6.2.2 第1课时 函数的导数与极值-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第1课时　函数的导数与极值 　 第六章 6.2.2　导数与函数的极值、最值 知识目标 1.理解极值、极值点的概念，了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件．　 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值．　 3.能利用导数解决与函数极值相关的综合问题 素养目标 通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养；利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示：在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷． 问题2.你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示：以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f ′(x)>0，在x∈(x1，x2)上函数是单调递减的，且有f ′(x)<0，函数图象是连续不断的，f ′(x)的变化也是连续不断的，并且有f ′(x1)＝0. 问题导思 知识点一　极值点与极值 1．极值点与极值的一般解释 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)f (x)<f (x0)，则称x0为函数f (x)的一个极大值点，且f (x)在x0处取______； (2)f (x)>f (x0)，则称x0为函数f (x)的一个极小值点，且f (x)在x0处取______． ________与________都称为极值点，________与________都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 新知构建 极大值 极小值 极大值点 极小值点 极大值 极小值 2．极值点与极值的导数解释 一般地，设函数f (x)在x0处可导，且f ′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有________，对于x0右侧附近的任意x，都有________，那么此时x0是f (x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有__________，对于x0右侧附近的任意x，都有________，那么此时x0是f (x)的极小值点． (3)如果f ′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为______(或均为______)，则x0一定不是y＝f (x)的极值点． f ′(x)>0 f ′(x)<0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 正号 负号 1.对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，极值点是区间内部的点而不会是端点． (2)若f (x)在某区间内有极值，那么f (x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 2．对函数取极值条件的认识 (1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f (x)在一点的导数值为零是函数y＝f (x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”． (2)可导函数f (x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在点x0左侧和右侧 f ′(x)的符号不同． 微提醒 3．对于函数极值点的认识 (1)函数f (x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数f (x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f (x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的． (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 知识点二　求可导函数y＝f (x)的极值的方法 解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是________； (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是________． 极大值 极小值 1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 自主检测 设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则 f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值． √ A．0 B．－1 C．0或1 D．1 因为f ′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f ′(x)＝0得x＝0或x＝1.又当x＞1时，f ′(x)＞0，0＜x＜1时，f ′(x)＜0，所以1是f (x)的极小值点．又x＜0时，f ′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点． √ 3. (多选)如图是函数y＝f (x)的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是 A．f (x)在[－2，－1]上是增函数 B．当x＝－1时，f (x)取得极小值 C． f (x)在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数 D．当x＝3时，f (x)取得极小值 根据图象知当x∈(－2，－1)或x∈(2，4)时，f ′(x)<0，函数单调递减；当x∈(－1，2)或x∈(4，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．故A错误；故当x＝－1时，f (x)取得极小值，故B正确；C正确；当x＝3时，f (x)不取得极值，故D错误．故选BC． √ √ 4．若可导函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则 f ′(1)＝_____，1是函数f (x)的________值点． 0 极大 由题意可知，当x＜1时，f ′(x)＞0，当x＞1时，f ′(x)＜0，所以f ′(1)＝0，1是函数f (x)的极大值点． 5．函数y＝sin x－2x在R上的单调性是________． 单调递减 因为y′＝cos x－2，当x∈R时，cos x≤1，则cos x－2<0恒成立，即y′<0，所以函数y＝sin x－2x在R上是单调递减的． 返回 合作探究 返回 题型一　利用导数求函数的极值 例1　 求下列函数的极值： [点拨]　首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值． 解：函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝x2－2x－3. 令f ′(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： 由上表可以看出，x＝－1是f (x)的极大值点，x＝3是f (x)的极小值点． 所以f (x)极大值＝ ，f (x)极小值＝－6. x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值－6 ↗ 解：函数的定义域为(0，＋∞)． 又函数的定义域是(0，＋∞)，故x2＝－1舍去． 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － f (x) ↗ 极大值－ ↗ 规律方法 利用导数求函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求导数f ′(x)； 第三步：解方程f ′(x)＝0得方程的根； 第四步：利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号； 第五步：确定函数的极值，如果f ′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f (x)在x0处取得极大(小)值． [注意]　当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 对点练1.(1)函数f (x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数的函数值左负右正的只有一个，故 f (x)在(a，b)内的极小值点只有一个．故选A． (2)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f (x)＝ x3＋4x2＋9x－1的极值点，则 a5＝ A．－4 B．－3 C．3 D．4 √ 例2　 如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象，对此图象，有如下 结论： ①在区间(－2，1)内f (x)是增函数； ②在区间(1，3)内f (x)是减函数； ③x＝2时，f (x)取到极大值； ④在x＝3时，f (x)取到极小值． 其中正确的是____(将你认为正确的序号填在横线上)． [点拨]　根据函数y＝f ′(x)的图象，分析并找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正含义，再做判断． ③ 规律方法 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f (x)的图象还是 f ′(x)的图象，若给的是f (x)的图象，应先找出f (x)的单调区间及极值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解． 对点练2.已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数)，给出以下说法：①函数f (x)在区间(1，＋∞)内是增函数；②函数f (x)在x＝－1处取得极大值；③函数f (x)在x＝－ 处取得极大值；④函数f (x)在x＝1处取得极小值，其中正确的说法有________．(填所有正确的序号) ①②④ 从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf ′(x)>0，于是 f′(x)>0，故f (x)在区间(1，＋∞)内是增函数，故①正确； 当x∈(－∞，－1)时，xf ′(x)<0，所以f ′(x)>0，当x∈(－1， 0)时，xf ′(x)>0，所以f ′(x)<0，故函数f (x)在x＝－1处取得 极大值，故②正确；当x∈(－1，0)时，f ′(x)<0，所以函数f (x)在区间 (－1，0)内是减函数，故③不正确；当x∈(0，1)时，xf ′(x)<0，于是 f ′(x)<0，故f (x)在区间(0，1)内是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x)在x＝1处取得极小值，故④正确． 题型三　求参数的值或取值范围问题 例3　 已知f (x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值． [点拨]　本题的关键是理解“f (x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f ′(x)取值左、右 异号． 解：f ′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)． 由题意，f ′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f ′(x)＝5ax2(x2－1)． (1)当a＞0时，x变化时，y，y′的变化情况如下表： 又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2. (2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2. 综上，a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2. x (－∞，－1) －1 (－1， 0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y ↘ 极大值 ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗ 规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点： 1．根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性． 对点练3.(1)已知函数f (x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝ A．－2 B．2 C．0 D．1 √ (2)设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围为__________． (－∞，－1) 因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a，由题意知方程ex＋a＝0有大于零的解．因为当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1. 易错点　忽视极值存在的条件致误 已知函数f (x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值． 易错分析　可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号，这点易被忽略． 误区警示　由于“f ′(x0)＝0”是“f (x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就可能会导致错解． 易错精析 正解　f ′(x)＝3x2＋12mx＋4n， 依题意有 当m＝1，n＝3时，f ′(x)＝3x2＋12x＋12＝3(x＋2)2≥0， 所以f (x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6<x<－2时，f ′(x)<0，当x>－2时，f ′(x)>0， 故f (x)在x＝－2处取得极值，符合题意． 综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38. 返回 随堂演练 返回 1．函数f (x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a，b)内的极大值点 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 依题意，记函数y＝f ′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f ′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f ′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f ′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f ′(x)＜0.因此，函数f (x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值．故选B． √ √ 3．函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围为 A．(0，3) B．(－∞，3) C．(0，＋∞) D． √ 4．已知a为正实数，若函数f (x)＝x3－3ax2＋2a2的极小值为0，则a的值为____． 返回 由题意f ′(x)＝3x2－6ax＝3x(x－2a)，因为a>0，所以x<0或x>2a时， f ′(x)>0，0<x<2a时，f ′(x)<0，所以f (x)在(－∞，0)和(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减，f (x)的极小值是f (2a)＝8a3－12a3＋2a2＝0，解得a＝ (a＝0舍去)． 课时测评 返回 1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x) A．有三个极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 f ′(x)的符号由正变负，则f (x0)是极大值，f ′(x)的符号由负变正，则f (x0)是极小值．由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．已知函数f (x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是 A．(2，3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) √ 因为f ′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，所以f ′(2)＝0，24＋4a＋36＝0，a＝－15，所以f ′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f ′(x)＞0得x＜2或x＞3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f (x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定 A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．小于或等于0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．已知函数f (x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．(多选)已知函数f (x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则下列结论正确的是 A．f (x1)<0 B．f (x1)≥0 C．f (x2)<－1 D．f (x2)>－ 由于函数f (x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，所以f ′(x) ＝1－2ax＋ln x＝0有两个不相等的实根，即曲线y＝ 1＋ln x与直线y＝2ax有两个不同的交点，如图， √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_______________________． (－∞，－1)∪(2，＋∞) f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f (x)既有极大值又有极小值，所以方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．若函数f (x)＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围为___________. 因为f (x)＝ x3－4x＋4，所以f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f (x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．已知函数f (x)＝xe－x(x∈R)，当x＝____时，f (x)取得极大值为___． 因为f ′(x)＝e－x＋xe－x·(－1)＝(1－x)e－x.所以由f ′(x)＝0得x＝1.当x<1时， f ′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.所以当x＝1时，f (x)取极大值f (1)＝e－1＝ . 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)求下列函数的极值： (1)f (x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(4分) 解：函数f (x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R， f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)， 令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： 所以当x＝－2时，f (x)取极大值21； 当x＝1时，f (x)取极小值－6. x (－∞，－2) －2 (－2，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ 极大值21 ↘ 极小值－6 ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)f (x)＝x2－2ln x．(6分) 解：函数f (x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x)＝0， 得x1＝1，x2＝－1(舍去)． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f (x) ↘ 极小值1 ↗ 因此当x＝1时，f (x)有极小值1，无极大值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)(2024·九省适应性测试)已知函数 f (x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点 处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a；(4分) 解：因为f (x)＝ln x＋x2＋ax＋2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求f (x)的单调区间和极值．(6分) 解：由a＝－3，得f (x)＝ln x＋x2－3x＋2， f (x)有极小值f (1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)(多选)已知函数f (x)＝ax－ln x(a∈R)，则下列说法正确的是 A．若a≤0，则函数f (x)没有极值 B．若a>0，则函数f (x)有极值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx－17(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，f ′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f (x)的极小值等于－98，则a的值是 √ 由题意知f ′(x)＝3ax2＋2bx＋C．因为f ′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，所以a>0，且－2＋3＝－ ，－2×3＝ ，则3a＝－2b，c＝－18a，且可得f (x)的极小值为f (3)＝27a＋9b＋3c－17＝－98，解得a＝2，b＝－3，c＝－36.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(15分)函数f (x)＝ln(x＋a)－ 存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围． 设g(x)＝x2＋x＋1－a， 可知f (x)存在两个不同的极值点等价于g(x)在(－a，＋∞)上存在两个不同的零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(15分)已知x＝1时，函数f (x)＝ax3＋bx有极值－2. (1)求实数a，b的值；(6分) 解：因为f (x)＝ax3＋bx， 所以f ′(x)＝3ax2＋B． 又因为当x＝1时，f (x)的极值为－2， 解得a＝1，b＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若方程f (x)＝k有3个实数根，求实数k的取值范围．(9分) 解：由(1)可得f (x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)·(x－1)， 令f ′(x)＝0，得x＝±1， 当x＜－1或x＞1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0， f (x)单调递减． 所以当x＝－1时，f (x)取得极大值，f (－1)＝2；当x＝1时f (x)取得极小值，f (1)＝－2，大致图象如图所示： 要使方程f (x)＝k有3个解，只需－2<k<2. 故实数k的取值范围为(－2，2)． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 导 数 及 其 应 用 返回 (1)f (x)＝x3－x2－3x＋3； 因为f (x)＝x3＋4x2＋9x－1，所以由f ′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，所以a3<0，a7<0，a5<0，因为等比数列中a＝a3·a7，所以a5＝－3.故选B． 易得直线y＝x与曲线y＝1＋ln x相切于点(1，1)，可得0<2a<1，0<x1<1<x2，所以0<a<，f (x1)＝x1(ln x1－ax1)<0.因为当x1<x<x2时，f′(x)>0，所以f (x2) >f (1)＝－a>－.故选AD． 结合图象知－<a<. 由题意得，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝a－＝.当a≤0时，f ′(x)<0恒成立，此时f (x)单调递减，没有极值．当x→0时，f (x)→＋∞，当x→＋∞时，f (x)→－∞，所以f (x)有且只有一个零点；当a>0时，在上有f′(x)<0，f (x)单调递减；在上有f′(x)>0，f (x)单调递增；当x＝时，f (x)取得极小值，极小值为f ＝1＋ln A．当x→0时，ln x→－∞，f (x)→＋∞，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当1＋ln a＝0，即a＝时，f (x)有且只有一个零点；当1＋ln a<0，即0<a<时，f (x)有且仅有两个零点，综上可知A、B、D正确，C错误．故选ABD． $$