6.1.1 函数的平均变化率-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

6.1.1　函数的平均变化率 　 第六章 6.1　导数 知识目标 1.理解平均变化率的概念．　 2.会求函数的平均变化率．　 3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题 素养目标 通过函数的平均变化率的学习，培养数学抽象素养；借助函数的平均变化率的计算，提升数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题．(1)在一次高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.为了描述该运动员运动状态，你能求该运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2，0≤t≤ 内的平均速度吗？ 问题导思 (2)你认为用平均速度描述该运动员运动状态有什么问题吗？ 提示：由(1)知，在0≤t≤ 这段时间里，虽然运动员的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 知识点一　函数的平均变化率 1．定义：一般地，若函数y＝f (x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f ( x1)，y2＝f (x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝________ 新知构建 y2－y1 [x2，x1] 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 微提醒 2．平均变化率的意义 (1)平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加 个单位． (2)几何意义：函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的______． 说明：平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”． 斜率 知识点二　平均速度与平均变化率 平均速度： 1．如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1， t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为__________(m/s)． 2．物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的__________． 平均变化率 1．(多选)在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx可以是 A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx＝0 D．以上都可以 自主检测 由平均变化率的定义，可知选AB． √ √ 2．设函数y＝f (x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝ A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋Δx C．F (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0) 函数值的改变量Δy是表示函数y＝f (x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．故选D． √ 3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速 度是 A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 √ 4．如图，函数y＝f (x)在[1，3]上的平均变化率为 A．1 B．－1 C．2 D．－2 √ 返回 合作探究 返回 题型一　求函数的平均变化率 例1　 已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)： [点拨]　由函数的平均变化率的定义求解． (1)从0.1到0.2的平均变化率； 解：因为f (x)＝3x2＋5， (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 解：f (x0＋Δx)－f (x0) ＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 规律方法 求函数平均变化率的步骤 第一步：求自变量的变化量Δx＝x2－x1. 第二步：求函数值的变化量Δy＝f (x2)－f (x1)． 对点练1.求函数f (x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为 ，哪一点附近的平均变化率最大？ 由于k1<k2<k3， 故在x＝3附近的平均变化率最大． 题型二　求运动物体的平均速度和平均变化率 例2　 某质点沿曲线运动的方程为f (x)＝－2x2＋1(x表示时间，f (x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－4 B．－8 C．6 D．－6 [点拨]　由平均速度的定义求解． √ 规律方法 求运动物体平均速度的基本步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度 .　　 对点练2.若一物体的运动方程为 (1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度； (2)物体在[1，1＋Δt]上的平均速度． 则物体在[1，1＋Δt]上的平均速度为3Δt－12. 题型三　求曲线上的割线斜率 例3　 已知函数f (x)＝x2－1图象上两点，A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝－1时，求割线AB的斜率． [点拨]　分别求出两点坐标，然后代入斜率公式即可． 解：因为Δx＝－1，2＋Δx＝1， 所以Δy＝12－1－(22－1)＝－3， kAB＝ ＝3. 所以，割线AB的斜率为3. 规律方法 一般地，P(x0，y0)是曲线y＝f (x)上一点，Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线上与点P邻近的一点，则割线PQ的斜率为f (x)从x0变化到x0＋Δx上的平均变化率．　 对点练3.过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为______． 4.1 返回 随堂演练 返回 1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是 √ 2．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝ A．－3 B．2 C．3 D．－2 √ 3．一运动物体的运动路程s(x)与时间x的函数关系为s(x)＝－x2＋2x，则s(x)从2到2＋Δx的平均速度为 A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx √ 4．如图所示，函数y＝f (x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 返回 [x3，x4] 课时测评 返回 1．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度为 A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A．v是在0～1 s这段时间内的速率 B．v是从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．5Δt＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．5Δt＋10是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m等于 A． B．3 C．5 D．16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．函数f (x)的图象如下图，则函数f (x)在下列区间上平均变化率最大的是 A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，7] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 √ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 2024年10月1日 12 35 000 2024年10月15日 60 35 600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(升)，这段时间的行驶里程数S＝35 600－35 000＝600(千米)，故这段时间，该车每100千米平均耗油量为 ×100＝10(升)．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 过曲线y＝2x上两点(0，1)，(1，2)的割线的斜率为____． 1 由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0，1)，(1，2)的割线的斜率为k＝ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．如图是函数y＝f (x)的图象，则 (1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为___； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)函数f (x)在区间[0，2]上的平均变化率为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是____． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)已知函数f (x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3， －1]，[0，5]上函数f (x)及g(x)的平均变化率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)比较函数f (x)＝2x与g(x)＝ x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率的大小． 解：f (x)＝2x在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为a<0，所以a－1<－1， 所以f (x)＝2x在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率比g(x)＝ x－1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气，在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是 √ A．[5，10] B．[5，15] C．[5，20] D．[5，35] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，由图可知，kAD<kAE<kAC<kAB<0，故空气中微生物密度变化的平均速度最快的是[5，20]．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 率，比较平均变化率的大小，并说明含义． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 明后10天与前10天比 A．公司亏损且亏损幅度变大 B．公司的盈利增加，增加的幅度变大 C．公司亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利增加，增加的幅度变小 √ 平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明盈利增加的幅度变小．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(15分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 导 数 及 其 应 用 返回 (或Δf＝f (x2)－f (x1))为相应的因变量的改变量；称＝________为函数y＝f (x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1<x2时指的是[x1，x2]，而x1>x2时指的是____________． ＝＝－1. 5．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系是_________________． 3>2>1 第三步：求平均变化率＝.　　 解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx； ＝ 由平均变化率的定义可知，函数y＝f (x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，， 结合图象可以发现函数y＝f (x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 函数f (x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0即函数f (x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]、[2，3]、[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大．所以函数f (x)在区间[3，4]上的平均变化率最大． $$