6.1.3 基本初等函数的导数-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

6.1.3　基本初等函数的导数 　 第六章 6.1　导数 知识目标 1.理解导函数的概念．　 2.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝ 的导数．　 3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 素养目标 通过导函数概念的学习，培养数学抽象素养；通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数． 问题导思 问题2.如何求常函数f(x)＝c的导数？ 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f (x)＝x⇒f ′(x)＝1＝1x1－1； f (x)＝x2⇒f ′(x)＝2x＝2x2－1； f (x)＝x3⇒f ′(x)＝3x2＝3x3－1； 知识点一　导函数(导数) 一般地，如果函数y＝f (x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f (x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f (x)的定义域内，f ′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f (x)的导 新知构建 函数y＝f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系 (1)“函数在点x0处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，只与x0有关，与Δx无关，不是变数． (2)导函数也简称导数． (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)． 微提醒 知识点二　几个常用函数的导数 原函数 导函数 y＝f (x)＝c y′＝___ y＝f (x)＝x y′＝___ y＝f (x)＝x2 y′＝____ y＝f (x)＝x3 y′＝_____ y＝f (x)＝ y′＝－ y＝f (x)＝ y′＝ 0 1 2x 3x2 知识点三　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝___ f (x)＝xα(α∈Q*，且α≠0) f ′(x)＝__________ f (x)＝sin x f ′(x)＝__________ f (x)＝cos x f ′(x)＝____________ f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝___________ f (x)＝ex f ′(x)＝____ f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝______ f (x)＝ln x f ′(x)＝____ 0 αxα－1 cos x －sin x axln a ex (1)导数定义本身给出了求导函数最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，所以求导数总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．但当用导数定义推导出常见函数的导数公式后，求函数导数就可用公式直接求导，简捷迅速． (2)学习基本初等函数求导公式时不需要对公式进行证明．掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可． (3)要搞清一些函数的内部关系，合理转化函数关系式然后求导，如y＝ ，y＝ 可转化为y＝x ，y＝x－4. (4)若f (x)＝ex，则f ′(x)＝ex，但反之不成立，由导数的定义可知对f (x)＝ex＋C(其中C为任意实常数)，都有f′(x)＝ex，也就是说由f′(x)＝ex，可以推出 f (x)＝ex＋C． 微提醒 自主检测 √ 2．若函数f (x)＝10x，则f′(1)等于 因为f′(x)＝10xln 10，所以f′(1)＝10ln 10. √ 3．(多选)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是 A．f (x)＝ex B．f (x)＝x3 C．f (x)＝ln x D．f (x)＝sin x √ √ √ 若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f ′(x)＝ex＞0，B中f ′(x)＝3x2≥0，C中 f ′(x)＝ (x＞0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线．而D中f ′(x)＝ cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形．故选ABC． 5．函数f (x)＝sin x，则f ′(6π)＝___． 1 f ′(x)＝cos x，所以f ′(6π)＝cos 6π＝1. 返回 合作探究 返回 题型一　利用导数公式求函数的导数 例1　 求下列函数的导数： [点拨] (1)y＝x12； 解：y′＝(x12)′＝12x11. (3)y＝4x； 解：y′＝(4x)′＝4xln 4. (4)y＝log5x； (5)y＝(x－1)(x2＋x＋1)＋1. 解：由y＝(x－1)(x2＋x＋1)＋1得y＝x3－1＋1，即y＝x3，所以y′＝(x3)′＝3x2. 规律方法 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免运算失误． 3．要特别注意“ 与ln”，“ ax与logax ” ，“ sin x与cos x ”的导数区别．　 对点练1.求下列函数的导数： 解：因为y＝5x，所以y′＝5xln 5. (4)y＝lg x； (5)y＝5x； 题型二　利用常用函数的导数求切线方程 例2　 已知曲线y＝ . [点拨]　先求导数，中点P在曲线上，可直接利用导数求出斜率，写出切线方程． (1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； 所以在点P(1，1)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝－3； 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0. (2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程． [点拨]　中点Q不在曲线上，可先设切点为M(x0，y0)，利用导数求出斜率，再利用两点式求得斜率，由同一直线的斜率相等列方程求出x0，即可得到斜率k的值和M的坐标． 故所求的切线方程为256x＋27y－256＝0. 规律方法 常用函数求导数可依据结论直接写出结果， 不必再按定义求解．　 对点练2.(1)已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． (2)求曲线y＝ln x过点O(0，0)的切线方程． 题型三　导数的应用 例3　 如图，设直线l1与曲线y＝ 相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K，求KQ的长． [点拨]　只需求出K、Q两点的横坐标即可． 在直线l2的方程中，令y＝0， 规律方法 解答此题的关键在于求出以曲线上任意一点为切点的切线方程，而切线斜率由导数求出，再求出l2的方程，即可表示出两点坐标，求出两点间线段长度． 对点练3.如图，已知曲线f (x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝ (x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值． 解：设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f (x)相切于点P，得切线l的斜率为f′(x0)＝4x0. 易错点　不能正确理解切点的实质而致误 经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程． 易错分析　本题易误把点P当成切点进行求解． 误区警示　在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2，8)不一定是切点，做题时要高度关注． 易错精析 典例 正解　易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，f ′(2)＝12，切线方程为12x－y－16＝0. 当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x . 所以x0＝－1或x0＝2(舍去)， 所以y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和3x－y＋2＝0. 返回 随堂演练 返回 1．(多选)下列结论正确的是 A．若y＝2 025，则y′＝0 B．若y＝x，则y′＝1 由公式易知ABD正确． √ √ √ A．2 B．－4 C．3 D． √ 3．若函数f (x)的导函数为偶函数，则f (x)的解析式可能是 A．f (x)＝x2 B．f (x)＝cos x C．f (x)＝sin x D．f (x)＝ex √ 对于A，f ′(x)＝2x，为奇函数；对于B，f ′(x)＝－sin x，为奇函数；对于C，f ′(x)＝cos x，为偶函数；对于D，f ′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数． 4．曲线y＝f (x)＝ex在点(2，e2)处的切线方程为___________． 返回 因为f ′(x)＝ex，所以f ′(2)＝e2，所以在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2(x－1)． y＝e2(x－1) 课时测评 返回 1．计算 ＝ A．0 B．1 C．－1 D．±1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若f (x)＝3x，则f′(1)＝ A．3 B．3ln 3 C． D．ln 3 √ f (x)＝3x，则f′(x)＝3xln 3，所以f′(1)＝3ln 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．0 B．－1 C．1 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为 A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1) C．(2，8) D． y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1，1)． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)下列结论不正确的是 A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝ex，则y′＝－ex √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知函数f (x)＝ ，g(x)＝x3，则满足f′(1)＋g′(x)＝1的x的值为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若函数y＝f (x)满足f (x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f ′(x)＝____． 2x 因为f (x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，所以f (x)＝x2，f ′(x)＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求函数在下列各点处的导数： 解：y′＝(cos x)′＝－sin x， (2)y＝ex，x＝3；(2分) 解：y′＝(ex)′＝ex，所以f ′(3)＝e3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)y＝log3x，x＝2.(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(15分)(1)求曲线y＝ 在点B(1，1)处的切线方程；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．(9分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(新定义)若函数y＝f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f (x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是 A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 √ 对于函数y＝sin x，y′＝cos x，设图象上存在这样两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，那么两切线的斜率k1＝cos x1，k2＝cos x2，令k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1，则x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(x2＝2kπ，x1＝2kπ＋π)，k∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|min＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(5分)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝ A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x √ 根据题意，f0(x)＝cos x，则f1(x)＝f′0(x)＝－sin x，f2(x)＝f ′1(x)＝－cos x，f3(x)＝f ′2(x)＝sin x，f4(x)＝f ′3(x)＝cos x，…，则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，故f2 025(x)＝f4×506＋1(x)＝f1(x)＝－sin x．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：不存在，理由如下： 因为y1＝sin x，y2＝cos x， 所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x. 设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若两条切线互相垂直， 则cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1， 所以sin 2x0＝2，显然不成立， 所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 导 数 及 其 应 用 返回 ，y＝ － －1 因为f (x)＝＝x，所以f ′(x)＝x x － 因为A在曲线上，所以y0＝x，所以＝3x， 由导数的定义得 ＝ ＝(sin x)′|x＝0＝ cos x|x＝0＝1.故选B． 因为f (x)＝cos x．所以f ′(x)＝－sin x．所以f ′＋f ＝－sin＋cos ＝0. 或－2 解：因为y′＝()′＝x，所以k＝y′|x＝1＝， $$