅助线： 通过旋转或构造全等三角形（如将等腰直角三角形绕直角顶点旋转）。 4．几何最值问题： 周长固定时，等腰直角三角形面积大于普通直角三角形。 三、注意事项 1．与等腰三角形区分： 等腰直角三角形需同时满足＂等腰＂和＂直角＂，缺一不可。 2．计算易错点： 斜边计算时，避免遗漏（如误将斜边写成）。 3．实际问题应用： 如求楼梯斜坡长度，等腰直角三角形旗帜面积等，直接代入公式。 1．（2025•徐汇区一模）如图，四边形中，，，，如果，，且，那么的长是 　　（用含、的式子表示）． 2．（2024•静安区校级三模）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，的值为 　　． 【题型12 直角三角形斜边上的中线】 一，核心定理（必记） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 符号表示：在中，，D是斜边AB的中点，则。 二、解题技巧（快速得分） 1．直接计算： 已知斜边长度，中线长直接取一半（如斜边，则）。 2．证明线段相等： －通过斜边上的中线构造等腰三角形（如）。 3．构造矩形： 延长中线至点E，使，则四边形ACBE为矩形。 4．结合中位线定理： 若D是AB中点，E是AC中点，则DE是中位线，且。 三、注意事项 1．适用条件： 仅适用于直角三角形，非直角三角形中无此性质。 2．与其他中线区分： 斜边上的中线是唯一与斜边相关的中线，其他两边中线无此特性。 3．逆定理应用： 若三角形一边上的中线等于该边的一半，则此三角形为直角三角形（可用于判定直角）。 （2024•虹口区二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，联结． （1）求证：； （2）联结交于点，联结交于点．如果，求证：． 考向五：勾股定理 【题型13 勾股定理】 一、核心定理（必记） 勾股定理： 内容：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。 公式：若，则（为斜边）。 二、解题技巧（快速得分） 1．求边长： 已知两边，直接代入公式求第三边（如，则）。 若遇根号，化简为最简形式（如）。 2．利用勾股数： 选择题中，快速匹配常见勾股数（如是的3倍）。 3．最短路径问题： 展开立体图形（如长方体，圆柱）为平面，用勾股定理求直线距离。 4．面积与勾股结合： 已知直角三角形面积和一边，用面积公式联立勾股定理求解。 三、注意事项 1．单位统一：计算前确保单位一致（如，则）。 2．逆定理条件：需验证最大边的平方等于另两边平方和（避免误判）。 3．斜边与直角边区分：题目未明确时，需分类讨论（如已知两边为3,4，第三边可能为5或）。 1．（2024•嘉定区二模）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形． 已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么　　． 2．（2023•浦东新区三模）平面直角坐标系中，点到原点的距离是 　　． 【题型14 勾股定理的证明】 一、核心证明逻辑（快速理解） 1．面积相等原理： 通过不同方式计算同一图形的面积，建立等式推导勾股定理。 2．代数化简： 展开平方项并合并同类项，消去中间变量（如），直接得到。 二、解题技巧（快速得分） 1．选择证明方法： 赵爽弦图：适合几何直观题，强调图形拼接。 总统证法：适合代数运算题，步骤更简洁。 2．关键表达式： 赵爽弦图：； 总统证法：。 三、注意事项 1．图形拼接细节： 赵爽弦图中，小正方形边长为，需确保。 2．代数运算符号： 展开平方项时注意符号（如。 3．逆向应用： 已知，可通过证明方法反推几何图形性质。 1．（2024•黄浦区二模）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么的正切值是 　　． 【题型15 勾股定理的应用】 一、核心应用类型（必记） 1．几何计算： 已知两边求第三边： 若为直角边，斜边； 若为斜边和一直角边，另一直角边。 2．最短路径问题： 立体图形展开：将长方体，圆柱等展开为平面图形，用勾股定理求直线距离。 例：长方体长宽高为，表面最短路径为（需比较三种展开方式）。 3．实际问题建模： 测量问题：如河宽，旗杆高度（构造直角三角形，用勾股定理求解）。 建筑问题：验证墙角是否为直角（三边为单位）。 二、解题技巧（快速得分） 1．利用勾股数： 选择题中，直接匹配常见勾股数（如），避免复杂计算。 2．分类讨论： 已知两边不确定是否为直角边时，需分情况讨论（如3,4，第三边可能为5或）。 3．与其他定理结合： 直角三角形中线：斜边中线长为斜边的一半。 面积公式：联立和求解未知量。 三、注意事项 1．单位统一：计算前确保所有长度单位一致。 2．逆定理应用： 若，则三角形为直角三角形（需验证为最大边）。 3．实际问题限制： 结果可能需取整数或符合实际意义（如篱笆长度）。 （2022•徐汇区二模）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽厘米，长厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 。 考向六：中位线定理与综合应用 【题型16 三角形中位线定理】 一、核心定理（必记） 1．内容：连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半。 2．符号表示： 若分别是的中点，则，且。 二、解题技巧（快速得分） 1．证明线段平行： 直接利用中位线定理（如）。 2．求线段长度： 已知第三边长度，中位线长直接取一半（如，则）。 3．构造中位线： 题目中出现中点时，连接中点形成中位线（如已知是中点，找中点）。 4．与平行四边形结合： 中位线与第三边形成平行四边形（如且，可补全平行四边形）。 三、注意事项 中位线与中线区分： 中位线：连接两边中点，平行于第三边； 中线：连接顶点与对边中点，不一定平行。 逆定理应用： 若某线段平行于第三边且等于其一半，则该线段是中位线（可用于判定中点）。 辅助线添加： 题目中无中点时，需通过其他条件（如全等、平行）构造中点。 1．（2024•宝山区二模）如图，街心花园有、、三座小亭子，、两亭被池塘隔开，、、三亭所在的点不共线．设、的中点分别为、．如果米，那么　　米． 2．（2024•闵行区二模）如图，在中，、上的中线、相交于点，如果，那么的值为 　． 3．（2022•黄浦区二模）如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍垂直立于水平的地面上，把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，再把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，如果、、在一条直线上，那么的值为 　　． 【题型17 三角形综合题】 一、快速解题步骤 1．读题标关键： 标记已知边，角，中点，垂直，平行等信息。 2．联想知识点： 看到＂中点＂中位线，中线，重心； 看到＂垂直＂勾股定理，直角三角形性质； 看到＂角平分线＂角平分线性质，三角形角平分线定理。 3．尝试画图： 复杂问题画出示意图，标注已知和未知量。 二、易错点与注意事项 分类讨论完整性： 等腰三角形需分顶角 / 底角、腰 / 底边； 直角三角形需明确斜边或直角边。 辅助线合理性： 添加的辅助线需符合几何定义（如中线需连接顶点与对边中点）。 单位与实际意义： 结果需符合实际（如边长为正数，时间非负）。 1．（2024•宝山区校级二模）某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆． 解决问题： （1）以城镇为出发点，设计了两种连接方案： 装①如图1，为中点）； ②如图2，为三边的垂直平分线的交点）． 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ （2）尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（1）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 2．（2023•闵行区二模）如图，在中，，，以为边作（点、在直线的异侧），且满足，． （1）求证：； （2）设点为边的中点，连接并延长交边于点，当为直角三角形时，求边的长； （3）设，，求关于函数解析式并写出定义域． 3．（2025•闵行区一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为． （1）当厘米， 在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． 在伞打开的过程中从变到，点上升了 　　厘米． （2）设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为 　　（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是 　　． （参考数据：，计算结果保留根号） （建议用时：15分钟） 1．（2022•松江区校级模拟）如图，在中，已知，垂足为，．若是的中点，则　　． 2．（2024•浦东新区二模）如图，已知中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 3．（2024•杨浦区二模）如图，已知在中，，，点是的重心，延长交边于点，以为圆心，为半径的圆分别交边、于点、． （1）求的长； （2）求的长． 4．（2023•虹口区二模）如图，在中，，，．小明根据下列步骤作图： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点； ②以点为圆心，取定长为半径作弧分别交的两边于点、； ③以点为圆心，为半径作弧，交于点； ④以点为圆心，的长为半径作弧，交前弧于点，联结并延长交的延长线于点． （1）填空： 由作图步骤①可得， 由作图步骤②③④可得 　　　　， 又因为， 所以，理由是 　　． （2）联结，求的值． 5．（2023•闵行区二模）如图，在中，，，，点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求的值． 6．（2024•浦东新区三模）如图，在中，，，点在边上（不与点，点重合），联结，点在边上，．已知点在射线上，联结交线段于点，当，且时，则　 　 7．（2023•松江区一模）如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是 　　． 8．（2025•宝山区一模）如图，已知△中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点． （1）当时，求的长； （2）当时，求值； （3）联结，如果△是直角三角形，求这时四边形的面积． 9．（2025•普陀区一模） 在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系，这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知△是“线垂”三角形，，是△的“分角”． （1）如图1，是△ 的角平分线，是△ 的中线，与相交于点．求的值． （2）在图2 中画△ 的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由． （3）在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点，点与点、、的距离分别为、、，求、、满足的等量关系． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 三角形的基础知识、判定和性质 上海中考数学对于三角形的判定和性质，考查重点主要是全等、等腰、直角三角形的判定与性质，注重基础与综合应用结合。全等三角形以 SAS、ASA、SSS、HL为核心，常与四边形、圆结合，需灵活添加辅助线(如倍长中线、截长补短);等腰三角形侧重"等边对等角”"三线合一"性质及逆定理应用，常结合几何变换(旋转、折叠)考查分类讨论能力;直角三角形聚焦勾股定理及其逆定理，涉及坐标系距离计算、圆与直径的性质(圆周角为直角)等创新题型，强调数学建模与实际应用。备考雲强化基础定理记忆，针对全等证明、等腰分类讨论、直角三角形综合题进行专项突破，精研近5年真题几何证明与压轴题型，总结“手拉手模型”"一线三等角” 等常见模型，关注参数问题与图形运动创新考法，同时整理易错点(如全等判定条件混淆、等腰分类遗漏)，提升辅助线添加与代数几何结合能力，利用“勾股数“简化计算步骤。 考向一：三角形基础性质 【题型1 三角形的面积】 1．（2023•徐汇区模拟）如图，在中，已知，垂足为，，若是的中点，则　　． 【答案】6． 【分析】设的面积为，根据三角形面积公式，利用是的中点得到，再利用得到，所以，从而得到的值． 【解答】解：设的面积为， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是关键． 2．（2022•松江区校级模拟）如图，在中，已知，垂足为，．若是的中点，则　　． 【答案】6． 【分析】设的面积为，根据三角形面积公式，利用是的中点得到，再利用得到，所以，从而得到的值． 【解答】解：设的面积为， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【题型2 三角形的重心】 中线长度与重心关系： 若中线长为，则重心到顶点的距离为，到中点的距离为。 解题技巧： 1．利用比例求线段长度： 已知中线长，直接按分配（如中线，则）。 2．坐标系中的重心问题： 直接代入坐标公式，避免复杂计算。 3．结合面积分析： 重心将三角形分成6个面积相等的小三角形（每条中线分三角形为2个面积相等的部分）。 1．（2024•长宁区二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径的取值范围是 　　． 【答案】或． 【分析】当与、相切时（切点是、，与的三边有4个公共点，连接，由，得到，即可求出，当与、分别有一个公共点，与有两个公共点时不过、两点），的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是得到当时，的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案． 【解答】解：如图， 过作于， ， ， ， 设是的重心， ， 当与、相切时（切点是、，与的三边有4个公共点， 连接， ， ， ， ， ， ， ， 重心圆的半径时，的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个， 如图， 过作于， ， ， ， 设是的重心， ， ， ， 当与、有一个公共点，与有两个公共点时不过、两点），的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个， 当时，的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个， 重心圆的半径或时，的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个， 故答案为：或． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的重心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论． 2．（2024•崇明区二模）如图，点是的重心，的延长线交于点，过点作，交于点，则　　． 【答案】． 【分析】由，得，由点是的重心，得是中点，，得的面积：的面积，故的面积：的面积的面积：的面积． 【解答】解：由， 得， 由点是的重心， 得是中点，， 得的面积：的面积， 故的面积：的面积的面积：的面积． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的重心，解题关键是找准面积的比例关系． 3．（2024•青浦区二模）如图，在中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 【答案】． 【分析】连接，由三角形重心的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到，因此，由平面向量的运算法则得到，于是得到． 【解答】解：连接， 、是的中线， 是的重心， ， ， 是的中位线， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，三角形中位线定理，关键是掌握平面向量的运算法则． 4．（2024•奉贤区二模）如图，是等腰直角三角形，，，点、分别在边、上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】连接并延长，交于，交于，由等腰直角三角形和等边三角形的对称性可知，在上，设，用表示出和的长，在根据的长小于，求出的取值范围，即可求出的取值范围． 【解答】解：连接并延长，交于，交于，如图： ，，是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 又为正三角形， 它的重心在上， ， ，， 设，则，， ， ， 在内部， ， 即， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的重心，根据等腰直角三角形和等边三角形的性质，判断出在上是本题解题的关键． 【题型3 三角形三边关系】 一、核心定理（必记） 1．三角形三边关系： 任意两边之和＞第三边（如）； 任意两边之差＜第三边（如）。 二、快速应用技巧 1．判断三条线段能否组成三角形： 只需验证：较小两边之和＞最大边（无需全部验证）。 例：线段，可组成三角形。 2．已知两边求第三边范围： 设两边为，则第三边满足： 例：已知两边为5和8，则。 3．等腰三角形三边问题： 若已知两边为腰，需验证是否满足三边关系； 若已知两边为底边和一腰，直接计算第三边（腰）。 三、解题注意事项 1.“任意” 的含义：需确保所有组合都满足三边关系，避免遗漏。 2.等腰三角形的分类讨论：已知两边时，需分情况讨论哪条边是腰或底边。 3.实际问题中的限制：第三边可能需为整数或符合实际意义（如篱笆长度）。 1．（2023•宝山区二模）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可． 【解答】解：设第三边的长度为 ，由题意得： ， 即：，只有适合， 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 2．（2023•普陀区二模）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 　　． 【分析】首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，然后再确定的值，进而可得周长． 【解答】解：设第三边长为， 两边长分别是2和3， ， 即：， 第三边长为奇数， ， 这个三角形的周长为， 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 考向二：全等三角形 【题型4 全等三角形的性质】 一、核心性质（必记） 1．对应边相等：全等三角形的所有对应边长度相等。 2．对应角相等：全等三角形的所有对应角角度相等。 3．对应线段相等： 对应中线，对应高，对应角平分线，对应周长，对应面积均相等。 二、快速应用技巧 1．求线段长度／角度： 若已知两三角形全等，直接利用对应边／角相等求未知量。 例：若，且，则。 2．证明线段／角相等： 通过证明两三角形全等，间接得到线段／角相等。 例：要证，可证。 3．复杂图形分解： 在组合图形中找出全等三角形，利用性质简化计算。 三、注意事项 1．对应关系： 全等符号＂＂中，对应顶点需按顺序书写（如表示）。 2．隐含条件： 公共边，公共角，对顶角等常作为全等的隐含条件。 3．避免混淆： 全等三角形性质与相似三角形性质区分（相似仅对应角相等，对应边成比例）。 1．（2024•静安区校级二模）我们把一条对角线是另一条对角线2倍的四边形叫“奇异四边形”．现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是　 　． 【分析】因直角边的长度为1，有可能是长直边的长度或短直角边的长度，所以需进行分两种情况计算；由全等三角形的性质，等积变换建立等量关系表示出另一直角边的长，再由勾股定量表示同一直角的长建立方程，解出方程的解，求出另一直角的长为或． 【解答】解：（1）当时，设，且， ，如图1所示： ， ，，， 是等腰三角形， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 解得：， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：或 或（舍去）， ， ； （2）当时，设，且， ，如图1所示： 同理可求得： 或， （舍去），或， ， ； 综合所述，另一条直角边的长为或， 故答案为或． 【点评】本题综合考查了全等三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，等积变换求三角的面积，解方程和分类讨论思想等相关知识，重点掌握全等三角形的性质，难点是等积变换构建方程和分类思想． 2．（2023•黄浦区二模）我们规定：在四边形中，是边上的一点，如果与全等，那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是 。 【答案】8或． 【分析】根据全等三角形的性质分两种情况求解即可． 【解答】解：四边形的“等形点”在边上， 与全等， ，， ， 如图，当时， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为：； 如图，当时， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为：， 故答案为：8或． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是解题的关键． 【题型5 全等三角形的判定与性质】 一、判定方法（必记） 1．SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 2．SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 3．ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 4．AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5．HL（斜边直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 口诀：边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边。 二、核心性质（直接用） 1．对应边相等：全等三角形的所有对应边长度相等。 2．对应角相等：全等三角形的所有对应角角度相等。 3．对应线段相等：对应中线，高，角平分线，周长，面积均相等。 三、解题技巧（快速得分） 1．选择判定方法： －已知三边SSS；已知两边及夹角SAS；已知两角及夹边；已知两角及一角对边 AAS；直角三角形已知斜边和直角边 。 2．利用隐含条件： －公共边，公共角，对顶角常作为全等的隐含条件（如）。 3．构造全等三角形： －添加辅助线（如中线，角平分线），构造符合判定条件的三角形。 4．全等模型识别： - 平移型：对应边平行且相等； - 旋转型：存在公共顶点，夹角相等； - 翻折型：对称轴为公共边或角平分线。 四、注意事项 1．对应顺序：全等符号＂＂中，顶点需按对应顺序书写（如表示 ）。 2．SSA 陷阱：一般三角形中，SSA 无法判定全等（可能存在两解），但直角三角形可用 HL。 3．HL 限制：仅适用于直角三角形，需先证直角。 1．（2024•宝山区校级二模）已知：如图，在中，，是边上的高．为线段上的点，以、为邻边作矩形，联结交于点，联结交于点． （1）如果，求证：四边形为正方形； （2）联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）通过矩形的性质得出，，证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ，， 是边上的高， ， ， 即， ， ，， ． ， 四边形是矩形 四边形是正方形； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2024•青浦区三模）在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1） ；（2）见解析． 【分析】（1）在中，由，，可得，，即得； 取的中点，连接，证明为等边三角形，得，，可得，有，故，在上截取，连接，可证，得，，有，，可得，知，，从而，． 【解答】解：（1）在中，， ，， ，， ， ； （2）证明：取的中点，连接，如图： 在中，点为斜边的中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在上截取，连接， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 考向三：重要线段与性质 【题型6 角平分线的性质】 一、核心性质（必记） 1．基础性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 符号表示：若平分，且，则。 2．三角形角平分线定理： 三角形内角平分线分对边的比等于邻边的比。 公式：在中，若平分，则。 二、解题技巧（快速得分） 1．证明线段相等： 若某点在角平分线上，直接用性质得距离相等。 例：要证，可证在的平分线上且。 2．求线段比例： 利用三角形角平分线定理，结合已知边长求比例。 例：已知平分，则。 3．辅助线添加： －过角平分线上的点作两边的垂线，构造全等三角形。 例：在中，作和，利用角平分线性质得。 三、注意事项 性质与判定的区别： 性质：角平分线→距离相等； 判定：距离相等→点在角平分线上（逆定理）。 角平分线与中线混淆： 角平分线是射线，中线是线段，二者作用不同。 定理应用条件： 三角形角平分线定理仅适用于内角平分线，外角平分线需额外推导。 1．（2023•普陀区二模）如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是　　 A． B． C． D．点到直线的距离是1 【答案】 【分析】由角平分线的定义求出，由三角形内角和定理求出的度数，由三角形内心的性质求出的度数是， 的长在变化不一定等于3，由直角三角形的性质得到，由角平分线的性质得到，得到到的距离是1． 【解答】解：作于，于， 、分别平分、， ，， ， ， 故正确； 、分别平分， 是的内心， 平分， ， ， 故正确； 的长在变化不一定等于3， 故不一定正确； ，， ， ， 到的距离是1， 故正确． 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质． 【题型7 线段垂直平分线的性质】 一、核心性质（必记） 1．基础性质： 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。 符号表示：若是线段的垂直平分线，点在上，则。 2．逆定理： 到线段两端点距离相等的点，必在线段的垂直平分线上。 应用：判断某点是否在线段的垂直平分线上。 二、解题技巧（快速得分） 1．证明线段相等： 若某点在线段的垂直平分线上，直接得出该点到两端点距离相等。 例：要证，可证在的垂直平分线上。 2．构造垂直平分线： 已知两点，作的垂直平分线，确定其上点的位置（如等腰三角形顶点）。 3．结合全等三角形： －利用垂直平分线性质构造全等三角形（如连接垂直平分线上的点与两端点，形成等腰三角形）。 4．几何最值问题： －最短路径问题中，利用垂直平分线找对称点（如关于的对称点，则 三、注意事项 1.性质与判走的区别： 性质:垂直平分线一距离相等 判定:距离相等→点在垂直平分线上(逆定理)。 2.唯一性: 线段的垂直平分线是唯一的，且过线段中点。 3.与角平分线混淆 垂直平分线针对线段，角平分线针对角； 垂直平分线性质与角平分线性质(到两边距离相等)不同。 1．（2024•奉贤区二模）到线段两个端点距离相等的点的轨迹是　　． 【分析】利用垂直平分线的判定定理可以得到答案． 【解答】解：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 到线段两个端点距离相等的点的轨迹是线段的中垂线． 故答案为：线段的中垂线． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 考向四：特殊三角形 【题型8 等腰三角形的性质】 一、核心性质（必记） 1．等边对等角：两腰相等两底角相等。 2．三线合一：顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合为一条线段。 3．对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 二、快速解题技巧 1．证明角相等： 直接利用＂等边对等角＂（如）。 2．利用三线合一： 已知等腰三角形底边中点，可直接得出中线，高，角平分线重合（如是中点， 平分 。 3．构造等腰三角形： 添加辅助线（如作角平分线，垂线）构造等腰三角形，利用性质简化计算。 三、注意事项 1．分类讨论： 已知两边求第三边时，需分情况讨论哪条是腰或底边（如已知两边为5和8，第三边可能是5或8）。 2．顶角与底角区分： 顶角可能为锐角，直角或钝角，底角必为锐角（如顶角为，底角为）。 3．与等边三角形区分： 等边三角形是特殊的等腰三角形，三边相等且三角均为。 1．（2023•宝山区校级模拟）如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为和，则　．（用的代数式表示） 【分析】分类讨论：①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，求出与的关系，②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，求出与的关系即可． 【解答】解：两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等， 腰上的高相等． ①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，， ②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，． 故答案为或． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考常考题型． 2．（2023•浦东新区校级模拟）已知：如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求点到的距离． 【分析】（1）过点作于点．根据，，，可得，，再根据三角函数即可求出的长； （2）过点作于点，根据，，可得，即，对应边成比例即可求出的长． 【解答】解：如图， （1）过点作于点． ，，， ，， 在△中，， 的垂直平分线交于点，， ，， 在△中，， ， ． （2）过点作于点， ，， ， ， ， ，，， ． 点到的距离为． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【题型9 等腰三角形的判定】 一、核心判定方法（必记） 1．定义法： 有两边相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形）。 2．判定定理： 等角对等边：若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等 二、快速应用技巧 1．已知边相等： 直接用定义判定（如等腰三角形）。 2．已知角相等： 通过角度计算或几何关系证明两角相等，再用判定定理（如平行线，全等三角形，外角定理）。 3．隐含条件挖掘： 公共边：如； 对顶角：如； 平行线性质：如内错角相等。 4．辅助线构造： 作角平分线，高线或中线，构造等腰三角形（如作平分，结合角度关系证明 三、注意事项 1．分类讨论： 已知两边时，需判断哪条边是腰或底边（如已知，第三边可能为5或8）。 2．避免误用条件： 单独的高，中线或角平分线无法直接判定等腰三角形，需结合其他条件（如＂三线合一＂）。 3．与等边三角形区分： 等边三角形需三边相等或三角均为，判定时需额外条件。 1．（2024•普陀区二模）已知中，为边上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断是等腰三角形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】．可证是的垂直平分线，可证是等腰三角形； ．由“”可证，可得，可证是等腰三角形； ．结合直角三角形的性质求出与互余，不一定相等，则不一定是等腰三角形； ．根据三角形面积公式求出，进而可证是等腰三角形． 【解答】解：如图， ，， 是的垂直平分线， ， 是等腰三角形， 故不符合题意； ，，， ， 是等腰三角形， 故不符合题意； ，且， ， 与互余，不一定相等， 不一定是等腰三角形， 故符合题意； ，， ， ， ， 是等腰三角形， 故不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟记等腰三角形的判定定理是本题的关键． 【题型10 等边三角形的性质】 一、核心公式（直接用） 1．高：（为边长）。 2．面积：。 3．内切圆半径：。 4．外接圆半径：。 二、解题技巧（快速得分） 1．求角度／边长： 直接利用等边三角形的角为或边长相等。 例：若边长为4，则高。 2．与全等／相似结合： 构造等边三角形证明线段或角度相等（如通过旋转构造全等）。 3．最值问题： 周长固定时，等边三角形面积最大（等周定理）。 三、注意事项 1．与等腰三角形区分： 等边三角形是特殊的等腰三角形，但需额外满足三边相等或三角为。 2．高的计算： 用勾股定理验证（如边长，高）。 3．实际问题应用： 如求正三角形瓷砖边长，旗帜设计等，直接代入公式。 1．（2023•杨浦区一模）如图，已知在四边形中，，，，点、分别在线段、上．如果，那么的值为 　　． 【答案】． 【分析】连接，过作于，由，，可得是等边三角形，即可得，根据，，可证，故． 【解答】解：连接，过作于，如图： ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 2．（2023•奉贤区一模）如果两个等边三角形的边长的比是，那么它们的周长比是 　 　． 【答案】． 【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定得出这两个等边三角形相似，再根据相似三角形的性质得出答案即可． 【解答】解：两个三角形都是等边三角形， 这两个等边三角形的角都是， 这两个等边三角形相似，相似比为， 两个等边三角形的边长的比是， 它们的周长比是． 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记等边三角形的性质和相似三角形的性质和判定是解此题的关键． 【题型11 等腰直角三角形】 一、核心公式（直接用） 1．斜边公式：（为直角边）。 2．面积公式： （用直角边）； （用斜边）。 3．外接圆半径：。 4．内切圆半径：。 二、解题技巧（快速得分） 1．已知一边求其他边： 若已知直角边，斜边； 若已知斜边，直角边。 2．与正方形结合： 正方形对角线分割出的三角形是等腰直角三角形（如边长为的正方形，对角线长）。 3．构造辅助线： 通过旋转或构造全等三角形（如将等腰直角三角形绕直角顶点旋转）。 4．几何最值问题： 周长固定时，等腰直角三角形面积大于普通直角三角形。 三、注意事项 1．与等腰三角形区分： 等腰直角三角形需同时满足＂等腰＂和＂直角＂，缺一不可。 2．计算易错点： 斜边计算时，避免遗漏（如误将斜边写成）。 3．实际问题应用： 如求楼梯斜坡长度，等腰直角三角形旗帜面积等，直接代入公式。 1．（2025•徐汇区一模）如图，四边形中，，，，如果，，且，那么的长是 　　（用含、的式子表示）． 【答案】． 【分析】作△的外接圆，过点作交的延长线于点，则点在△的外接圆上，根据，得，则，由此得△是等腰直角三角形，设，则，，然后在△中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【解答】解：作△的外接圆，过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， 是△外接圆的直径， ， ， 点在△的外接圆上， ， ， ， △是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 在△中，，，且， 由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ，（不合题意，舍去）， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 2．（2024•静安区校级三模）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，的值为 　　． 【答案】． 【分析】由题意知，等腰分①，②，两种情形求解作答即可． 【解答】解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”， 和为等腰三角形． ， 等腰分①，②，两种情形求解； ①当时，如图1，作于， ， 为等边三角形， ， ， ， ，，即，， ， ， ； ②当时，如图2，过点作于，作，交的延长线于点， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理①，， 综上，， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，解直角三角形等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 【题型12 直角三角形斜边上的中线】 一，核心定理（必记） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 符号表示：在中，，D是斜边AB的中点，则。 二、解题技巧（快速得分） 1．直接计算： 已知斜边长度，中线长直接取一半（如斜边，则）。 2．证明线段相等： －通过斜边上的中线构造等腰三角形（如）。 3．构造矩形： 延长中线至点E，使，则四边形ACBE为矩形。 4．结合中位线定理： 若D是AB中点，E是AC中点，则DE是中位线，且。 三、注意事项 1．适用条件： 仅适用于直角三角形，非直角三角形中无此性质。 2．与其他中线区分： 斜边上的中线是唯一与斜边相关的中线，其他两边中线无此特性。 3．逆定理应用： 若三角形一边上的中线等于该边的一半，则此三角形为直角三角形（可用于判定直角）。 1.（2024•虹口区二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，联结． （1）求证：； （2）联结交于点，联结交于点．如果，求证：． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可解决问题． （2）令长为，根据，得出它们的正切值也相等，进而可用表示出，最后再利用相似三角形及勾股定理，用分别表示出和即可解决问题． 【解答】证明：（1），， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形， ， 即． （2）如图所示， 四边形是平行四边形， ，． 令， ， ， ． ， ， ， 则． ， ， ． 在中， ， ， ． 在中， ， ， 即． 【点评】本题考查平行线的性质及矩形的判定和性质，熟知矩形的判定和性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 考向五：勾股定理 【题型13 勾股定理】 一、核心定理（必记） 勾股定理： 内容：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。 公式：若，则（为斜边）。 二、解题技巧（快速得分） 1．求边长： 已知两边，直接代入公式求第三边（如，则）。 若遇根号，化简为最简形式（如）。 2．利用勾股数： 选择题中，快速匹配常见勾股数（如是的3倍）。 3．最短路径问题： 展开立体图形（如长方体，圆柱）为平面，用勾股定理求直线距离。 4．面积与勾股结合： 已知直角三角形面积和一边，用面积公式联立勾股定理求解。 三、注意事项 1．单位统一：计算前确保单位一致（如，则）。 2．逆定理条件：需验证最大边的平方等于另两边平方和（避免误判）。 3．斜边与直角边区分：题目未明确时，需分类讨论（如已知两边为3,4，第三边可能为5或）。 1．（2024•嘉定区二模）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形． 已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么　　． 【答案】或． 【分析】先求出，根据是准直角三角形，分两种情况讨论：①当时，过点作于，证为的平分线得，证和全等得，则，，在中由勾股定理求出即可；②当时，证，则，在中，在中，由此可得的长． 【解答】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 是准直角三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，如图1所示： ， 又， ， 即为的平分线， ，于， ， 设， 在和中， ， ， ， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； ②当时，如图2所示： ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 综上所述：或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了勾股定理，角平分线性质，解直角三角形，正确理解准直角三角形的定义，并进行分类讨论，熟练掌握勾股定理，角平分线性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 2．（2023•浦东新区三模）平面直角坐标系中，点到原点的距离是 　　． 【答案】13． 【分析】根据点到坐标轴的距离和勾股定理求解即可． 【解答】解：点坐标为， 点到原点的距离为：， 故答案为：13． 【点评】本题考查勾股定理，两点间的距离公式，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 【题型14 勾股定理的证明】 一、核心证明逻辑（快速理解） 1．面积相等原理： 通过不同方式计算同一图形的面积，建立等式推导勾股定理。 2．代数化简： 展开平方项并合并同类项，消去中间变量（如），直接得到。 二、解题技巧（快速得分） 1．选择证明方法： 赵爽弦图：适合几何直观题，强调图形拼接。 总统证法：适合代数运算题，步骤更简洁。 2．关键表达式： 赵爽弦图：； 总统证法：。 三、注意事项 1．图形拼接细节： 赵爽弦图中，小正方形边长为，需确保。 2．代数运算符号： 展开平方项时注意符号（如。 3．逆向应用： 已知，可通过证明方法反推几何图形性质。 1．（2024•黄浦区二模）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么的正切值是 　　． 【答案】． 【分析】设，，并用，表示出正方形的面积和正方形面积，再列方程求出的值，即可解决问题． 【解答】解：设，， 则正方形面积， 正方形的面积， 正方形的面积是正方形面积的一半， ， 整理，得， ， ， 解得（舍去），， ． 【点评】本题考查赵爽弦图，勾股定理，一元二次方程的解法，三角函数，能灵活运相关知识和一元二次方程的解法求出，间的关系是解题的关键． 【题型15 勾股定理的应用】 一、核心应用类型（必记） 1．几何计算： 已知两边求第三边： 若为直角边，斜边； 若为斜边和一直角边，另一直角边。 2．最短路径问题： 立体图形展开：将长方体，圆柱等展开为平面图形，用勾股定理求直线距离。 例：长方体长宽高为，表面最短路径为（需比较三种展开方式）。 3．实际问题建模： 测量问题：如河宽，旗杆高度（构造直角三角形，用勾股定理求解）。 建筑问题：验证墙角是否为直角（三边为单位）。 二、解题技巧（快速得分） 1．利用勾股数： 选择题中，直接匹配常见勾股数（如），避免复杂计算。 2．分类讨论： 已知两边不确定是否为直角边时，需分情况讨论（如3,4，第三边可能为5或）。 3．与其他定理结合： 直角三角形中线：斜边中线长为斜边的一半。 面积公式：联立和求解未知量。 三、注意事项 1．单位统一：计算前确保所有长度单位一致。 2．逆定理应用： 若，则三角形为直角三角形（需验证为最大边）。 3．实际问题限制： 结果可能需取整数或符合实际意义（如篱笆长度）。 （2022•徐汇区二模）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽厘米，长厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 。 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：如图所示：作于点， 由题意可得，，， 故， 可得：，， 故， ， ， 解得：． 故答案为：9.6． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键． 考向六：中位线定理与综合应用 【题型16 三角形中位线定理】 一、核心定理（必记） 1．内容：连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半。 2．符号表示： 若分别是的中点，则，且。 二、解题技巧（快速得分） 1．证明线段平行： 直接利用中位线定理（如）。 2．求线段长度： 已知第三边长度，中位线长直接取一半（如，则）。 3．构造中位线： 题目中出现中点时，连接中点形成中位线（如已知是中点，找中点）。 4．与平行四边形结合： 中位线与第三边形成平行四边形（如且，可补全平行四边形）。 三、注意事项 中位线与中线区分： 中位线：连接两边中点，平行于第三边； 中线：连接顶点与对边中点，不一定平行。 逆定理应用： 若某线段平行于第三边且等于其一半，则该线段是中位线（可用于判定中点）。 辅助线添加： 题目中无中点时，需通过其他条件（如全等、平行）构造中点。 1．（2024•宝山区二模）如图，街心花园有、、三座小亭子，、两亭被池塘隔开，、、三亭所在的点不共线．设、的中点分别为、．如果米，那么　　米． 【答案】6． 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：点、分别为、的中点， 是的中位线， （米， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．（2024•闵行区二模）如图，在中，、上的中线、相交于点，如果，那么的值为 　． 【答案】． 【分析】连接，根据已知条件得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，，于是得到结论． 【解答】解：连接， 、上的中线、相交于点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3．（2022•黄浦区二模）如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍垂直立于水平的地面上，把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，再把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，如果、、在一条直线上，那么的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求出，计算即可． 【解答】解：设木棍的长度为， 点是的中点， ， ， 在中，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，用表示出、是解题的关键． 【题型17 三角形综合题】 一、快速解题步骤 1．读题标关键： 标记已知边，角，中点，垂直，平行等信息。 2．联想知识点： 看到＂中点＂中位线，中线，重心； 看到＂垂直＂勾股定理，直角三角形性质； 看到＂角平分线＂角平分线性质，三角形角平分线定理。 3．尝试画图： 复杂问题画出示意图，标注已知和未知量。 二、易错点与注意事项 分类讨论完整性： 等腰三角形需分顶角 / 底角、腰 / 底边； 直角三角形需明确斜边或直角边。 辅助线合理性： 添加的辅助线需符合几何定义（如中线需连接顶点与对边中点）。 单位与实际意义： 结果需符合实际（如边长为正数，时间非负）。 1．（2024•宝山区校级二模）某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆． 解决问题： （1）以城镇为出发点，设计了两种连接方案： 装①如图1，为中点）； ②如图2，为三边的垂直平分线的交点）． 请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ （2）尺规作图： 请在备用图中用尺规作图画出（1）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）方案②铺设方案好； （2）如图见解答． 【分析】（1）如图1所示，在中，根据勾股定理得：，则铺设的通讯电缆长为；如图2所示同理可得：铺设的通讯电缆长为，即可求解； （2）如图，分别作、的中垂线，交点即为点即可． 【解答】解：（1）设等边三角形的边长为， 如图1所示，为等边三角形，， 为的中点，即， 在中，根据勾股定理得：， 则铺设的通讯电缆长为； 如图2所示，为等边三角形，且为三角形三条高的交点， ，则，， 故， 解得：， 则， 则铺设的通讯电缆长为， ， 则方案②铺设方案好； （2）如图，分别作、的中垂线，交点即为点． 【点评】此题考查了作图应用与设计作图，等边三角形的性质以及勾股定理，是一道方案型试题，分别表示出两个图形通讯电缆的长度是解本题的关键． 2．（2023•闵行区二模）如图，在中，，，以为边作（点、在直线的异侧），且满足，． （1）求证：； （2）设点为边的中点，连接并延长交边于点，当为直角三角形时，求边的长； （3）设，，求关于函数解析式并写出定义域． 【答案】（1）证明见解析； （2）或； （3），． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可知，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意可分两种情况：①当时，②当时，然后分别画出图形，进而根据含30度直角三角形的性质及三角函数可进行求解； （3）过点作于点，交于点，过点作于点，由题意易得，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：由题意可分：①当时， 点为边的中点，且， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在上取一点，使得， ， ， ， ，， ， ； ②当时， 过点作于点， ，， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， 点为边的中点， ， ， ， ； 综上所述：当为直角三角形时，或； （3）解：过点作于点，交于点，过点作于点，如图所示： 由（1）可知， ， ，， ，， ， ，即， ，，，， ，， ，， ，， ，， ， 由（1）知， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 是斜边， ，即． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 3．（2025•闵行区一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为． （1）当厘米， 在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． 在伞打开的过程中从变到，点上升了 　　厘米． （2）设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为 　　（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是 　　． （参考数据：，计算结果保留根号） 【答案】（1）；； （2）；增大主伞骨的长度． 【分析】（1）连接，由题意得：，根据三角函数求出的长度，再利用△△，求出的长； 分别求出时和时的长度，作差即可得到点上升的高度； （2）用和表示的长度，即可得到的长；如可以通过增大主伞骨的长度，来增大遮阳伞遮住地面的长． 【解答】解：（1）连接，由题意得：， ，， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ； 当时，， 当时，， 上升的高度为：， 故答案为：； （2），， 四边形是平行四边形， ； 如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，我的建议是增大主伞骨的长度， 故答案为：；增大主伞骨的长度． 【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形等，掌握解直角三角形是解题的关键． （建议用时：15分钟） 1．（2022•松江区校级模拟）如图，在中，已知，垂足为，．若是的中点，则　　． 【答案】6． 【分析】设的面积为，根据三角形面积公式，利用是的中点得到，再利用得到，所以，从而得到的值． 【解答】解：设的面积为， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 2．（2024•浦东新区二模）如图，已知中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 【答案】． 【分析】根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得到结果． 【解答】解：中线、交于点， ，， ， ，即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的重心等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握及灵活运用． 3．（2024•杨浦区二模）如图，已知在中，，，点是的重心，延长交边于点，以为圆心，为半径的圆分别交边、于点、． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）4； （2）． 【分析】（1）由重心的性质得到是中点，，由锐角的余弦求出，由勾股定理求出，得到； （2）连接，过作于，由等腰三角形的性质得到，由锐角的余弦求出的长，即可得到的长，即可得到的长． 【解答】解：（1）是的重心， 是中点，， ， ， ，， ， ， ； （2）连接，过作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的重心，关键是由重心的性质得到，由锐角的余弦求出的长． 4．（2023•虹口区二模）如图，在中，，，．小明根据下列步骤作图： ①以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点； ②以点为圆心，取定长为半径作弧分别交的两边于点、； ③以点为圆心，为半径作弧，交于点； ④以点为圆心，的长为半径作弧，交前弧于点，联结并延长交的延长线于点． （1）填空： 由作图步骤①可得， 由作图步骤②③④可得 　　　　， 又因为， 所以，理由是 　　． （2）联结，求的值． 【答案】（1），，； （2）的值是． 【分析】（1）由作图得，，而，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，于是得到问题的答案； （2）作于点，由（1）得，，则，，所以，则，由勾股定理得，则，，可求得，所以． 【解答】解：（1）由作图步骤①可得， 由作图步骤②③④可得， 又因为， 所以，理由是， 故答案为：，，． （2）作于点，则， 由（1）得，， ，， ， ， ， ，， ， ， 的值是． 【点评】此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（2023•闵行区二模）如图，在中，，，，点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由勾股定理可求得斜边，再由斜边中线可得长度． （2）通过相似三角形得到比例，求出长度，再通过勾股定理求出长度，再计算比值即可． 【解答】解：（1）， 中，代入，， 得， 为的中点，， ， （2）解法 为的中点，， ， ， 又，， ， ， ， ， 中， ． 解法 与中， 设得， 解得， ． 【点评】本题考查几何图形中长度的计算，相似三角形，主要利用勾股定理进行长度关系计算，可以设元列勾股方程或结合相似计算，通常几何长度的求解可采用3中方法（勾股、相似、面积法），常考直角三角形和含有特殊角度的图形．在计算中灵活利用勾股定理是解题的关键． 6．（2024•浦东新区三模）如图，在中，，，点在边上（不与点，点重合），联结，点在边上，．已知点在射线上，联结交线段于点，当，且时，则　 　 【答案】或． 【分析】根据点在射线上，，有以下两种情况：①当点在线段上时，过点作交延长线于，则，过点作于，证四边形为矩形得，证和全等得，再证得，则，进而得，，然后证得，由此可得的值；②当点在的延长线上时，过点作交延长线于，则，同理可证，，，则，，，由此得，则，由此可得的值，综上所述即可得出答案． 【解答】解：点在射线上，， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，过点作交延长线于，过点作于，如图1所示： ， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ，， ，， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在的延长线上时，过点作交延长线于，如图2所示： 则， 同理可证：，，， ，，， ， ， ， 综上所述：或． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造等腰三角形和相似三角形． 7．（2023•松江区一模）如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是 　　． 【答案】2． 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，再利用线段垂直平分线的性质可得答案． 【解答】解：取的中点，连接， 点为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 垂直平分， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造三角形中位线是解题的关键． 8．（2025•宝山区一模）如图，已知△中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点． （1）当时，求的长； （2）当时，求值； （3）联结，如果△是直角三角形，求这时四边形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）过作，垂足为点，利用等角的三角函数值相等可得，，设，则，，所以，求出值，再利用勾股定理求出即可； （2）同（1）思路，证△△，即可得解； （3）分两种情况讨论，为直角或为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可． 【解答】解：（1）过作，垂足为点，则， ， ， ，， ， ，即， ， 设，则，， 在△中，， ， ， ； （2）过作，垂足为点， 由（1）知，， ，， △△， ，， ， ， ， ； （3）①当时，如图， 此时， ， 设，则， ， ， ， ，， △△， ，即， 解得， ， ， ； ②当时，如图， ，， △△， ，即， 同理△△，得， ，即， 又， ， ， 设，则， ， ， 解得， ； 综上，四边形的面积为或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，最后一问识别射影定理是解题关键． 9．（2025•普陀区一模） 在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系，这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知△是“线垂”三角形，，是△的“分角”． （1）如图1，是△ 的角平分线，是△ 的中线，与相交于点．求的值． （2）在图2 中画△ 的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由． （3）在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点，点与点、、的距离分别为、、，求、、满足的等量关系． 【答案】（1）的值等于3； （2）详见解析； （3）． 【分析】（1）过点作，交于点，由题易得，，进而推出，进而得解； （2）根据“线垂”三角形的定义构造邻边之比即可得解； （3）依题意作出角平分线，导角证边可得，作倍长中线：延长至点，使，联结，易证△△，进而利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）过点作，交于点， 由是“线垂”三角形的“分角”， ， 可知， 是△ 的中线， ， ， 是△的角平分线， ， ， ，， ， 的值等于3； （2）在边上取点，使，联结，那么△是“线垂三角形”， 是“分角”； 可得， 为公共角， △△， ， △也是“线垂三角形”， 是“分角”； （3）作和的平分线，交点为，联结，延长，交边于点， 可得， 又，， ， ， ，，， 延长至点，使，联结， 在△和△中， ， △△， ，， 在△中，由勾股定理得， 即． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的三条重要线段、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$