6.1.1 函数的平均变化率（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

第六章 导数及其应用 6.1.1 函数的平均变化率 知识点归纳 知识点一、函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的定义：一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，则当Δx≠0时，商称作函数y＝f(x)在区间[x1，x1＋Δx](或[x1＋Δx，x1])的平均变化率． ＝ 2．如何理解Δx，Δy的含义：Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)． 3．求平均变化率的步骤 求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1). 4．关于函数的平均变化率，应注意以下几点 (1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)在公式eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx)中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0，则eq \f(Δy,Δx)＝0. (5)平均变化率的几何意义： 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率为割线AB的斜率，如图所示． ＝＝ 知识点二、平均速度与平均变化率 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为eq \f(h (t2)－h(t1),t2－t1)(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 典例分析 一、求函数的平均