第十七章 三角形重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

第十七章 三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级下册第十七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24七年级下·上海金山·期末）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（    ） A．4，4，5 B．6，8，10 C．10，12，20 D．2，4，6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故答案为：D． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）一种零件的形状如图所示，按规定是直角，，，若为合格的零件，则零件中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理，连接，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是直角， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形一定全等 B．有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C．有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D．有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是明白有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．由图知，有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，由此即可得到答案．   【详解】解：由题意知： 在和中， ，，， 但由图知，和不全等， ∴有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等， 故选：B． 4．（2025·上海宝山·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（   ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得到，再由平角的定义即可求出．掌握平角的定义是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点A，，设，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵将沿折叠，的对应边恰好经过顶点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 故选：B． 6．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，的面积为平分于P，连接，则的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·上海普陀·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．先根据角的个数判断三角形的个数，再根据三角形内角和定理，由于有4个直角，2个钝角，则有4个直角三角形和2个钝角三角形，则余下的三角形为锐角三角形． 【详解】解：共有个角，则共有（个）三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 所以锐角三角形的个数． 故答案为：3． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 9．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定定理，发现隐含条件（公共边相等）是解题的关键． 直接根据三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，和是对应角，和是对应边，那么剩下的对应角是 ，对应边是 ．    【答案】 和，和 和，和 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵，和是对应角，和是对应边， ∴对应边有：和，和，和； 对应角有：和，和，和． 故答案为：和，和；和，和． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）五角星是常见的美丽图案，我国国旗上就有五个五角星，五角星图案中包含着许多数学知识，标准的五角星每个顶角都是．如图是活动课上同学们按如下步骤，沿虚线通过剪纸剪出的一个五角星，要得到一个标准的五角星，应为 度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理．根据折叠可得有10层，进而得出，进而根据内角和定理解题． 【详解】解：展开如图： ，， ， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，某机器零件的横截面如图所示，按要求线段和的延长线相交成直角才算合格．一工人测得，，，请你帮他判断该零件是否合格 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题关键．延长相交F，连接F、E并延长至G．根据三角形的外角的性质可得再根据即可作出判断． 【详解】解：延长相交F，连接F、E并延长至G， 则有 ∵， ∴． 所以零件不合格． 故答案为：不合格． 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，为了测量池塘两边的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点，测得的度数，在的另一侧取一点，使，，测得的长为，则之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ， 即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 16．（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 17．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③错误； 故答案为：①②． 18．（24-25七年级下·上海虹口·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解： 由题意得：，，， ， 的边上的高为，， ， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25七年级下·上海静安·期末）已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 【答案】9 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可知：， 即， 因此整数的最大值是9． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查画三角形的高线，三角形的中线： （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，为边上的高． （2）∵为的中线， 为的中线， ， ∵的面积为 40，， 解得，即点 E 到边的距离为4． 21．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，三角形顶点均在小正方形的顶点上．请回答下列问题： (1)过点作平行线； (2)过点作的垂线； (3)若，直接写出三角形的边上的高的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图，等面积法求线段长度，解题的关键是数形结合． （1）利用网格，过点作平行线即可； （2）利用网格，过点作的垂线即可； （3）设三角形的边上的高的长度为，利用等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）设三角形的边上的高的长度为， ，， ， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 23．（24-25七年级下·上海宝山·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 （理想状态：地面水平，垂直于地面，点B、C、D在水平地面上） 测量步骤 （1）在教学楼外水平地面上，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与水平地面所成的角； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B、C、D三点共线）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】教学楼高度为 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：教学楼高度为． 24．（24-25七年级下·上海金山·期中）某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离， 故答案为：； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得，这时只要测出的长即为，的距离， 故答案为：； （2）解：答案不唯一， 选择甲：∵，，， ∴， ∴； 选择乙：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴； 选择丙：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）小聪同学学了《全等三角形》后，在已知条件不变的情况下，对一道复习题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 【原题呈现】如图1，，，，． (1)、有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论； (2)如图2，连接、，过点C作于点F交于点G． ①求证：点G是的中点． ②求证：． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①见解析，②见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： （1）证明，即可得出结论； （2）①过点作的延长线于点，过点于点，证明，，得到，，即得，进而可证明，得到，即可求证； ②延长至点N使，证明，得到，，同角的余角相等，得到，推出，证明，得到，进而得出结论即可． 【详解】（1）解：，． 证明：如图，设相交于点，相交于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图，过点作的延长线于点，过点于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点是的中点． ②延长至点N使，连接， 由①知：， ∵， ∴， ，， 又， ， ∵，， ∴， ， 又 ， 又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级下册第十七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24七年级下·上海金山·期末）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（    ） A．4，4，5 B．6，8，10 C．10，12，20 D．2，4，6 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）一种零件的形状如图所示，按规定是直角，，，若为合格的零件，则零件中的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海青浦·期末）观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形一定全等 B．有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C．有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D．有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 4．（2025·上海宝山·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（   ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点A，，设，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，的面积为平分于P，连接，则的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 二、填空题 7．（24-25七年级下·上海普陀·期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 9．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，，和是对应角，和是对应边，那么剩下的对应角是 ，对应边是 ．    第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）五角星是常见的美丽图案，我国国旗上就有五个五角星，五角星图案中包含着许多数学知识，标准的五角星每个顶角都是．如图是活动课上同学们按如下步骤，沿虚线通过剪纸剪出的一个五角星，要得到一个标准的五角星，应为 度． 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，某机器零件的横截面如图所示，按要求线段和的延长线相交成直角才算合格．一工人测得，，，请你帮他判断该零件是否合格 （填“合格”或“不合格”）． 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，为了测量池塘两边的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点，测得的度数，在的另一侧取一点，使，，测得的长为，则之间的距离为 ． 14．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 15．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 16．（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 17．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是 ． 18．（24-25七年级下·上海虹口·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25七年级下·上海静安·期末）已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 21．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，三角形顶点均在小正方形的顶点上．请回答下列问题： (1)过点作平行线； (2)过点作的垂线； (3)若，直接写出三角形的边上的高的长度为 ． 22．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 23．（24-25七年级下·上海宝山·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 示意图 （理想状态：地面水平，垂直于地面，点B、C、D在水平地面上） 测量步骤 （1）在教学楼外水平地面上，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与水平地面所成的角； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B、C、D三点共线）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 24．（24-25七年级下·上海金山·期中）某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 25．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）小聪同学学了《全等三角形》后，在已知条件不变的情况下，对一道复习题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 【原题呈现】如图1，，，，． (1)、有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论； (2)如图2，连接、，过点C作于点F交于点G． ①求证：点G是的中点． ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$