精品解析：山东省泰安市东平县2024-2025学年上学期期末考试八年级数学试题

2024~2025学年第一学期期末质量检测八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 不考虑颜色，下列图形中，属于中心对称，但不属于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果x+y=4，那么代数式值是（ ） A. ﹣2 B. 2 C. D. 4. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示： 年龄(岁) 18 19 20 21 22 人数 2 5 2 2 1 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(　　) A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁 5. 如图，正五边形中，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将半径为2cm的半圆水平向左平移2cm，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（ ） A B. C. cm2 D. cm2 8. 若分式方程无解，则的值是（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. -1或-2 9. 若一组数据2，3，4，5，的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则的值为（ ）． A. 1 B. 6 C. 1或6 D. 5或6 10. 如图，在中，，，，P是边上的一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 11. 甲、乙两人分别从距离目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2∶3，结果甲比乙提前20 min到达目的地．设甲的速度为2x km/h，则下面所列方程正确的是（ ） A. ＝＋ B. ＝＋ C. ＝＋ D. ＝＋20 12. 如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题共102分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 在分式，，，中，最简分式有_______个 14. 如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是_____． 15. 一组数据a，b，c的方差是9，则数据a+1，b+1，c+1的标准差是__． 16. 如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是________． 17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 _____． 18. 已知：有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推，那么_____． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： （1）分解因式 ①； ②； （2）先化简，再求值：，从，，中选择合适的的值代入求值． 20. 解下列方程： （1）； （2）； 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 22. “疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动•共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，，，，，10，，． 八年级10名学生竞赛成绩在组中的数据是，9，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 9 八年级 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 23. 点E是▱ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM． （1）求证：四边形DMFC是平行四边形； （2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长． 24. 某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等． （1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元； （2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 25. （1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期期末质量检测八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式． 分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，需要根据定义判断． 【详解】A、B结果不是积的形式，因而不是因式分解； C中不是整式，因而不是因式分解； D满足因式分解的定义． 故选：D． 2. 不考虑颜色，下列图形中，属于中心对称，但不属于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如果x+y=4，那么代数式的值是（ ） A. ﹣2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 详解】解：原式= ∵x+y=4，∴原式= 故选C． 【点睛】本题考查的是分式的化简和代入求值． 4. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示： 年龄(岁) 18 19 20 21 22 人数 2 5 2 2 1 则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(　　) A. 2，20岁 B. 2，19岁 C. 19岁，20岁 D. 19岁，19岁 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第6、7个数的平均数， 则这12名队员年龄的中位数是=19（岁）； 19岁的人数最多，有5个，则众数是19岁． 故选D． 【点睛】本题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5. 如图，正五边形中，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由正五边形的性质得到≌， ，，然后由正五边形 内角度数，求出和 的度数，进而求出 的度数． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选： 【点睛】本题考查了正多边形的性质：各边相等，各角相等，掌握正多边形的性质是解决本题的关键． 6. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，将半径为2cm的半圆水平向左平移2cm，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（ ） A. B. C. cm2 D. cm2 【答案】B 【解析】 【详解】根据图形可知阴影面积为：2×2=4；故选B. 8. 若分式方程无解，则的值是（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. -1或-2 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当x=0时分母为0，方程无解，即m=-1； 当x=-1时分母为0，方程无解，即m=-2． 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根，是需要识记的内容． 9. 若一组数据2，3，4，5，的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则的值为（ ）． A. 1 B. 6 C. 1或6 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…xn+a的方差相同这个结论即可解决问题． 【详解】解：∵一组数据2，2，4，5，x方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5， ∴x=1或6， 故选：C 【点睛】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键结论：数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…xn+a的方差相同解决问题． 10. 如图，在中，，，，P是边上的一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】在上取一点E，使，连接，过点E作于F，由旋转的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点P和点F重合）时，最小，然后由含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 即点P与点F重合，最小，最小值为的长度， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故线段长度的最小值是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键． 11. 甲、乙两人分别从距离目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2∶3，结果甲比乙提前20 min到达目的地．设甲的速度为2x km/h，则下面所列方程正确的是（ ） A. ＝＋ B. ＝＋ C. ＝＋ D. ＝＋20 【答案】B 【解析】 【分析】根据等量关系乙走10km用的时间＝甲走6km用的时间＋20min列方程即可． 【详解】解：设甲的速度为2x km/h，则乙的速度为3x km/h． 根据题意，得＝＋， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据关键描述语：甲比乙提前20min到达目的地，找到等量关系是解决问题的关键． 12. 如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证∆AEF≅∆DHF，再证∆ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④． 【详解】∵点F是AD的中点， ∴2FD=AD， ∵在ABCD中，AD=2AB， ∴FD=AB=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠BCF， ∴∠DCF=∠BCF，即：， ∴①正确； ∵AB∥CD， ∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H， 又∵AF=DF， ∴∆AEF≅∆DHF（AAS）， ∴EF=HF， ∵， ∴CE⊥CD，即：∆ECH是直角三角形， ∴=EH， ∴②正确； ∵EF=HF， ∴ ∵，CE⊥CD，垂足在线段上， ∴, ∴, ∴， ∴③错误； 设∠AEF=x，则∠H=x， ∵在Rt∆ECH中，CF=FH=EF， ∴∠FCH=∠H=x， ∵FD=CD， ∴∠DFC=∠FCH=x， ∵点F，G分别是EH，EC的中点， ∴FG∥CD∥AB， ∴∠AEF=∠EFG=x， ∵EF=CF， ∴∠EFG=∠CFG=x， ∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x， ∴． ∴④正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 第II卷（非选择题共102分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 在分式，，，中，最简分式有_______个 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 14. 如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是_____． 【答案】N 【解析】 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是90°，因此格点N就是所求的旋转中心； 故答案为： N． 【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 15. 一组数据a，b，c的方差是9，则数据a+1，b+1，c+1的标准差是__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据数据a，b，c的方差是9求得数据a+1，b+1，c+1的方差也是9，再开方即可求得标准差． 【详解】解：设数据a，b，c的平均数为t，则数据a+1，b+1，c+1的平均数为， ∵数据a，b，c的方差是9， ∴， ∴数据a+1，b+1，c+1的方差是 = =9， ∴数据a+1，b+1，c+1的标准差为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平均数、方差、标准差，熟知方差的计算公式以及标准差是方差的算术平方根是解答的关键． 16. 如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意判定四边形是平行四边形．如图，过点A作于点E，过点A作于点F，利用面积法求得与数量关系，从而求得该平行四边形的面积． 【详解】解：依题意得：，，则四边形是平行四边形． 如图，过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴四边形的面积； 答案为：9 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法． 17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 _____． 【答案】（5，6） 【解析】 【分析】根据平移的性质知BF=AD，由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点F的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段BF的长度，即AD的长度． 【详解】∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF， ∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4． 又∵点B的对应点F是直线上的一点， ∴，解得x＝7． ∴点F的坐标是（7，4）， ∴BF＝5． ∴根据平移的性质知AD＝BF＝5， ∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）． 故答案为：（5，6）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化一一平移，根据平移的性质得到AD=BF是解题的关键． 18. 已知：有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推，那么_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了数字类变化规律，有理数的乘方，依次求出，，，…，得出规律，再结合，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…， ∴，，，…， ∴这列数从开始按，，循环， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： （1）分解因式 ①； ②； （2）先化简，再求值：，从，，中选择合适的的值代入求值． 【答案】（1）①；② （2），当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； ②先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2） 【小问1详解】 ① ； ② ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴当时，原式． 20. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 21. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是， 的中点， ，分别是与的中位线， ，， ， ， ． 22. “疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动•共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，，，，，10，，． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是，9，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 9 八年级 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1）40，，9和 （2）八年级学生掌握自我防护知较好，理由见解析 （3）416人 【解析】 【分析】（1）首先确定八年级10名学生的竞赛成绩在组和组的人数，进而求得的值；将八年级10名学生的成绩从小到大排列，结合中位数的定义即可确定的值；根据众数的定义，即可确定的值； （2）根据方差确定答案即可； （3）利用该校七、八年级参加此次网上答题竞赛活动的总人数乘以七、八年级随机抽取的20人中优秀人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意，八年级10名学生的竞赛成绩在组的学生有3人， ∴八年级10名学生的竞赛成绩在组的有人， ∴八年级10名学生的竞赛成绩在组的学生占比， 即； ∵八年级10名学生的竞赛成绩中，组有人，组有人，组有3人，组有4人， ∴将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是， 因此中位数是，即； 七年级10名学生成绩出现次数最多的是9和，因此众数是9和， 即和． 故答案为：40，，9和； 【小问2详解】 八年级学生掌握自我防护知较好，理由： ∵七年级的方差为，八年级的方差是，而， ∴八年级学生的成绩较为稳定， ∴八年级学生掌握自我防护知较好（答案不唯一，有道理即可）； 【小问3详解】 （人）， 答：参加竞赛活动成绩优异的学生人数是416人． 【点睛】本题主要考查扇形统计图、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 23. 点E是▱ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM． （1）求证：四边形DMFC是平行四边形； （2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）EF＝4 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，AB为△EMN的中位线，有，，得到，，进而可证明四边形MFCD为平行四边形； （2）如图，连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，由AF∥EB，AF＝EB，可证四边形AFBE是平行四边形，故有OF＝OE＝2，进而可求EF的长． 【小问1详解】 证明：由题意知，，，AB为△EMN的中位线 ∴， ∴ ∴， ∴四边形MFCD为平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线 ∴AF∥EB，AF＝EB ∴四边形AFBE是平行四边形 ∴OF＝OE＝2 ∴EF＝4． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质． 24. 某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等． （1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元； （2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个． 【解析】 【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的4倍并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案． 【详解】解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元． （2） 设购买商品个，则购买商品个， 依题意，得：， 解得：． ∵整数， ∴或16． ∴商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 25. （1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2），理由是： 如图2，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 同理得：， ， 中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$