习题课2 曲线的切线问题-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

习题课2　曲线的切线问题 　 第六章 导数及其应用 学习目标 1.会求在某点处、过某点的切线方程．　 2.会求与切线有关的求参问题．　 3. 理解并掌握两条曲线的公切线的求法． 类型一　求“在某点处的切线”或“过某点的切线” 问题 1 课时测评 4 类型二　 与切线有关的求参问题 2 内容索引 类型三　 两条曲线的公切线问题 3 类型一　求“在某点处的切线”或“过某点的切线”问题 返回 例1　 (1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________． y＝3x 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，所以该切线斜率k＝e0×3＝3，所以切线方程为y＝3x. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_________，________________. 规律方法 1．求曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线方程的步骤 第一步：求出函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f′(x0)； 第二步：根据直线方程的点斜式，得切线方程为y－f (x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤 第一步：设切点为P′(x′，f (x′))，求切线的斜率k＝f′(x′)，结合切点P′在切线上，写出切线方程； 第二步：由切线过点P，将P点的坐标代入切线方程，建立关于x′的方程，解得x′的值，进而求出切线方程． 对点练1.(1)曲线y＝x3－2x2在点(1，－1)处的切线方程为 A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3 D．y＝－x 由y＝x3－2x2，得y′＝3x2－4x，所以y′|x＝1＝－1.所以曲线y＝x3－2x2在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.故选D． √ (2)(多选)(2024·黑龙江双鸭山高二期末)已知曲线f (x)＝2(x＋1)3＋1，则曲线过点P(0，3)的切线方程为 A．6x＋y－3＝0 B．6x－y＋3＝0 C．5x－2y＋6＝0 D．3x－2y＋6＝0 设切点坐标为(x0，2(x0＋1)3＋1)，因为f′(x)＝6(x＋1)2，所以切线斜率k＝f′(x0)＝6(x0＋1)2，所以切线方程为y－[2(x0＋1)3＋1]＝6(x0＋1)2(x－x0)，又切线过点P(0，3)，所以3－[2(x0＋1)3＋1]＝6(x0＋1)2(－x0)，化简 √ √ 返回 类型二　 与切线有关的求参问题 返回 √ (2)(2024·陕西咸阳高二期中)若直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切，则 A．2m＋n为定值 B．m＋3n为定值 C．m＋n为定值 D．m＋2n为定值 √ 规律方法 1．一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步得角α或有关参数的值． 2．求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．　 对点练2.(1)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________． (－∞，－4)∪(0，＋∞) 返回 (2)(2024·重庆万州高二联考)已知曲线C1：y＝sin x＋ax2上一点(1，2)处的切线为l，若曲线C2：y＝x3－bx2＋1上至多存在一条与l垂直的切线，则实 数b的取值范围是______________． 返回 类型三　 两条曲线的公切线问题 返回 例3　(1)已知曲线f (x)＝x3＋ax＋ 在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，求实数a的值． 得f ′(x)＝3x2＋A． (2)求曲线f (x)＝ex－1和曲线g(x)＝ln x＋1公切线的方程． 解：根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)， 对于f (x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，则k1＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋em(1－m)－1， 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0，或m＝1， 则公切线方程为y＝ex－1，或y＝x. 规律方法 解决两曲线的公切线问题的两种方法 1．利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． 2．分别写出曲线y＝f (x)在P1(x1，f (x1))与曲线y＝g(x)在P2(x2，g(x2))的切线方程l1与l2，并分别写成y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2，利用公切线列出 求解． 对点练3.若函数f (x)＝x2－ax＋3，g(x)＝ln x和直线l：y＝kx－1，f′(3)＝3. (1)求a的值； 解：由已知得f′(x)＝2x－a， 因为f′(3)＝3，所以a＝3. (2)是否存在实数k，使得直线l既是函数f (x)图象的切线，又是g(x)图象的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 解：假设存在k，设直线l与f (x)，g(x)的图象相切的切点的横坐标分别为x1，x2， 解得x1＝2，x2＝1，k＝1. 所以存在k＝1，使得直线l既是函数f (x)图象的切线，又是g(x)图象的 切线． 返回 课时测评 返回 1．已知函数f (x)＝ln x＋2x2－4x，则函数f (x)的图象在x＝1处的切线方 程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．x－y＋3＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋3＝0 由f (x)＝ln x＋2x2－4x，得f ′(x)＝ ＋4x－4，所以f ′(1)＝1，又f (1)＝ －2，所以函数f (x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C．－2 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为 A．e B．－e √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若曲线f (x)＝x ln x＋x在点(1，1)处的切线与直线2x＋ay－4＝0平行，则a＝_____． －1 因为f (x)＝x ln x＋x(x＞0)，所以f ′(x)＝ln x＋2，所以f (x)在x＝1处的切线斜率k＝f ′(1)＝2.由条件知－ ＝2，解得a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知直线y＝k1x与y＝k2x(k1>k2)是曲线y＝ax＋2ln |x|(a∈R)的两条切线，则k1－k2＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．曲线y＝ln x＋1在点(1，1)处的切线也是y＝ex＋a的切线，则a＝______． －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)(2024·安徽芜湖高二质量监控)已知函数f(x)＝x2＋x与函数g(x)＝ln x＋2x. (1)求曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程；(4分) 解：因为f (x)＝x2＋x，所以f ′(x)＝2x＋1，f ′(0)＝1. 所以f (x)在(0，0)点处的切线方程为y＝x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)在公共点处的公切线方程．(6分) 解：设曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)的公切点为P (x0，y0)， 所以P(1，2)，f′(1)＝3， 所以所求公切线方程为y－2＝3 (x－1)，即3x－y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)已知函数f (x)＝x2－1，g(x)＝ln x．下列说法正确的是 A．f (x)与g(x)的图象在点(1，0)处有公切线 B．存在f (x)的图象的某条切线与g(x)的图象的某条切线互相平行 C．f (x)与g(x)的图象有且只有一个交点 D．f (x)与g(x)的图象有且只有两个交点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f ′(x)＝2x，g′(x)＝ ，则f ′(1)＝2，g′(1)＝1，二者不相等， 即在点(1，0)处，f (x)与g(x)的图象的切线斜率不相等，故 在点(1，0)处没有公切线，故A错误；两切线平行即两切 线斜率相等，因为f ′(x)＝2x∈R，g′(x)∈(0，＋∞)，故 存在x1∈R，x2∈(0，＋∞)，使f′(x1)＝g′(x2)．因此f (x)与g(x)的图象有互相平行的切线，故B正确；在同一平面直角坐标系中，作出f (x)，g(x)的图象，如图，观察图象可知C错误，D正确．故选BD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知函数f (x)＝xln x，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1，0)存在一条直线l与曲线y＝f (x)和y＝g(x)都相切，则实数a＝___． 1 设直线l与曲线y＝f (x)相切于点(x0，y0)，因为f (x)＝xln x，所以f ′(x)＝1＋ln x，所以f ′(x0)＝1＋ln x0，所以直线l：y－x0ln x0＝(1＋ln x0)(x－x0)，又直线l过点A(1，0)，所以－x0ln x0＝(1＋ln x0)(1－x0)，所以1－x0＋ln x0＝0，解得x0＝1，所以y0＝0，所以切点为A(1，0)，所以曲线y＝f (x)在点A(1，0)处的切线方程为y＝x－1，由 得ax2－2x＋1＝0，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)(2024·江西部分学校期中联考)已知函数f(x)＝(x－a)2，g(x)＝－(x－b)2. (1)当a＝1时，求曲线f (x)在x＝0处的切线方程；(6分) 解：当a＝1时，f ′(x)＝2(x－1)，f (0)＝1，f ′(0)＝－2. 所以曲线f (x)在x＝0处的切线方程为y－f (0)＝f ′(0)(x－0)，即y＝－2x ＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a＋b＝1，是否存在直线l与曲线f (x)，g(x)都相切？若存在，求出直线l的方程(若直线l的方程含参数，则用a表示)；若不存在，请说明理由．(9分) 解：设直线l与曲线f (x)，g(x)分别相切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由题知f ′(x)＝2(x－a)，g′(x)＝－2(x－b)，则－2(x2－b)＝2(x1－a)，即x1＋x2＝a＋b． 曲线f (x)在点A处的切线方程为y－(x1－a)2＝2(x1－a)(x－x1)， 又该切线过点B， 所以－(x2－b)2－(x1－a)2＝2(x1－a)(x2－x1)．(*) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由x1＋x2＝a＋b，得x1－a＝－(x2－b)， 代入(*)，得－(x1－a)2＝(x1－a)(x2－x1)， 解得x1＝a，或x2＝a， 当x1＝a时，直线l：y＝0， 当x2＝a时，x1＝a＋b－x2＝1－a， 直线l：y＝2(1－2a)x＋2a－1. 故存在直线l与曲线f (x)，g(x)都相切，直线l的方程为y＝0，或y＝2(1－2a)x＋2a－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知函数f (x)在R上满足f (2－x)－2f (x)＝－x2－4x＋4，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为 A．6x－y－5＝0 B．6x－y＋5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋1＝0 √ 对f (2－x)－2f (x)＝－x2－4x＋4两边求导，得(2－x)′·f′(2－x)－2f′(x)＝－2x－4，即f′(2－x)＋2f′(x)＝2x＋4，所以f′(2－1)＋2f′(1)＝2×1＋4，因此3f′(1)＝6，即f′(1)＝2.又f (2－1)－2f (1)＝－12－4×1＋4，即f (1)＝1，故曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)(2024·江苏苏州高二期末)已知函数f (x)＝ex－b和g (x)＝ －b2，其中a，b为常数且b>0. (1)当b＝1时，求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；(5分) 解：当b＝1时，f (x)＝ex－1，当x＝1时，切点为(1，e－1)， 因为f′(x)＝ex，切线斜率为f′(1)＝e， 所以切线方程为y－(e－1)＝e(x－1)， 即y＝ex－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若存在斜率为1的直线与曲线y＝f (x)和y＝g (x)都相切，求 的最小值．(10分) 所以x1＝0，则A (0，1－b)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 导 数 及 其 应 用 返回 y＝x y＝－x(不分先后) 例2　 (1)已知函数f (x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则实数m的值为 A． B． C． D． 由题意得，y′＝＝(x>0)，因为曲线在点(1，0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，所以＝－a，解得a＝ －.故选A． 解：f(x)＝ex－b的定义域为R，g (x)＝－b2的定义域为(－a，＋∞)， 且f′(x)＝ex，g′(x)＝， $$