6.2.1 导数与函数的单调性-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

6.2.1　导数与函数的单调性 　 第六章 6.2　利用导数研究函数的性质 知识目标 1.理解导数与函数的单调性的关系．　 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．　 3.会用导数求函数的单调区间．　 4.会根据函数的单调性求参数的值或范围． 素养目标 通过利用导数判断函数单调性的学习，提升数学抽象素养；借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题．进一步猜想，函数的瞬时变化率(即导数)与其单调性是否也密切相关？有怎样的关系？ 提示：函数的瞬时变化率(即导数)与其单调性密切相关．其关系为：如果在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则f (x)在(a，b)上是增函数；如果在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则f (x)在(a，b)上是减函数． 问题导思 知识点一　函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： 新知构建 f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递____ f ′(x)＜0 单调递____ 增 减 (1)如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f (x)是常数函数． (2)若在某区间上有有限个点使f ′(x)＝0，其余的点恒有f ′(x)>0，则f (x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． (3)f (x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0. 微提醒 知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 ____ 比较“______”(向上或向下) 越小 ____ 比较“______”(向上或向下) 快 陡峭 慢 平缓 常见的对应情况如下表： 微提醒 图象 f′(x) 变化规律 f′(x)>0 且越来越大 f′(x)>0 且越来越小 f′(x)<0 且越来越小 f′(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 1．函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 自主检测 因为f (x)＝2x－sin x，所以f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．故选A． √ 2．函数y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是 因为函数f (x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以当x＞0时，f ′(x)＜0，当x＜0时，f ′(x)＜0. √ 3．(多选)函数y＝f (x)的图象如图所示，给出以下说法，正确的是 A．函数y＝f (x)的定义域是[－1，5] B．函数y＝f (x)的值域是(－∞，0]∪[2，4] C．函数y＝f (x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f (x)在定义域内的导数f′(x)＞0 由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故A、B正确．故选AB． √ √ 4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________． (0，＋∞) 因为f (x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.所以 f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 5．函数f (x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，则实数a的取值范围为________． f′(x)＝3ax2－2x＋1.由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，当a＝0时，－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上不恒成立，所以y＝3ax2－2x＋1为 返回 合作探究 返回 题型一　利用导数研究函数的单调性 例1　 (1)已知f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是 [点拨]导函数值的正负决定原函数的增减趋势； 由导函数的图象可知，当x<0时，f ′(x)>0，即函数f (x)为增函数；当0<x<x1时，f ′(x)<0，即函数f (x)为减函数；当x>x1时，f ′(x)>0，即函数 f (x)为增函数，观察选项易知C正确． √ (2)证明：函数f (x)＝ 在区间(0，2)上是单调递增函数． [点拨]证明f ′(x)>0在区间(0，2)上恒成立即可． 令f ′(x)>0可知ln x<1，即0<x<e. 规律方法 1．函数的图象与函数的导数关系的判断方法 (1)对于原函数，要判断其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． (2)对于导函数，则判断其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并判断这些区间与原函数的单调区间是否一致． 2．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f (x)的导数f ′(x)：(1)若f ′(x)>0，则y＝f (x)在(a，b)上单调递增；(2)若f ′(x)<0，则y＝f (x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f ′(x)＝0，则y＝f (x)是常数函数，不具有单调性．　 对点练1.函数y＝f (x)在定义域(－ ，3)内可导，其图象如图，记y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，则不等式f ′(x)<0的解集为_____________________． 题型二　求函数的单调区间 例2　 求下列函数的单调区间： [点拨]　先求定义域，再求导函数，令f′(x)>0求得增区间，令f ′(x)<0求得减区间． (1)f (x)＝x3－3x＋1； 解：函数f (x)的定义域为R， f ′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. 所以函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f ′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. 所以函数f (x)的单调递减区间为(－1，1)． 解：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 规律方法 1．利用导数求函数f (x)的单调区间的一般步骤 第一步：确定函数f (x)的定义域； 第二步：求导数f ′(x)； 第三步：在函数f (x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0； 第四步：根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间． 2．若y＝f (x)在(a，b)内可导，f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且y＝f (x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f (x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f ′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．　 解：f (x)的定义域为(－1，1)，函数f (x)是奇函数， 所以只需讨论函数在(0，1)上的单调性． 当0<x<1时，x2＋1>0，(x2－1)2>0， 所以当b>0时，f ′(x)<0，所以函数f (x)在(0，1)上是减函数； 当b<0时，f ′(x)>0，所以函数f (x)在(0，1)上是增函数； 又函数f (x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b>0时，f (x)在(－1，1)上是减函数； 当b<0时，f (x)在(－1，1)上是增函数． 题型三　已知函数的单调性，确定参数的取值范围 例3　 (1)设函数f (x)＝x2＋aln(x＋1)(a为常数)，若函数y＝f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________________． [点拨]　根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解． [－4，＋∞) (2)若函数f (x)＝sin 2x－4x－msin x在[0，2π]上单调递减，则实数m的取值范围为___________． [－2，2] 易知f ′(x)＝2cos 2x－4－mcos x＝2(2cos2x－1)－4－mcos x＝4cos2x－mcos x－6≤0在[0，2π]上恒成立．令t＝cos x，则t∈[－1，1]，g(t)＝4t2 规律方法 1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，注意检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)先令f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)，根据条件求出参数的取值范围，注意检验参数取“＝”时，f (x)是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f (x)恒成立⇒m≥f (x)max. (2)m≤f (x)恒成立⇒m≤f (x)min.　　 对点练3.设函数f (x)＝xekx(k≠0)． (1)求函数f (x)的单调区间； (2)若函数f (x)在区间(－1，1)内单调递增，求实数k的取值范围． 综上可知，函数f (x)在(－1，1)内单调递增时，实数k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 方法二　因为f(x)在(－1，1)内单调递增，所以f ′(x)≥0在(－1，1)内恒 成立． 令g(x)＝kx＋1，则g(x)≥0在(－1，1)内恒成立， 若k>0，则g(－1)≥0，所以－k＋1≥0，所以k≤1， 所以0<k≤1. 若k<0，则g(1)≥0，所以k＋1≥0，所以k≥－1， 所以－1≤k<0. 所以实数k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 易错点　利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误 易错精析 易错分析　解答本题常常因为忽视f(x)的定义域而得到错误的单调区间． 误区警示　在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须先考虑函数的定义域，在定义域的范围之内解决问题． 正解　由已知得x>0，则函数f (x)的定义域为(0，＋∞)． 返回 随堂演练 返回 1．(2024·天津河西区高二期末)设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为 √ 因为f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，所以当x＜1，或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C． 2．(多选)下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝sin 2x B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 对于A，当x>1，则2x>2，则函数y＝sin 2x在区间(1，＋∞)上不单调，故A错误；对于B，y′＝(1＋x)ex>0在区间(1，＋∞)上恒成立，则函数y＝xex在区间(1，＋∞)上为增函数，故B正确；对于C，y′＝3x2－1>0在区间(1，＋∞)上恒成立，则y＝x3－x在区间(1，＋∞)上为增函数，故C正确；对于D，y′＝ <0在区间(1，＋∞)上恒成立，则y＝ln x－x在区间(1，＋∞)上为减函数，故D错误．故选BC． √ √ 3．函数f (x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________． 4．若函数f (x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围为________． 返回 [1，＋∞) 课时测评 返回 1．已知函数f(x)的导函数f ′(x)有下列信息： ①f ′(x)＞0时，－1＜x＜2； ②f ′(x)＜0时，x＜－1或x＞2； ③f ′(x)＝0时，x＝－1或x＝2. 则函数f(x)的大致图象是图中的 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据导函数图象信息知，函数f (x)在(－1，2)上是增函数，在(－∞， －1)，(2，＋∞)上是减函数．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．(多选)已知定义在R上的函数f (x)，其导函数f ′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 A． f (c)>f (b) B． f (c)>f (a) C． f (a)>f (b) D． f (b)>f (a) √ √ √ 由f ′(x)图象可知函数f (x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，又a，b，c∈(－∞，c)，且a<b<c，故f (c)> f (b)>f (a)．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．定义在R上的可导函数f (x)，已知y＝ef′(x)的图象如图所示，则y＝f (x)的增区间是 √ A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．(0，1) D．(1，2) 由题意可知，当f ′(x)≥0时，y≥1，对应的区间是(－∞，2)，故函数y＝ f (x)的增区间为(－∞，2)．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．已知函数f (x)，g(x)对任意实数x，有f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，且当x＞0时，有f′(x)＞0，g′(x)＞0，则当x＜0时，有 A．f ′(x)＞0，g′(x)＞0 B．f ′(x)＞0，g′(x)＜0 C．f ′(x)＜0，g′(x)＞0 D．f ′(x)＜0，g′(x)＜0 由已知，得f (x)为奇函数，g(x)为偶函数．因为当x＞0时，f ′(x)＞0，g′(x)＞0，所以f (x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＜0时，f ′(x)＞0，g′(x)＜0.故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．若函数f (x)＝2x＋ 在区间[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 A．a≥0 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．已知函数f (x)＝kex－1－x＋ x2(k为常数)，曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线与x轴平行，则f (x)的单调递增区间为________． (0，＋∞) 由题知，f′(x)＝kex－1－1＋x，因为曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线与x轴平行，所以f ′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，故f ′(x)＝ex＋x－1.令f ′(x)＞0，解得x＞0，故f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．已知函数f (x)＝2x2－ln x＋1，则f (x)的单调减区间为________． 因为f ( x)＝2x2－ln x＋1(x>0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．已知函数f (x)＝ax2－xln x，若f ′(1)＝3，则a＝____；若函数f (x)在单调递增，则实数a的取值范围是________． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)已知函数y＝f (x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点M(－1，f (－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0. (1)求函数y＝f (x)的解析式；(4分) 解：由y＝f (x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2， 所以f (x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c． 由在点M(－1，f (－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f′(－1)＝6. 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是y＝f (x)＝x3－3x2－3x＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求函数y＝f (x)的单调区间．(6分) 解：f ′(x)＝3x2－6x－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)函数f (x)＝x－aln x的图象在点(1，f (1))处的切线恰好经过点(2，3)． (1)求a；(4分) 则f′(1)＝1－a， 又f (1)＝1，所以函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y－1＝(1－a)(x－1)， 即y＝(1－a)x＋a，把点(2，3)代入切线方程，得3＝2－2a＋a，解得a＝ －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)已知函数g(x)＝f (x)＋x2－bx在其定义域内单调递增，求实数b的取值范围．(6分) 解：由g(x)＝f (x)＋x2－bx＝x＋ln x＋x2－bx，且函数g(x)在其定义域内单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)(多选)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋4(a∈R)，则下列结论正确的是 A．当a＝0时，函数f (x)为奇函数 B．当a>0时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增 C．当a＝－3时，函数f (x)在(0，2)上单调递减 D．若函数f (x)在(0，2)上单调递减，则a<－3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f ′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)，对于A，a＝0时，f (x)＝x3＋4，显然不是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)(新定义)(多选)若函数exf (x)在f (x)的定义域上单调递增，则称函数f (x)具有M性质．下列函数中具有M性质的函数是 A．f (x)＝2－x B．f (x)＝3－x C．f (x)＝x3 D．f (x)＝x2＋2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求f (x)在(1，f (1))处的切线；(6分) 解：函数f (x)的定义域为(0，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)当a＝1时，求f (x)在x＝1处的切线方程；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)讨论函数f (x)的单调性．(9分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ③′当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增； 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 导 数 及 其 应 用 返回 ∪(2，3) 设函数f (x)＝ax－－2ln x，且f ′(2)＝0，求函数f (x)的单调区间． －1＝ $$