精品解析：浙江省温州市洞头区2024-2025学年九年级下学期基础素养第一次适应性检测数学试题

2025年洞头区九年级学科基础素养第一次适应性检测 数学试卷 2025.03 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下表记录了四个地区的最低海拔． 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 米 米 918米 0米 以上四个地区海拔最低的地区是（ ） A. 死海 B. 吐鲁番 C. 乌鲁木齐 D. 青岛 2. 由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节假期浙江省累计旅游人数为35673000人次，其中数35673000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 洞头某5天的气温分别为10，10，12，13，15，这5天气温的众数和中位数分别为（ ） A. 12，10 B. 10，12 C. 10，13 D. 13，15 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 8. 如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 9. 已知，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在菱形中，，，连接，是的中点，是延长线上的一点，连接，作，交的延长线于点，记，，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 若，则_______________． 13. 如图，是外一点，的延长线交于点，切于点．若，则______． 14. 有3张卡片，上面分别写着数1，2，3，从中随机抽取2张，数字之和是偶数的概率是______． 15. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 16. 如图，在正方形中，是边上一点，．将沿翻折得，延长、分别交于点、，过作交于点，则与的面积比为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，在中，，，，，． （1）求的长． （2）求的值． 20. 某校拟开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，为了解学生的研学地点选择意向，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下： 研学活动意向地点调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四个研学地点中，你最喜爱的是______． A．博物馆 B．动物园 C．植物园 D．海洋馆 如果问题1选择D．请继续回答问题2． 问题2：你更喜欢的海洋馆表演节目是______ E．白鲸互动 F．水下芭蕾 G．美人鱼表演 H．其他 问题1答题情况折线统计图 D选项中90人问题2的答题情况扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的有多少人？ （2）该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数． 21. 小明与小丽一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中．用尺规作边上的高线． 小明：作边上的中垂线，则中垂线为高线． 小丽：小明，你的作法有问题． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，作的平分线交于点．则为边上高线． 小明：哦……我明白了！ （1）指出小明作法中存在的问题． （2）给出小丽作法中为边上高线的证明． 22. 某日上午，小慧和小聪同时骑自行车从不同的地点出发前往某风景区游览（如图1）．小慧从地出发，小聪从地出发，地距离地1000米．小聪的行程分为三段，中间休息了一次，其中小聪第一段的骑行速度比第二段快20米／分，第二段的骑行速度与小慧速度相同且比第三段快50米／分．小慧和小聪的行程相关信息如表所示；离地的距离（米）与小慧、小聪骑行时间（分）的函数关系如图2所示． 时间 里程分段 行程里程 小慧 不分段 9600米 小聪 第一段 1800米 休息 第二段 2400米 第三段 4400米 （1）分别求出小聪各段骑行速度（单位：米／分）． （2）求小聪休息时间（单位：分）． （3）在分钟时两人相遇，求的值． 23. 已知二次函数（为常数）的图像经过点和． （1）求二次函数的表达式． （2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 24. 如图，在中，，过点、、作圆，取圆上一点，连接交圆于点．连接，，，使，连接． （1）若，，求的度数； （2）①求证：；②求证：为圆的直径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年洞头区九年级学科基础素养第一次适应性检测 数学试卷 2025.03 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下表记录了四个地区的最低海拔． 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 米 米 918米 0米 以上四个地区海拔最低的地区是（ ） A. 死海 B. 吐鲁番 C. 乌鲁木齐 D. 青岛 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的实际应用，掌握负数小于零、正数大于零成为解题的关键． 直接根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴海拔最低的地区是死海． 故选A． 2. 由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了组合体的三视图，熟知主视图是从几何体的正面看到的图形是解题关键． 主视图是从正面看到的图形，据此解答即可． 【详解】解：几何体的主视图是：    故选：C． 3. 2025年春节假期浙江省累计旅游人数为35673000人次，其中数35673000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数35673000用科学记数法表示为． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据同类项定义、同底数幂乘法运算法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂除法运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； B. ，故本选项运算错误，不符合题意； C. ，故本选项运算错误，不符合题意； D. ，本选项运算正确，符合题意． 故选：D． 5. 洞头某5天的气温分别为10，10，12，13，15，这5天气温的众数和中位数分别为（ ） A. 12，10 B. 10，12 C. 10，13 D. 13，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计应用，涉及众数和中位数，掌握众数与中位数的求法即可得到答案，熟记众数与中位数的求法是解决问题的关键． 【详解】解：这5天气温的众数是10；中位数是12； 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键．首先结合点、点的坐标确定与的相似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的相似比为3， 又∵， ∴． 故选：C． 7. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，并不解集表示在数轴上，掌握不等式的性质解不等式是关键． 根据不等式的性质解不等式，并不解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 解集表示在数轴上如图所示， 故选：A ． 8. 如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 则正方形的边长为， 故选：C． 9. 已知，两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，据此逐项判断即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵， 当时，点，点都在第一象限， ∴，故选项A正确； 当时，， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，故选项B、C错误； 当时，，则点，点都在第三象限， ∴，故选D错误； 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，连接，是的中点，是延长线上的一点，连接，作，交的延长线于点，记，，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；过O作交于G，证明是等边三角形，，得出，证明是等边三角形，得出，，证明得出，即可得出结论． 【详解】解：过O作交于G，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 若，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 把整理得，解得，经检验是原方程的解，即可得到答案． 【详解】解： 整理得， 解得， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 13. 如图，是外一点，的延长线交于点，切于点．若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质；连接，如图，根据切线的性质得，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 14. 有3张卡片，上面分别写着数1，2，3，从中随机抽取2张，数字之和是偶数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，先列表得到从中随机抽取2张，数字之和的全部结果，再数出偶数结果，最后由简单概率公式代值求解即可得到答案，掌握列表法求概率是解决问题的关键． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 — 3 4 2 3 — 5 3 4 5 — 由上表可知，共有6种等可能得结果，其中偶数有2种， 数字之和是偶数的概率是， 故答案为：． 15. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=8， ∵∠AFC=90°，E是AC的中点， ∴EF=AC=5， ∴DF=DE-EF=3， 故答案为:3. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题关键． 16. 如图，在正方形中，是边上一点，．将沿翻折得，延长、分别交于点、，过作交于点，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求得，可得，再利用勾股定理求得，最后利用相似三角形的性质，即可解答，正确做出辅助线，利用勾股定理表示出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 根据折叠的性质可得， 四边形为正方形， ， 在与中， ， ， ， 设，则, 设，则，, 在直角三角形中，， 即， 解得， ， ， ， 与的面积比为， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数次幂、算术平方根、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据实数的混合运算、负整数次幂、算术平方根、绝对值等知识点化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：， ①得③； ③−②得， 解得； 把代入②得， 解得； 方程组的解集为． 19. 如图，在中，，，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）由等腰三角形的判定定理得，由得，由勾股定理得，进而即可得解； （2）由勾股定理得出，再由三角函数的定义即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ． 20. 某校拟开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，为了解学生的研学地点选择意向，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下： 研学活动意向地点调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四个研学地点中，你最喜爱的是______． A．博物馆 B．动物园 C．植物园 D．海洋馆 如果问题1选择D．请继续回答问题2． 问题2：你更喜欢的海洋馆表演节目是______ E．白鲸互动 F．水下芭蕾 G．美人鱼表演 H．其他 问题1答题情况折线统计图 D选项中90人问题2的答题情况扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的有多少人？ （2）该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数． 【答案】（1）45人 （2）432人 【解析】 【分析】本题考查统计知识，涉及折线统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体等知识，熟记相关统计量的求法是解决问题的关键． （1）由问题1答题情况折线统计图与D选项中90人问题2的答题情况扇形统中的数据信息直接计算即可得到答案； （2）由问题1答题情况折线统计图中的数据计算出该校最喜爱“博物馆”的学生人数占比，进而估算该校有1600名学生的情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的人数有人； 【小问2详解】 解：由折线统计图可得抽查样本容量为人， 该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数为人． 21. 小明与小丽一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中．用尺规作边上的高线． 小明：作边上的中垂线，则中垂线为高线． 小丽：小明，你的作法有问题． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，作的平分线交于点．则为边上高线． 小明：哦……我明白了！ （1）指出小明作法中存在的问题． （2）给出小丽作法中为边上高线的证明． 【答案】（1）要过点A作高 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，三角形高的定义，等腰三角形的性质，熟知过一个点的垂线的画法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：小明没有考虑要过点A作高； 【小问2详解】 解：由题可得，平分， 根据三线合一可得． 22. 某日上午，小慧和小聪同时骑自行车从不同的地点出发前往某风景区游览（如图1）．小慧从地出发，小聪从地出发，地距离地1000米．小聪的行程分为三段，中间休息了一次，其中小聪第一段的骑行速度比第二段快20米／分，第二段的骑行速度与小慧速度相同且比第三段快50米／分．小慧和小聪的行程相关信息如表所示；离地的距离（米）与小慧、小聪骑行时间（分）的函数关系如图2所示． 时间 里程分段 行程里程 小慧 不分段 9600米 小聪 第一段 1800米 休息 第二段 2400米 第三段 4400米 （1）分别求出小聪各段骑行速度（单位：米／分）． （2）求小聪休息时间（单位：分）． （3）在分钟时两人相遇，求的值． 【答案】（1）小聪各段的速度分别为160米／分、180米／分、110米／分 （2）5分钟 （3） 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）先求出小慧的速度，进而得到小聪第二段的速度，进而求出小聪第一段和第三段的速度即可； （2）先求出小聪运动的三段所用的时间，用总时间减去三段时间，进行计算即可； （3）根据相遇时小聪的路程加上1000米等于小慧的总路程，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 小慧的速度为（米／分），则小聪第二段的速度为160（米／分） 小聪第一段的速度为（米／分）， 小聪第三段的速度为（米／分） 答：小聪各段的速度分别为160米／分、180米／分、110米／分． 【小问2详解】 小聪第一段的时间为（分）， 小聪第二段的时间为（分） 小聪第三段的时间为（分） 则小聪休息时间为（分） 答：小聪休息时间为5分钟． 【小问3详解】 由（2）可知，小聪骑完第二段的总时间为：， 由题意，得： ． 23. 已知二次函数（为常数）的图像经过点和． （1）求二次函数的表达式． （2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图像上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数关系式即可得到答案； （2）根据抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，将点代入表达式解方程即可得到答案； （3）利用二次函数图象与性质，根据二次函数的最大值与最小值的和为，分情况列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：把和代入， 得， 解得， 二次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：由题意可得， 抛物线对称轴为直线，、关于抛物线的对称轴对称， 则， 再向左平移个单位长度后的点为， 点恰好落在的图象上， ， 解得，． ， ； 【小问3详解】 解：二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为， 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，二次函数的最小值为，最大值为7， 则，符合题意； 当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为，不合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象对称性、点的平移、二次函数最值及解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 24. 如图，在中，，过点、、作圆，取圆上一点，连接交圆于点．连接，，，使，连接． （1）若，，求的度数； （2）①求证：；②求证：为圆的直径． 【答案】（1） （2）①证明见解析； ②证明见解析 【解析】 【分析】（1）在中，由三角形外角性质可得，再由圆内接四边形的性质即可得到答案； （2）①根据圆周角与弦的关系，再结合平行四边形性质得到，由等腰三角形性质即可得证； ②作，交圆于点，连接，如图所示，由平行四边形性质及得到的角相等，由三角形全等的判定与性质得到，进而由弦、弧及圆周角关系得到，根据平行线性质确定即可得到即可得证． 【小问1详解】 解：，， ， 四边形为圆内接四边形， ； 【小问2详解】 证明：①， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 即； ②作，交圆于点，连接，如图所示： 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 由得到， ， 为圆的直径． 【点睛】本题是圆的综合，涉及三角形外角性质、圆内接四边形性质、弦弧及圆周角关系、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质及圆周角推论等知识，熟练掌握圆的相关性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $