精品解析：安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 （考试时间：100分钟；满分：150分） 命题学校：合肥九中 命题教师：朱京元 审题教师：李永红 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域的求法，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为的定义域为，由，得到， 所以的值域为， 得到，，所以， 故选：A. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, 又，， 由零点存在定理可知,零点所在区间为. 故选:. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值可确定正确选项. 【详解】， 所以为偶函数，图像关于轴对称，排除A、B选项. 又因为，故排除C， 故选：D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】∵， ， ， ∴. 故选：B. 5. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 6. 已知，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 7. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 8. 已知函数，若关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围． 【详解】作函数的图象，如图： 关于的方程有个不等的实数根， 结合图象可知，关于的方程有两不等实根，记为，且， 因为，，所以， 又因为，，即， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：D． 【点睛】方法点睛：零点问题，我们一般先画出内函数的图像，再根据内函数图像特征，结合外函数的图像特征，转化为外函数的根的分布问题，特别要注意空心点实心点问题． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”成立的充分条件 B. 命题，则 C. 命题“若，则”是真命题 D. “”是“”成立的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据充分性的定义、必要性的定义、全称命题的否定的性质、比较法逐一判断即可. 【详解】对于A，由可以推出，故正确； 对于B，根据全称命题的否定为特称命题，所以，故错误； 对于C，当时，，故正确； 对于D，由不能推出，比如 ，所以充分性不成立 故正确的为AC． 故选：AC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可知，再根据函数的周期求出，将代入函数即可求出，从而可得函数，结合正弦函数性质，即可求解. 【详解】对于AB，由题意知，， 所以，， 又，即，所以； 即，又因为，所以， 故，所以A正确，B错误； 对于C，令,则， 存在着当时，使其对称轴为，故C正确； 对于D，将图象上所有点向左平移个单位长度后得到，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 为偶函数 C. 是周期为4的函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】函数的定义域为，由函数为奇函数，得， 由的图象关于直线对称，得， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，A正确； 对于C，由，得，又， 则，，是周期为4的函数，C正确； 对于B，由选项C知，，则，又， 因此，为偶函数，B正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可． 【详解】若幂函数在区间上是增函数， 则由解得：或， 时，，是增函数， 时，，在上是减函数（不合题意，舍去）， 故答案为：2． 13. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【详解】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 若，，且，.则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，，所以，， 因此有， ，所以有： 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则结合诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据对数运算法则求解即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可； （2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 解不等式，得，即， 解不等式，得，即， 所以； 【小问2详解】 由， 由是的充分不必要条件，可得是B的真子集， 所以，解得, 所以实数m的取值范围是. 17. 长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）160 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论即可求解； （2）结合（1）的结论，利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值即可求解. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故. 【小问2详解】 当时， 开口向下，对称轴为， 故的最大值为（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为（万元）， 因为， 所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）若的图象关于点对称，且，求t的值； （3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再求出最小正周期； （2）由（1）整理出函数的解析式，利用三角函数的对称中心，列式计算即可； （3）利用整体思想，求得函数在上的值域，去掉绝对值，建立不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为， 故的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知， 由题令，得， 又，故或. 【小问3详解】 当时，，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，即， 故实数m的取值范围是. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心. （2）根据单调性定义证明即可. （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【小问1详解】 设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 （考试时间：100分钟；满分：150分） 命题学校：合肥九中 命题教师：朱京元 审题教师：李永红 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”成立的充分条件 B. 命题，则 C. 命题“若，则”是真命题 D. “”是“”成立的充分不必要条件 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 11. 已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 为偶函数 C. 是周期为4的函数 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______． 13. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 14. 若，，且，.则的值是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17. 长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）若的图象关于点对称，且，求t的值； （3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $