热点04 二次函数(11大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

热点04 二次函数 上海卷注重基础与综合能力结合，常以抛物线为载体，融合几何图形(如三角形、四边形)，突出数形结合与分类讨论思想。近年创新题型涌现，如参数讨论、图形变换(平移、轴对称)，压轴题常涉及存在性问题(如等腰三角形、平行四边形)，并融入生活实际背量(如科技产业、数据统计)，强化数学应用价值。 备考策略与方法 1.基础强化:熟记顶点式、对称轴公式，掌握待定系数法与配方法，强化图像平移规律。 2专题突破:针对上海高频考点(如几何存在性问题、相似三角形)，总结反射法、代数法解题模板;关注参 数问题，提升代数式化简能力。 3.真题精研:精做近5年上海中考及模考真题，重点突破第 24、25 题压轴题型，分析图形运动与二次函数结2合的命题规律。 4.错题整理:建立几何存在性问题分类讨论清单(如等腰三角形的三种情况)，强化步骤规范性，避免计算错误与定义域忽略。 5.限时训练:模拟上海卷压轴题难度，提升解题速度与准确性，注重几何条件与函数表达式的转化(如角相等、线段比例关系)。 考向一：基础概念与图象性质 【题型1 二次函数的定义】 一、核心考点（直接用） 1．判断函数类型： 若最高次数为2且，则为二次函数。 注意隐藏形式（如或）。 2．求参数值： 已知函数为二次函数时，通过条件排除参数干扰。 若题目给出某点坐标，代入解析式求。 二、解题技巧（快速得分） 1．快速判断： 观察表达式中是否存在项且系数非零。 排除含，分式等非二次项的干扰。 2．定义域陷阱： 若题目限定范围（如），仍属二次函数，但需注意实际意义。 三、注意事项 二次项系数非零：是定义的关键，易被忽略。 与一次函数区分：当且 时，函数退化为一次函数。 1．下列函数中，关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．下列关于的函数中，一定是二次函数的是　　 A． B． C． D． 3．下列函数中，一定是二次函数的是　　 A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 【题型2 二次函数的图象】 一、核心公式与图象关系（直接用） 1．与轴交点：（为常数项）。 2．与轴交点：解方程，判别式： ：两个交点； ：一个交点（顶点在轴上）； ：无交点。 二、解题技巧（快速得分） 1．快速画草图： 确定开口方向（的符号）； 标出顶点和对称轴； 描出与轴交点，若有实数根再描轴交点。 2．判断系数符号： ：开口方向； ：对称轴位置（左同右异：对称轴在轴左侧时，与同号）； ：与轴交点纵坐标。 3．平移变换： 由平移得到，＂左加右减，上加下减＂。 三、注意陷阱 对称轴符号：对称轴公式为，注意负号。 顶点纵坐标：，计算时易出错。 与一次函数混淆：当 时为直线，需排除。 1．（2022•上海模拟）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是　　 A． B． C． D． 2．（2022•长宁区二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【题型3 二次函数的性质】 一、核心公式与图象关系（直接用） 1．与轴交点：。 2．与轴交点： 判别式 决定交点个数； 交点坐标。 二、解题技巧（快速得分） 1．求最值： 直接代入顶点横坐标公式，再求值。 实际问题中注意自变量取值范围对最值的影响。 2．判断增减性： 先确定开口方向，再看对称轴位置，分区间讨论。 3．对称性应用： 若两点纵坐标相等，则对称轴为两点横坐标的平均值。 三、注意陷阱 对称轴符号：公式为，注意负号。 顶点纵坐标计算：，避免符号错误。 实际问题最值：需验证顶点是否在定义域内，否则取端点值。 1．（2024•宝山区二模）下列函数中，的值随值的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•虹口区二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（2024•上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 　 4．（2024•徐汇区二模）如果二次函数的图象的一部分是上升的，那么的取值范围是 　 【题型4 二次函数图象与系数的关系】 一、核心公式（直接用） 对称轴： 顶点纵坐标： 与 轴交点： 二、解题技巧（快速得分） 1．判断系数符号： 开口方向的符号； 对称轴位置与的符号关系； 轴交点纵坐标的符号。 2．图象与方程结合： 若抛物线与轴交点为，则（韦达定理）。 3．特殊点验证： 代入，得； 代入，得，结合图象判断符号。 三、注意陷阴 对称轴符号：公式为，易忽略负号。 判别式与开口无关：仅决定交点个数，与开口方向无关。 系数联动关系：需综合判断，不能单独割裂。 1．（2024•青浦区三模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤当时，有． 其中正确结论的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2024•浦东新区二模）沿着轴的正方向看，如果抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 3．（2024•虹口区三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 　　． ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式． 【题型5 二次函数图象上点的坐标特征】 一、核心公式与技巧（直接用） 1．点在图象上的验证： 若点在抛物线上，则 2．对称点坐标： 点关于对称轴的对称点为。 3．函数值符号判断： 开口向上时，顶点为最小值点，两侧点值递增； 开口向下时，顶点为最大值点，两侧点值递减。 二、解题技巧（快速得分） 1．利用顶点简化计算： 已知顶点坐标，优先用顶点式求解解析式。 2．代入特殊点求值： 代入得，代入得，结合图象判断符号。 3．交点问题处理： 若已知抛物线与轴交点，可用交点式。 三、注意陷阱 1．对称轴符号：公式为，注意负号。 2．顶点纵坐标计算：，避免分子分母符号错误。 3．点坐标与函数值对应：开口方向决定函数值增减趋势，需结合对称轴判断。 1．（2023•长宁区二模）已知抛物线经过点，，，那么的值是　　 A．2 B．3 C．4 D． 2．（2023•青浦区二模）已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 　　． 3．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”． 已知：点在函数的图象上（如图所示），点的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，．如果点的“待定关联点” 在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【题型6 二次函数图象与几何变换】 一、基础变换规则（必记） 1．平移变换： 上下平移：向上，向下）。 左右平移：向右，向左）。 口决：左加右减自变量，上加下减常数项。 2．对称变换： 关于轴对称：。 关于轴对称：。 关于原点对称：。 关于顶点对称：（开口方向相反，顶点不变）。 3．旋转变换（绕顶点旋转）： 解析式变为（开口方向相反，顶点坐标不变）。 二、解题技巧（快速得分） 1．求变换后解析式： 平移：先写成顶点式，再按＂左加右减，上加下减＂调整。 对称／旋转：直接替换顶点式中的和（如对称后变号）。 2．判断变换类型： 观察顶点坐标和开口方向变化，反推变换过程。 3．综合变换： 按顺序分步处理（如先平移后对称），避免混淆。 三、注意陷阱 1．对称轴方向： 关于轴对称时，所有值取反；关于轴对称时，仅项符号改变。 2．顶点坐标变化： 平移会改变顶点坐标，而对称／旋转可能保持顶点不变（如关于顶点对称）。 3．变换顺序影响： 先平移后对称与先对称后平移结果不同，需按题目要求操作。 1．（2024•静安区校级模拟）将抛物线平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是　　 A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 2．（2024•长宁区二模）如果二次函数的图象向右平移3个单位后经过原点，那么的值为 　　． 3．（2024•虹口区二模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 　　． 4．（2024•杨浦区三模）如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么　　 ． 5．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 考向二：解析式求解与应用 【题型7 二次函数的最值】 一、核心公式（直接用） 顶点式：，最值为（顶点纵坐标）。 判别式法：若，则最值。 二、解题技巧（快速得分） 1．直接求最值： 用顶点横坐标公式，代入解析式求值。 或用顶点式直接写出最值。 2．实际问题最值： 步骤：（1）设变量，列函数关系式；（2）确定定义域；（3）求顶点值并验证是否在定义域内；（4）若不在，取端点值。 3．最值比较： 开口向上时，离对称轴越远的点，值越大； 开口向下时，离对称轴越远的点，值越小。 三、注意陷阱 1．定义域限制：若自变量有范围（如），需比较顶点值与端点值。 2．系数符号：计算顶点纵坐标时，注意分子的符号。 3．最值与极值混淆：二次函数在全体实数范围内仅有一个最值，与导数中的极值不同。 1．（2024•闵行区三模）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 　　． 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 一、解题步骤（直接用） 1．选择形式：根据已知条件选最合适的解析式形式。 2．代入数据：将已知点坐标代入所选形式，列方程或方程组。 3．求解系数：解方程求未知系数（如或）。 4．验证答案：代入未使用的点，检查是否满足解析式。 二、技巧与注意事项（快速得分） 1．优先选顶点式：若已知顶点或对称轴，用顶点式计算更简便。 2．交点式简化计算：已知与轴交点时，直接写出，避免展开。 3．利用对称性：若已知对称点，可求出对称轴后用顶点式。 4．避免计算错误： 代入坐标时注意符号（如代入后为）。 解方程组时用消元法或代入法，逐步化简。 三、口诀速记 三点一般式，顶点式方便； 交点式找根，代入求值快； 验证别忘记，步骤清晰错不来。 1．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　　． 2．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上． （1）如果，那么抛物线的对称轴为直线 　　； （2）如果点、在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【题型9 抛物线与x轴的交点】 一、核心公式与技巧（直接用） 1．交点横坐标和与积： （对称轴横坐标的2倍）； 。 2．交点式解析式： 若已知交点，则解析式可写为。 二、解题技巧（快速得分） 1．判断交点情况： 直接计算，根据符号判断交点个数。 2．求交点坐标： 因式分解法（优先）：若能分解为，直接得交点。 求根公式法：无法分解时用公式。 3．结合图像分析： 开口方向+顶点位置判断交点分布（如开口向上且顶点在轴下方，必有2个交点）。 三、注意陷阱 1．的符号： 计算时注意符号（如易出错）。 2．交点式中的： 已知交点后需用另一点坐标求，不能直接省略。 3．实际问题中的限制： 若有范围（如），需验证交点是否在范围内。 1．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线，（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 　 　． 2．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．如果，那么抛物线的表达式是 　　． 3．（2024•黄浦区二模）问题：已知抛物线．抛物线的顶点在抛物线上（非抛物线的顶点）且经过抛物线的顶点．请求出一个满足条件的抛物线的表达式． （1）解这个问题的思路如下：先在抛物线上任取一点（非顶点），你所取的点是 　　；再将该点作为抛物线的顶点，可设抛物线的表达式是 　　；然后求出抛物线的顶点是 　　；再将抛物线的顶点代入所设抛物线的表达式，求得其中待定系数的值为 　　；最后写出抛物线的表达式是 　　． （2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线，请再写出一个抛物线的表达式． （3）如果问题中抛物线和在轴上所截得的线段长相等，求抛物线的表达式． 【题型10 根据实际问题列二次函数关系式】 一、常见类型（直接用） 1．几何面积问题： 矩形面积：（为固定周长或边长）。 三角形面积：（为关于的高）。 2．利润问题： 利润销量单利（为原价，为降价／提价，为销量变化系数）。 3．运动轨迹问题： 抛体运动高度：（为重力加速度，为初速度）。 二、解题技巧（快速得分） 1．关键词定位： 看到＂最大＂＂最小＂＂最远＂等词，优先考虑二次函数最值。 2．几何公式转化： 利用矩形，三角形等面积公式建立关系式（如篦笆围地问题）。 3．分段讨论： 若变量影响分阶段（如销量分段计价），需分区间列函数。 三、注意事项 1．单位统一：确保变量单位一致（如长度用米，时间用秒）。 2．定义域验证： 实际问题中可能需取整数（如商品件数），需结合题意调整。 3．避免复杂计算： 优先用顶点式简化最值求解（如）。 1．（2023•浦东新区模拟）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米，那么关于的函数解析式为 　　．（不要求写出定义域） 【题型11 二次函数的应用】 一、核心应用类型（必记） 1．利润最大化： 公式：利润售价-成本销量，列二次函数求顶点最大值。 2．面积优化： 矩形面积：（为固定周长或边长）。 三角形面积：结合底边与高的关系，用二次函数求最大面积。 3．运动轨迹： 抛体运动高度：，求最高点或落地时间。 二、解题步骤（直接用） 1．建模： 设自变量和因变量，根据题意建立二次函数关系式。 2．化简： 将关系式整理为顶点式，直接得最值。 3．验证： 检查顶点是否在定义域内，否则取端点值。 三、快速得分技巧 1．利润问题： 若销量与价格成线性关系（如每降1元多卖5件），直接设降价元，列二次函数。 2．面积问题： 优先用顶点式，如篦笆围矩形问题，设一边为，另一边为。 3．运动问题： 最高点时间，最大高度。 四、注意陷阱 1．定义域限制： 实际问题中可能需取整数（如商品件数），需调整答案。 2．单位统一： 确保变量单位一致（如时间用秒，长度用米）。 3．最值方向： 开口向下时，顶点为最大值；开口向上时需结合实际判断。 1．（2023•闵行区三模）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的距离　　． 2．（2024•浦东新区模拟） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距为反应距离与制动距离之和，即，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 速度 反应距离 制动距离 10 7.5 8 15 10.5 16.2 20 15 32 25 17.5 52 30 22.9 78.1 35 27.1 108.5 40 29.2 123 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数满足． 任务一 ①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是 　　； ．、 ．、 ．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式． 任务二在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 任务三某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到 3．（2023•宝山区三模）某产品每件成本 10 元， 试销阶段每件产品的销售价（元与产品的日销售量（件之间的关系如下表： （元 15 20 30 （件 25 20 10 已知日销售量是售价的一次函数 ． （1） 直接写出日销售量（件与销售价（元的函数关系 ． （2） 要使每日的销售利润最大， 每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？若日销售利润低于 125 元且不亏本， 请直接写出售价的取值范围 ． 4．（2023•长宁区三模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：、飞行高度（单位：随飞行时间（单位：变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． （1）求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． （建议用时：15分钟） 1．（2024•青浦区二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图，过点作轴，交该抛物线于点，当时，求△的面积； （3）点为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点的坐标． 2．（2024•崇明区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点和点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）设抛物线与轴的另一个交点为，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）将抛物线平移，得到抛物线．平移后抛物线的顶点落在轴上的点处，将沿直线翻折，得到，如果点恰好落在抛物线的图象上，求平移后的抛物线的表达式． 3．（2024•崇明区模拟）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上一动点，以为边作平行四边形，连接，若将平行四边形的面积分成为的两部分，求点的横坐标； （3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒，点在坐标平面内，使以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的值． 4．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结、、，求的值； （3）如果点在对称轴右方的抛物线上，且，过点作轴，垂足为，请说明，并求点的坐标． 5．（2024•长宁区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点、（点在点左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点、． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点的坐标． 6．（2024•宝山区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为． （1）求直线的表达式； （2）如果将绕点逆时针旋转，点落在抛物线上的点处，求抛物线的表达式； （3）将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为，与轴交于点．如果，求的值． 7．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点为圆心的圆记作圆，如果圆与圆外切，试判断对称轴直线与圆的位置关系，请说明理由； （3）已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 8．（2024•金山区二模）已知：抛物线经过点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上，且点在轴右侧． ①若点平移后得到的点在轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与轴相交于点，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 9．（2024•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，联结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 10．（2024•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ①当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ②当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 11．（2024•奉贤区二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． （1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； （3）设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 12．（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线（其中，我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． （1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）已知点在抛物线上，点坐标为，当△△时，求的值． 13．（2024•闵行区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴相交于、两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如果点是轴正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点和点的坐标（不需要说明理由）； （3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”． 如果点是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围． 14．（2024•普陀区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． （1）当点的坐标为时，求这个抛物线的表达式； （2）抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数与之间的数量关系； （3）以点为圆心，为半径作，与直线相交于点、，当点在直线上时，用含的代数式表示的长． 15．（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、两点，顶点为点． （1）求、的值； （2）如果点在抛物线的对称轴上，射线平分，求点的坐标； （3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点在射线上，抛物线与轴交于点，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 16．（2024•静安区校级二模）如图，已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图2，点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； （3）点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 17．（2024•宝山区校级二模）如图，已知抛物线与两坐标轴分别交于点，，为抛物线上第一象限内的一个动点，点关于直线的对称点为． （1）求，的值和抛物线对称轴； （2）当点在坐标轴上时，求此时点的坐标； （3）是否存在点在抛物线上的情况？如果存在，求此时点的坐标；如果不存在，说明理由． 18．（2023•嘉定区二模）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过、、三点． （1）求点、的坐标； （2）联结、、，当时， ①求抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 19．（2023•金山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； （3）点在直线上，若，求点的坐标． 20．（2023•杨浦区二模）已知抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点、分别平移到点、处，且都在直线上，设点在抛物线上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，设点为线段上的一点，，交直线于点，求的值． 21．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面中，直线分别与轴、轴交于、两点，抛物线经过、两点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）抛物线与轴的另一个交点为，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移个单位，使点落在内，求的取值范围； （3）对称轴与直线交于点，是线段上的一个动点不与重合），过作轴的平行线交原抛物线于点，当时，求点的坐标． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 二次函数 上海卷注重基础与综合能力结合，常以抛物线为载体，融合几何图形(如三角形、四边形)，突出数形结合与分类讨论思想。近年创新题型涌现，如参数讨论、图形变换(平移、轴对称)，压轴题常涉及存在性问题(如等腰三角形、平行四边形)，并融入生活实际背量(如科技产业、数据统计)，强化数学应用价值。 备考策略与方法 1.基础强化:熟记顶点式、对称轴公式，掌握待定系数法与配方法，强化图像平移规律。 2专题突破:针对上海高频考点(如几何存在性问题、相似三角形)，总结反射法、代数法解题模板;关注参 数问题，提升代数式化简能力。 3.真题精研:精做近5年上海中考及模考真题，重点突破第 24、25 题压轴题型，分析图形运动与二次函数结2合的命题规律。 4.错题整理:建立几何存在性问题分类讨论清单(如等腰三角形的三种情况)，强化步骤规范性，避免计算错误与定义域忽略。 5.限时训练:模拟上海卷压轴题难度，提升解题速度与准确性，注重几何条件与函数表达式的转化(如角相等、线段比例关系)。 考向一：基础概念与图象性质 【题型1 二次函数的定义】 一、核心考点（直接用） 1．判断函数类型： 若最高次数为2且，则为二次函数。 注意隐藏形式（如或）。 2．求参数值： 已知函数为二次函数时，通过条件排除参数干扰。 若题目给出某点坐标，代入解析式求。 二、解题技巧（快速得分） 1．快速判断： 观察表达式中是否存在项且系数非零。 排除含，分式等非二次项的干扰。 2．定义域陷阱： 若题目限定范围（如），仍属二次函数，但需注意实际意义。 三、注意事项 二次项系数非零：是定义的关键，易被忽略。 与一次函数区分：当且 时，函数退化为一次函数。 1．下列函数中，关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如、、为常数，的函数叫做二次函数，由此判断即可． 【解答】解：、不是关于的二次函数，故此选项不符合题意； 、是的正比例函数，故此选项不符合题意； 、是关于的二次函数，故此选项符合题意； 、当时，不是关于的二次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．下列关于的函数中，一定是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：中当时，它不是二次函数，则不符合题意； ，则不符合题意； 符合二次函数的定义，则符合题意； 不符合二次函数的定义，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．下列函数中，一定是二次函数的是　　 A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可解答． 【解答】解：、（其中是常数），是一次函数，故不符合题意； 、（其中、、是常数），当时是二次函数，故不符合题意； 、，是二次函数，故符合题意； 、，是一次函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，，是常数，的函数，叫做二次函数．其中．是变量，，，是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【题型2 二次函数的图象】 一、核心公式与图象关系（直接用） 1．与轴交点：（为常数项）。 2．与轴交点：解方程，判别式： ：两个交点； ：一个交点（顶点在轴上）； ：无交点。 二、解题技巧（快速得分） 1．快速画草图： 确定开口方向（的符号）； 标出顶点和对称轴； 描出与轴交点，若有实数根再描轴交点。 2．判断系数符号： ：开口方向； ：对称轴位置（左同右异：对称轴在轴左侧时，与同号）； ：与轴交点纵坐标。 3．平移变换： 由平移得到，＂左加右减，上加下减＂。 三、注意陷阱 对称轴符号：对称轴公式为，注意负号。 顶点纵坐标：，计算时易出错。 与一次函数混淆：当 时为直线，需排除。 1．（2022•上海模拟）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断． 【解答】解：当时，的图象是经过原点和一三象限的直线，开口向上，与轴交于负半轴，对称轴是轴， 当时，的图象是经过原点和二四象限的直线，开口向下，与轴交于负半轴，对称轴是轴， 故选：． 【点评】主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 2．（2022•长宁区二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【解答】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 【题型3 二次函数的性质】 一、核心公式与图象关系（直接用） 1．与轴交点：。 2．与轴交点： 判别式 决定交点个数； 交点坐标。 二、解题技巧（快速得分） 1．求最值： 直接代入顶点横坐标公式，再求值。 实际问题中注意自变量取值范围对最值的影响。 2．判断增减性： 先确定开口方向，再看对称轴位置，分区间讨论。 3．对称性应用： 若两点纵坐标相等，则对称轴为两点横坐标的平均值。 三、注意陷阱 对称轴符号：公式为，注意负号。 顶点纵坐标计算：，避免符号错误。 实际问题最值：需验证顶点是否在定义域内，否则取端点值。 1．（2024•宝山区二模）下列函数中，的值随值的增大而减小的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质分别进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，对于选项，是二次函数，对称轴是轴，开口向上， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故错误． 对于选项，是二次函数，对称轴是轴，开口向上， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故错误． 对于选项，是一次函数，， 随的增大而增大，故错误． 对于选项，是一次函数，， 随的增大而减小，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解其增减性是关键 2．（2024•虹口区二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由二次函数，再结合，从而当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再由函数值随自变量的增大而减小，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，二次函数， 又， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由函数值随自变量的增大而减小， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（2024•上海）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为 　． 【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线 “开口大小”． 【解答】解：抛物线， ， 解得， 抛物线 “开口大小”为， 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 4．（2024•徐汇区二模）如果二次函数的图象的一部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】依据题意，由，又抛物线开口向上，从而当时，随的增大而减小，图象逐渐下降，当时，随的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数的图象的一部分是上升的，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，， 又抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，图象逐渐下降，当时，随的增大而增大，图象逐渐上升． 二次函数的图象的一部分是上升的， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【题型4 二次函数图象与系数的关系】 一、核心公式（直接用） 对称轴： 顶点纵坐标： 与 轴交点： 二、解题技巧（快速得分） 1．判断系数符号： 开口方向的符号； 对称轴位置与的符号关系； 轴交点纵坐标的符号。 2．图象与方程结合： 若抛物线与轴交点为，则（韦达定理）。 3．特殊点验证： 代入，得； 代入，得，结合图象判断符号。 三、注意陷阴 对称轴符号：公式为，易忽略负号。 判别式与开口无关：仅决定交点个数，与开口方向无关。 系数联动关系：需综合判断，不能单独割裂。 1．（2024•青浦区三模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤当时，有． 其中正确结论的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断． 【解答】解：抛物线的顶点坐标， 抛物线的对称轴为直线， ，所以①正确； 抛物线开口向下， ， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以②错误； 抛物线的顶点坐标， 时，二次函数有最大值， 方程有两个相等的实数根，所以③正确； 抛物线与轴的一个交点为 而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为，所以④错误； 抛物线与直线交于，点 当时，，所以⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 2．（2024•浦东新区二模）沿着轴的正方向看，如果抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则，然后解不等式即可． 【解答】解：抛物线在轴左侧的部分是上升的， 抛物线开口向下， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 3．（2024•虹口区三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 　　． ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式． 【答案】①②③④． 【分析】根据二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【解答】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型5 二次函数图象上点的坐标特征】 一、核心公式与技巧（直接用） 1．点在图象上的验证： 若点在抛物线上，则 2．对称点坐标： 点关于对称轴的对称点为。 3．函数值符号判断： 开口向上时，顶点为最小值点，两侧点值递增； 开口向下时，顶点为最大值点，两侧点值递减。 二、解题技巧（快速得分） 1．利用顶点简化计算： 已知顶点坐标，优先用顶点式求解解析式。 2．代入特殊点求值： 代入得，代入得，结合图象判断符号。 3．交点问题处理： 若已知抛物线与轴交点，可用交点式。 三、注意陷阱 1．对称轴符号：公式为，注意负号。 2．顶点纵坐标计算：，避免分子分母符号错误。 3．点坐标与函数值对应：开口方向决定函数值增减趋势，需结合对称轴判断。 1．（2023•长宁区二模）已知抛物线经过点，，，那么的值是　　 A．2 B．3 C．4 D． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到关于对称轴对称的点为，故当时可求得值为2，即可求得答案． 【解答】解：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴是直线， 对称点坐标为， 当时，， 即， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点在其图象上是解题的关键． 2．（2023•青浦区二模）已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据抛物线的对称性即可求得点的坐标． 【解答】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 点和点都在抛物线上，且轴， 、关于直线对称， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线图形上点的坐标特征，平行线的性质，明确、关于抛物线的对称轴对称是解题的关键． 3．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”． 已知：点在函数的图象上（如图所示），点的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，．如果点的“待定关联点” 在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到， 解得，即可求得点的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图： （2）由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）点的“待定关联点”为， 在抛物线的图象上， ， ，．又，， 当时，， 故可得． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 【题型6 二次函数图象与几何变换】 一、基础变换规则（必记） 1．平移变换： 上下平移：向上，向下）。 左右平移：向右，向左）。 口决：左加右减自变量，上加下减常数项。 2．对称变换： 关于轴对称：。 关于轴对称：。 关于原点对称：。 关于顶点对称：（开口方向相反，顶点不变）。 3．旋转变换（绕顶点旋转）： 解析式变为（开口方向相反，顶点坐标不变）。 二、解题技巧（快速得分） 1．求变换后解析式： 平移：先写成顶点式，再按＂左加右减，上加下减＂调整。 对称／旋转：直接替换顶点式中的和（如对称后变号）。 2．判断变换类型： 观察顶点坐标和开口方向变化，反推变换过程。 3．综合变换： 按顺序分步处理（如先平移后对称），避免混淆。 三、注意陷阱 1．对称轴方向： 关于轴对称时，所有值取反；关于轴对称时，仅项符号改变。 2．顶点坐标变化： 平移会改变顶点坐标，而对称／旋转可能保持顶点不变（如关于顶点对称）。 3．变换顺序影响： 先平移后对称与先对称后平移结果不同，需按题目要求操作。 1．（2024•静安区校级模拟）将抛物线平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是　　 A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 2．（2024•长宁区二模）如果二次函数的图象向右平移3个单位后经过原点，那么的值为 　　． 【答案】． 【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出的值． 【解答】解：二次函数的图象向右平移3个单位后的解析式为， 二次函数的图象向右平移3个单位后经过原点， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键． 3．（2024•虹口区二模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 　　． 【答案】． 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 4．（2024•杨浦区三模）如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么　　 ． 【答案】． 【分析】利用平移的规律写出平移后的抛物线解析式为，然后把原点坐标代入可求出的值． 【解答】解：函数的图象向左平移2个单位后为，即 把点代入得，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，掌握平移的规律是解题的关键． 5．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入，可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案； ②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明△，可得，设，则，，，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入， 可得：，解得：， 新抛物线为； （2）①如图，设，则， ， 小于3， ， ， ， ； ②， 平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， 轴， ， ， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则，过作于， ， △， ， 设，则，，， ， 解得：或3（不符合题意舍去）； 综上：． 【点评】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 考向二：解析式求解与应用 【题型7 二次函数的最值】 一、核心公式（直接用） 顶点式：，最值为（顶点纵坐标）。 判别式法：若，则最值。 二、解题技巧（快速得分） 1．直接求最值： 用顶点横坐标公式，代入解析式求值。 或用顶点式直接写出最值。 2．实际问题最值： 步骤：（1）设变量，列函数关系式；（2）确定定义域；（3）求顶点值并验证是否在定义域内；（4）若不在，取端点值。 3．最值比较： 开口向上时，离对称轴越远的点，值越大； 开口向下时，离对称轴越远的点，值越小。 三、注意陷阱 1．定义域限制：若自变量有范围（如），需比较顶点值与端点值。 2．系数符号：计算顶点纵坐标时，注意分子的符号。 3．最值与极值混淆：二次函数在全体实数范围内仅有一个最值，与导数中的极值不同。 1．（2024•闵行区三模）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 　　． 【分析】根据题意求得点，，，然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可． 【解答】解：由，当时，， ， ，四边形是矩形， ， ①当抛物线经过、时，将点，代入得 ， 解得； ②当抛物线经过、时，将点，代入得 ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 一、解题步骤（直接用） 1．选择形式：根据已知条件选最合适的解析式形式。 2．代入数据：将已知点坐标代入所选形式，列方程或方程组。 3．求解系数：解方程求未知系数（如或）。 4．验证答案：代入未使用的点，检查是否满足解析式。 二、技巧与注意事项（快速得分） 1．优先选顶点式：若已知顶点或对称轴，用顶点式计算更简便。 2．交点式简化计算：已知与轴交点时，直接写出，避免展开。 3．利用对称性：若已知对称点，可求出对称轴后用顶点式。 4．避免计算错误： 代入坐标时注意符号（如代入后为）。 解方程组时用消元法或代入法，逐步化简。 三、口诀速记 三点一般式，顶点式方便； 交点式找根，代入求值快； 验证别忘记，步骤清晰错不来。 1．（2023•上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）． 【解答】解：由题意得：，，， 这个二次函数的解析式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 2．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上． （1）如果，那么抛物线的对称轴为直线 　　； （2）如果点、在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】（1）； （2），，． 【分析】（1）当时，则点和点为抛物线上的对称点，然后利用抛物线的对称性确定对称轴； （2）先利用一次函数解析式确定点、的坐标，再把点、的坐标分别代入得、的方程组，则解方程可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标． 【解答】解：（1）、，， 点和点为抛物线上的对称点， 抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）把、分别代入得，， 、， 把、分别代入得， 解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为，． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 【题型9 抛物线与x轴的交点】 一、核心公式与技巧（直接用） 1．交点横坐标和与积： （对称轴横坐标的2倍）； 。 2．交点式解析式： 若已知交点，则解析式可写为。 二、解题技巧（快速得分） 1．判断交点情况： 直接计算，根据符号判断交点个数。 2．求交点坐标： 因式分解法（优先）：若能分解为，直接得交点。 求根公式法：无法分解时用公式。 3．结合图像分析： 开口方向+顶点位置判断交点分布（如开口向上且顶点在轴下方，必有2个交点）。 三、注意陷阱 1．的符号： 计算时注意符号（如易出错）。 2．交点式中的： 已知交点后需用另一点坐标求，不能直接省略。 3．实际问题中的限制： 若有范围（如），需验证交点是否在范围内。 1．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线，（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 　 　． 【分析】易得的解析式，可判断出的顶点坐标，进而可得点的坐标．根据四边形是正方形，可得对角线互相平分且相等，那么可得点的坐标，代入的解析式可得的值，代入即可得到所求的函数解析式． 【解答】解：抛物线的“关联抛物线”为， 的解析式为：． 对称轴为：． 顶点坐标为． 点关于轴的对称点为， 点坐标为：． 四边形是正方形，抛物与轴相交于、两点， ，与互相平分，的中点坐标为． 设点在点的右边． 点的横坐标为：． 点的坐标为． ． 解得：． 抛物线的表达式为：． 【点评】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数中只有一个未知系数，一般会判断出二次函数的对称轴；正方形的对角线互相垂直平分且相等． 2．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．如果，那么抛物线的表达式是 　　． 【答案】． 【分析】先利用抛物线求出，，的坐标，再利用，以及勾股定理求出点的坐标，最后用待定系数法求出的表达式即可． 【解答】解：令， 解得，， ，， 当时，， ， 当时，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 抛物线， 将，代入， 得 解得， 抛物线的表达式是：． 故答案为：． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，解答时涉及抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 3．（2024•黄浦区二模）问题：已知抛物线．抛物线的顶点在抛物线上（非抛物线的顶点）且经过抛物线的顶点．请求出一个满足条件的抛物线的表达式． （1）解这个问题的思路如下：先在抛物线上任取一点（非顶点），你所取的点是 　　；再将该点作为抛物线的顶点，可设抛物线的表达式是 　　；然后求出抛物线的顶点是 　　；再将抛物线的顶点代入所设抛物线的表达式，求得其中待定系数的值为 　　；最后写出抛物线的表达式是 　　． （2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线，请再写出一个抛物线的表达式． （3）如果问题中抛物线和在轴上所截得的线段长相等，求抛物线的表达式． 【答案】（1），，，，； （2）抛物线的表达式是（答案不唯一）； （3）抛物线的表达式为或． 【分析】（1）按照题干中的思路求解即可； （2）根据（1）的方法解答即可； （3）设在抛物线上所取非顶点的一点的坐标为，设出抛物线的解析式，再把抛物线的顶点代入求出，然后抛物线与轴的交点坐标为，，，，由根与系数的关系和抛物线和在轴上所截得的线段长相等求出的值，从而得出抛物线的表达式． 【解答】解：（1）对于抛物线，当时，， 在抛物线上所取的点是， 设抛物线的表达式是， ， 抛物线的顶点是， 将代入得，， 解得， 抛物线的表达式是， 故答案为：，，，，； （2）对于抛物线，当时，， 在抛物线上所取的点是， 设抛物线的表达式是， ， 抛物线的顶点是， 将代入得，， 解得， 抛物线的表达式是（答案不唯一）； （3）设在抛物线上所取非顶点的一点的坐标为， 设抛物线的表达式是， 将抛物线的顶点代入得， ， 解得， 令抛物线中的，即， 解得，， 抛物线上在轴上所截得的线段长为2， 抛物线与轴的交点坐标为，，，， 方程的两个根为，， 把方程整理并把代入得：， ，， ， 抛物线和在轴上所截得的线段长相等， ， ， 解得， 点坐标为，或，， 抛物线的表达式为或． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点以及待定系数法求函数解析式，关键是掌握抛物线与轴的交点与一元二次方程根的关系． 【题型10 根据实际问题列二次函数关系式】 一、常见类型（直接用） 1．几何面积问题： 矩形面积：（为固定周长或边长）。 三角形面积：（为关于的高）。 2．利润问题： 利润销量单利（为原价，为降价／提价，为销量变化系数）。 3．运动轨迹问题： 抛体运动高度：（为重力加速度，为初速度）。 二、解题技巧（快速得分） 1．关键词定位： 看到＂最大＂＂最小＂＂最远＂等词，优先考虑二次函数最值。 2．几何公式转化： 利用矩形，三角形等面积公式建立关系式（如篦笆围地问题）。 3．分段讨论： 若变量影响分阶段（如销量分段计价），需分区间列函数。 三、注意事项 1．单位统一：确保变量单位一致（如长度用米，时间用秒）。 2．定义域验证： 实际问题中可能需取整数（如商品件数），需结合题意调整。 3．避免复杂计算： 优先用顶点式简化最值求解（如）。 1．（2023•浦东新区模拟）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米，那么关于的函数解析式为 　　．（不要求写出定义域） 【答案】． 【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式． 【解答】解：篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为米， 花圃平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键． 【题型11 二次函数的应用】 一、核心应用类型（必记） 1．利润最大化： 公式：利润售价-成本销量，列二次函数求顶点最大值。 2．面积优化： 矩形面积：（为固定周长或边长）。 三角形面积：结合底边与高的关系，用二次函数求最大面积。 3．运动轨迹： 抛体运动高度：，求最高点或落地时间。 二、解题步骤（直接用） 1．建模： 设自变量和因变量，根据题意建立二次函数关系式。 2．化简： 将关系式整理为顶点式，直接得最值。 3．验证： 检查顶点是否在定义域内，否则取端点值。 三、快速得分技巧 1．利润问题： 若销量与价格成线性关系（如每降1元多卖5件），直接设降价元，列二次函数。 2．面积问题： 优先用顶点式，如篦笆围矩形问题，设一边为，另一边为。 3．运动问题： 最高点时间，最大高度。 四、注意陷阱 1．定义域限制： 实际问题中可能需取整数（如商品件数），需调整答案。 2．单位统一： 确保变量单位一致（如时间用秒，长度用米）。 3．最值方向： 开口向下时，顶点为最大值；开口向上时需结合实际判断。 1．（2023•闵行区三模）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则铅球推出的距离　　． 【分析】令，得到关于的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：令，则， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键． 2．（2024•浦东新区模拟） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距为反应距离与制动距离之和，即，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 速度 反应距离 制动距离 10 7.5 8 15 10.5 16.2 20 15 32 25 17.5 52 30 22.9 78.1 35 27.1 108.5 40 29.2 123 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数满足． 任务一 ①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是 　　； ．、 ．、 ．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式． 任务二在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 任务三某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到 【答案】【任务一】①； ②；； 【任务二】超速，理由见解析； 【任务三】限速． 【分析】（1）①根据材料二分析可选； ②，将，代入可求，，将，代入可求； （2），代入与34作比即可； （3）如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【解答】解：（1）①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，选项合适； ②设，将，代入得：， 解得：， ， 设，将，代入得， 解得：， 故； （2）超速，理由： ， 当时， ， 超速； （3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ， 列式得， 解得， 故应限速． 【点评】本题考查一次函数与二次函数求解，判断是否超速可根据最高速度对应的制动距离与实际制动距离进行比较． 3．（2023•宝山区三模）某产品每件成本 10 元， 试销阶段每件产品的销售价（元与产品的日销售量（件之间的关系如下表： （元 15 20 30 （件 25 20 10 已知日销售量是售价的一次函数 ． （1） 直接写出日销售量（件与销售价（元的函数关系 ． （2） 要使每日的销售利润最大， 每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？若日销售利润低于 125 元且不亏本， 请直接写出售价的取值范围 ． 【分析】（1） 因为日销售量是销售价的一次函数， 设，代入对应数值求出函数解析式即可； （2） 利用销售利润一件利润销售件数， 一件利润销售价成本， 日销售量是销售价的一次函数， 求得利润为二次函数， 运用二次函数的性质， 可求最大利润； 利用“日销售利润低于 125 元且不亏本”可得，且，从而可求的范围 ． 【解答】解： （1） 设此一次函数关系式为， 则， 解得， 故一次函数的关系式为． （2） 设所获利润为元， 则 所以产品的销售价应定为 25 元， 此时每日的销售利润为 225 元； 根据题意可得，且， 解得：或． 【点评】本题考查了二次函数的运用， 一次函数及二次函数最大值求法， 难度适中， 解答本题的关键是根据题意， 逐步求解， 由易到难， 搞清楚这两个函数之间的联系 ． 4．（2023•长宁区三模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：、飞行高度（单位：随飞行时间（单位：变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． （1）求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②该航模飞机此次试飞能达到要求，见解析． 【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）①令，解方程求出的值，再把的值代入求出即可； ②当时，．求得．当时，．求得，再求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设关于的函数解析式为． 将和代入，得 解得 关于的函数解析式为． （2）①令，则， 解得，（舍去）． 当时，． 答：飞机落到水平安全线时飞行的水平距离为． ②该航模飞机此次试飞能达到要求． 理由：当时，．解得． 当时，．解得． ， 该二次函数的对称轴为直线． ，均在对称轴的左侧． ， 当时，随的增大而增大． 当时，有最小值，的最小值是． ， 该航模飞机此次试飞能达到要求． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式． （建议用时：15分钟） 1．（2024•青浦区二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图，过点作轴，交该抛物线于点，当时，求△的面积； （3）点为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，点； （2）； （3）点． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则直线和关于对称，即可求解； （3）利用，求出，利用，得到，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则， 故抛物线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，点； （2）设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得：直线的表达式为：， 当时， 则直线和关于对称， 故， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交于点，则点，， 则， 则△的面积； （3）由点、、的坐标得，， 过点作于点，设交于点， 而， 即， 则， ，即， 则， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点，， 由点、的坐标得，的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 2．（2024•崇明区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点和点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）设抛物线与轴的另一个交点为，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）将抛物线平移，得到抛物线．平移后抛物线的顶点落在轴上的点处，将沿直线翻折，得到，如果点恰好落在抛物线的图象上，求平移后的抛物线的表达式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即，即可求解； （3）证明为等边三角形，得到点，，将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解． 【解答】解：（1）直线与轴相交于点，与轴相交于点， 则点、的坐标分别为：，、， 将点、的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，点； （2）由抛物线的表达式知，点，， 过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交过点和轴的抛物线于点， 则，，， ， ， ， ， ，即， ， 解得：， 即点； （3）由直线的表达式知，， 当将沿直线翻折，得到时， ， ， 为等边三角形， 设点，则， ， 点，， 新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 抛物线的表达式为：． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 3．（2024•崇明区模拟）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上一动点，以为边作平行四边形，连接，若将平行四边形的面积分成为的两部分，求点的横坐标； （3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒，点在坐标平面内，使以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或3.5或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接，设与的交点为，作于点，则，设点，点，证明，求出，可得，求出直线的解析式，联立方程组，即可求点的横坐标； （3）分两种情况讨论：①当时，，，，再由菱形的边的性质分三种情况求解：当时，或（舍；当时，（舍；当时，（舍或（舍；②当时，，，，再由菱形的边的性质分三种情况求解：当，；当时，（舍或（舍；当时，（舍或． 【解答】解：（1）将，代入， 得， 解得， ； （2）连接，设与的交点为，作于点，则， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 设点，点， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， 点在第一象限， ， 点的横坐标为； （3），， ，， ， ①当时，，，， 四边形是菱形， 当时，， 解得或（舍； 当时，， 解得（舍； 当时，， 解得（舍或（舍； ②当时，，，， 四边形是菱形， 当，， ； 当时，， 解得（舍或（舍； 当时，， 解得（舍或； 综上所述：的值为或3.5或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解的关键． 4．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结、、，求的值； （3）如果点在对称轴右方的抛物线上，且，过点作轴，垂足为，请说明，并求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解答，点的坐标为，． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案． 【解答】（1）解：抛物线关于直线对称， 设抛物线的解析式为，把、代入，得：， 解得：， ， 该抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 、， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作轴于，则，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ； （3）证明：如图，连接， 由（2）知是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 点在对称轴右方的抛物线上， ，且， 解得：， 当时，， 点的坐标为，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键． 5．（2024•长宁区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点、（点在点左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点、． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）①5；②点． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式得，点、， 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， ①当时，则点在的中垂线上， 则， 解得：（舍去）或5， 则； ②由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由点的坐标得，， 的面积是面积的3倍， 则 过点作轴，作，过点作轴， 则， 则， 则， 解得：（舍去）或4， 即点． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中． 6．（2024•宝山区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为． （1）求直线的表达式； （2）如果将绕点逆时针旋转，点落在抛物线上的点处，求抛物线的表达式； （3）将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为，与轴交于点．如果，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由旋转的性质得，点，，将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （3）求出点的坐标为：，由，求出，进而求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点，， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：； （2）由旋转的性质得，点，， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； （3）由直线的表达式知，其和轴负半轴的夹角为，点， 设将（2）中得到的抛物线沿射线平移个单位，则相当于向左、向上个平移了个单位， 则平移后的抛物线表达式为：， 当时，，即点的坐标为：， 则， 而， 解得：， 则点，即点、重合， 由点的坐标得到点， 在中，，，， 过点作于点， 则， 即，则， 则， 则． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 7．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点为圆心的圆记作圆，如果圆与圆外切，试判断对称轴直线与圆的位置关系，请说明理由； （3）已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）对称轴直线与圆的位置是相离，理由见解答； （3）点的坐标为． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设圆的半径为，又圆与圆外切，所以，得到，即可求解； （3）求出，在中，，在中，，由，得到，，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线经过点、两点， ， 解得：， 此抛物线的表达式是； （2）答：对称轴直线与圆的位置是相离， 根据（1）得，抛物线的对称轴是直线， 则抛物线与轴的交点点坐标为， 则， 圆的半径是2， 设圆的半径为，又圆与圆外切，所以， 又，所以， 对称轴与轴垂直，设垂足为， 则的长就是圆到对称轴的距离， 对称轴是直线， 点的坐标为，所以， ，即， 对称轴直线与圆的位置是相离； （3）过点作，垂足为，过点作轴，垂足为， 则，，， 点坐标为，点坐标为， 轴， ，， 由勾股定理得， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， 点的坐标为． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形等，综合性强，难度适中． 8．（2024•金山区二模）已知：抛物线经过点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上，且点在轴右侧． ①若点平移后得到的点在轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与轴相交于点，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】（1），顶点的坐标是； （2）①；②． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，由平移的性质知，，即可求解； ②如果，即轴不合题意；如果，证明，得到，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， ， 故抛物线的解析式为， 顶点的坐标是； （2）①设直线的解析式是， 则，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， 点平移后得到的点在轴上， 抛物线向上平移了3个单位， ，即， 此时抛物线的解析式是； ②抛物线与轴的交点是， 如果，即轴不合题意， 如果， ，， ， ， ， 作轴于点，则， ， ，， ， 解得：（不合题意，舍去）或1， ， 则此时抛物线的解析式是． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到图象的平移、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． 9．（2024•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，联结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 【答案】（1），； （2）①5； ②． 【分析】（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可； （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，从而求出点坐标，进而求出所在直线表达式，从而求得点坐标，最后根据在平移后的抛物线上求出的值即可． 【解答】解：（1）设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式可得： ， 解得：，， 的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线解析式得：， ， 将抛物线解析式改写成顶点式：， 点，在直线上， ， 解得：或4， 当时，顶点和重合，不符合题意； ，； （2）①由（1）知，，抛物线解析式为：， ，对称轴直线为：， 平移后的抛物线解析式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式得： 解得：，， 的表达式为：， ，， ； ②由平移的性质可知，， ， 在的垂直平分线上， ，， 设所在直线的表达式为：， 代入，的坐标得：， 解得：，， 的表达式为：， ， 由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：， 将点代入平移后的抛物线得：， 解得：， ， ． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键． 10．（2024•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式及点的坐标； （2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ①当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ②当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为，点； （2）①点，；②的值为0或． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）①在中，，则，在中，，即可求解； ②当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图所示，取的中点，以为直径作圆，则点、在圆上，由，即可求解；当时，可得：，所以符合题意的不存在． 【解答】解：（1）由题意，得：， 解得：， 抛物线的表达式为； 则抛物线的对称轴是直线， 点； （2）①由题意，得、， 则， 四边形是平行四边形， ， 又点在轴上， ， ， 在中，， 则，则， 在中，， 则， 过点作，垂足为， 在中，， 则， 故点，； ②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意； 当时，如图所示，取的中点，以为直径作圆，则点、在圆上， 此时圆和轴有唯一切点，符合题设条件， 则， ， 由①知，则， 则， 而， 由得：， 解得：； 当时，可得：，所以符合题意的不存在， 综上，符合题意的的值为0或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 11．（2024•奉贤区二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． （1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； （2）将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； （3）设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 【答案】（1）开口向下，； （2）； （3）． 【分析】（1）根据点在正半轴判断的正负，再将点坐标代入抛物线，求出和的关系，从而可以求出的正负，即可判断开口方向，将抛物线化为顶点式即可求出点坐标； （2）根据平移后的点，判断平移距离，从而表示出的坐标，然后根据正切值的定义求解的值即可； （3）先求出点坐标，然后用待定系数法求出所在直线的坐标，从而可以求出点坐标，然后根据三角形相似的判定与性质，求出的长度，最后根据勾股定理求出的值即可． 【解答】解：（1）令，则， ， 将点坐标代入抛物线解析式得：， ， 抛物线开口向下， 将代入抛物线解析式：， 对称轴直线为：， 令，则， ， （2）由（1）知，， ， ， 平移距离为：， ， 点，，位置如图，作于， ，， ， ； （3）如图： 令，解得：或3， ， 设所在直线的解析式为：， 可得：， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，综合运用平移的坐标变换、三角函数值的定义以及相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 12．（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线（其中，我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． （1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）已知点在抛物线上，点坐标为，当△△时，求的值． 【答案】（1）； （2）点； （3）或． 【分析】（1）将点的坐标代入得：，即可求解； （2）当四边形为平行四边形，则，即，即可求解； （3）由△△得到，即，即可求解． 【解答】解：（1）将点的坐标代入得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 则的表达式为：． 则和轴的交点， 则抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即的顶点的坐标为：， 当时，， 故抛物线的对称轴和的交点， 点在点的上方， 故， 解得：， 则， 四边形为平行四边形， 则，即， 解得：， 即点； （3）点在抛物线上， 当时，， 即点， 点、点、、， 则， 同理可得：， ，， △△， 当，即， 解得：或． 当时，则， 解得：（此时，△△，舍去）； 综上，或． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 13．（2024•闵行区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴相交于、两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如果点是轴正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点和点的坐标（不需要说明理由）； （3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”． 如果点是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）的坐标为，，的坐标为，； （3）或． 【分析】（1）把，代入可解得，的值，即可得到抛物线的表达式为； （2）求出，而，，可得，，即得，而，故，可得，即可推得，为的中点，从而的坐标为，，由菱形性质，平移性质得的坐标为，； （3）由可得抛物线的对称轴为直线，求出直线的解析式为，直线与对称轴的交点坐标为，，直线的解析式为：，直线与抛物线对称轴的交点坐标为，，由图可得或． 【解答】解：（1）把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图： 在中，令得， 解得：，， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 为的中点， 的坐标为，， 四边形是菱形， ， 把点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点， 把点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点， 的坐标为，； （3）如图： 由可得抛物线的对称轴为直线， 抛物线对称轴与轴的交点坐标为，， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与对称轴的交点坐标为，， 同法可得直线的解析式为：，直线与抛物线对称轴的交点坐标为，， 点是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为，且四边形是凹四边形， 当点在，之间或点在点下方时，满足题意， 或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质及应用，菱形性质及应用，凹四边形等知识，解题的关键是画出图形，运用数形结合思想解决问题． 14．（2024•普陀区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且． （1）当点的坐标为时，求这个抛物线的表达式； （2）抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数与之间的数量关系； （3）以点为圆心，为半径作，与直线相交于点、，当点在直线上时，用含的代数式表示的长． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）； （3）的长为． 【分析】（1）过作轴于，由为抛物线的顶点，，可得，而抛物线的顶点，故，，且，可得，代入得，从而可求出抛物线的表达式为； （2）过作轴于，由抛物线的顶点坐标为，可得，，即得的坐标为，代入得：，又在第一象限，，可得； （3）延长交于，连接，过作轴于，设直线交轴于，由可知，，有，，可得是等腰直角三角形，而在直线上，可得，，同（2）可知，，，，故，，，求出，，可得，，从而，由勾股定理得，由垂径定理可知，，结合（2）知． 【解答】解：（1）过作轴于，如图： 为抛物线的顶点， ， ，轴， ， 抛物线的顶点， ，，且， ， ， 把代入得： ， 解得：， ， 抛物线的表达式为； （2）过作轴于，如图： 为抛物线的顶点， ， ，轴， ， 抛物线的顶点坐标为， ，， ， 的坐标为， 把代入得：， 在第一象限， ， ； （3）延长交于，连接，过作轴于，设直线交轴于，如图： 由可知，， ， ， 是等腰直角三角形， 在直线上， ， ， ， 同（2）可知，，，， ，， ， 在中，令得， ，， ， ， ， ， 由垂径定理可知，， 由（2）知， ， ； 的长为． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上电坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 15．（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、两点，顶点为点． （1）求、的值； （2）如果点在抛物线的对称轴上，射线平分，求点的坐标； （3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点在射线上，抛物线与轴交于点，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 【答案】（1），； （2）点，； （3）抛物线的表达式为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明△为等腰直角三角形，则点在上，点代入上式得：，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于点、点， 则点、的坐标分别为：、， 则，解得：， 即，； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线， 作点关于直线的对称点，交于点， 平分， 则， 过点作轴的平行线交于点，连接， ， 则，则为等腰直角三角形， 同理可得：△为等腰直角三角形， 则△为等腰直角三角形，则点在上， 设点，，则， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达， 将点代入上式得：， 解得：， 则点，； （3）设点， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点， 由点、、的坐标得，，，， 当时， 则， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； 当或时， 则或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即抛物线的表达式为：， 综上，抛物线的表达式为：或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、解直角三角形、等腰三角形的性质等，分类求解是解题的关键． 16．（2024•静安区校级二模）如图，已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图2，点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； （3）点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的解析式． 【答案】（1）；； （2）； （3）． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式为，再运用配方法化为顶点式即可得出抛物线的顶点的坐标为； （2）设，且，连接，设抛物线的对称轴交轴于，利用抛物线的对称性可得，由翻折的性质可得：，，推出是等边三角形，得出，，再运用解直角三角形即可求得答案； （3）取（2）中的点，连接，，设直线交轴于点，可得为等边三角形，再证得，得出，利用解直角三角形求得，再运用待定系数法即可求得直线的表达式． 【解答】解：（1）抛物线经过点，点， ， 解得：， ， 抛物线的顶点的坐标为； （2）设，且，如图，连接，设抛物线的对称轴交轴于， 则， 点、关于直线对称， ， ，，， 由翻折得：，， 点在抛物线的对称轴上， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （3）取（2）中的点，连接，，设直线交轴于点， ， 为等边三角形， ， ， ， 点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，为等边三角形， ，， ，即， ， ， 在中，，，， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把、代入，得：， 解得：， 直线的表达式为． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，解本题的关键，是二次函数综合题，熟练掌握代入法求二次函数解析式，添加辅助线构造全等三角形． 17．（2024•宝山区校级二模）如图，已知抛物线与两坐标轴分别交于点，，为抛物线上第一象限内的一个动点，点关于直线的对称点为． （1）求，的值和抛物线对称轴； （2）当点在坐标轴上时，求此时点的坐标； （3）是否存在点在抛物线上的情况？如果存在，求此时点的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）的值是，的值是3，对称轴是直线． （2）当点在坐标轴上时，点的坐标为． （3）点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再进行配方即可求解． （2）分情况讨论，点在轴上和点在轴上时两种情况求解． （3）作辅助线，待定系数法求出的解析式，再设出点、点、点，根据题意列出相关等式求解即可． 【解答】解：（1）抛物线过，两点， ， 解得． ，对称轴是直线． 答：的值是，的值是3，对称轴是直线． （2），， 是等腰直角三角形，． ①若点在轴上，则， ，即轴， 显然不成立，所以点不可能在轴上． ②当点在轴上时，，则， 点与点的纵坐标相同，都为3， 解方程， 得，， 点为． 综上所述，当点在坐标轴上时，点的坐标为． 答：当点在坐标轴上时，点的坐标为． （3）存在点在抛物线上的情况． 如图，作轴，交直线于点，连接，， 轴， ， ， 即，是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线为． 设点的横坐标为，， 则点的坐标为， 点和点的纵坐标相同，点和点的横坐标相同， ，， 把代入抛物线解析式， 得， 化简得， 把代入抛物线解析式， 得， 化简得， ， 解得或（不合题意，舍去）． ， 点的坐标为． 答：点的坐标为． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 18．（2023•嘉定区二模）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过、、三点． （1）求点、的坐标； （2）联结、、，当时， ①求抛物线表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线的对称轴为：，对于，令，则，即点，根据抛物线的对称性，则点，即可求解； （2）①求出直线的表达式为：，得到点，即可求解； ②过点作直线交轴于点，在点的上方取点，使，则，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：， 对于，令，则，即点， 根据抛物线的对称性，则点， 即点、的坐标分别为：、； （2）①由点的坐标得， ， 则， ，则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； ②存在，理由： 过点作直线交轴于点，在点的上方取点，使， 则，过点作直线， 则直线的表达式为：， 则，则， 即点， 则直线的表达式为：， 当时，，则点； 则直线的表达式为：②， 当时，， 即点； 故 点坐标为：或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、平行线的性质等，有一定能够的综合性，难度适中． 19．（2023•金山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； （3）点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】（1），抛物线的对称轴为；（2）的坐标为：；（3）点的坐标为：或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，得到坐标为：，进而求解； （3）当点在上方时，在中，，，，求出，即可求解；当点在下方时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为； （2）由题意得，新抛物线的表达式为：， 则顶点坐标为：， 将该点坐标代入得：， 解得：（舍去）或， 即的坐标为：； （3）由、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在上方时， 过点作于点，设交抛物线对称轴于点， 当时，，即点， 由点、的坐标得，， 由直线的表达式知，其与轴坐标轴的夹角为， 即， 在中，，，， 设，则， 则，则， 则， 则点的坐标为：； 当点在下方时， 同理可得：， 则点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、解直角三角形、图象的平移等，有一定的综合性，难度适中． 20．（2023•杨浦区二模）已知抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点、分别平移到点、处，且都在直线上，设点在抛物线上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，设点为线段上的一点，，交直线于点，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式； （2）根据、的坐标求得直线的解析式为，根据题意求得，求得轴，设，则，从而得出，解方程即可求得的坐标； （3）先求得四边形是矩形，作，交于，然后根据，对应边成比例即可求得． 【解答】解：（1）抛物线经过点和， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）如图1， ，， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 是以为底的等腰直角三角形， ， 由平移得， ， 设，则， ， 解得（舍或， ； （3）如图2， 抛物线的解析式为，令，则， 解得或， ， 点和， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 21．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面中，直线分别与轴、轴交于、两点，抛物线经过、两点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）抛物线与轴的另一个交点为，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移个单位，使点落在内，求的取值范围； （3）对称轴与直线交于点，是线段上的一个动点不与重合），过作轴的平行线交原抛物线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点的坐标是； （2）的取值范围是得； （3）点的坐标为或． 【分析】（1）由直线分别与轴、轴交于、两点，求得，，再将，代入，列方程组并且解该方程组，即可求得抛物线的解析式为，再将该解析式配方成顶点式，可求得抛物线的顶点的坐标是； （2）抛物线的对称轴为直线，则，将代入，得，求得符合题意的值为，则，，过点作轴于点，交于点，则，，直线，当时，，则，，由抛物线向上平移个单位，点落在内，得，即可求得的取值范围是得； （3）作于点，于点，可求得，则，设，则，所以，当点在直线的左侧，可证明，得，则，所以四边形是平行四边形，则，于是得，求得符合题意的得值为2，则；当点在直线的右侧，可证明，则，所以，于是得，求得符合题意的值为4，则． 【解答】解：（1）直线，当时，； 当时，则，解得， ，， 抛物线经过、两点， ，解得， 抛物线的解析式为； ， 抛物线的顶点的坐标是． （2）抛物线的顶点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 在抛物线对称轴左侧的图象上， ， 将代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， 如图1，过点作轴于点，交于点，则，， 直线，当时，， ，， 点与点关于直线对称， ， 抛物线向上平移个单位，点落在内， ，解得， 的取值范围是得． （3）作于点，于点， 直线，当时，， ， ， 设，则， ， 当点在直线的左侧，如图2， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，解得，（不符合题意，舍去）， ； 当点在直线的右侧，如图3， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，解得，（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$