精品解析：云南省会泽县茚旺高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

会泽县茚旺高级中学 2024年秋季学期高一年级十二月月考试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在题卡上填写清楚． 3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 4．考生作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意进行交集运算，即可得结果. 【详解】因为，， 所以． 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，使函数解析式有意义的条件，列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意可知， 解得且. 故选：D. 3. 集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得正确答案. 【详解】由解得，而，则， 其子集的个数为. 故选：B 4. 下列各组函数与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的定义逐项判断. 【详解】解：的定义域为R， ，解析式不同，故不是同一函数，故A错误； B. 的定义域为，两函数定义域不同 ，故B错误； 的定义域为R，故C正确； 的定义域为，故D错误. 故选：C 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解可得，即可. 【详解】因为，故，即，即， 因为，故，. 故. 故选：C 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数性质比较的大小关系，即得的关系. 【详解】由对数运算公式得，，， ，易知，即， 故. 故选：A. 7. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.82 B. 1.15 C. 3.87 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解. 【详解】根据题意可得，两式相除可得， 所以，可得 故选：B. 8. 函数若,且,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式画出图象,由判断的范围,再由得出的关系,由,及的范围,将化为关于的式子,将上述等式代入中得到关于的二次函数,根据的范围求值域即可. 【详解】解:由题知,所以, 画出图象如下: 由图象可知:, 且有即, 因为,所以,即, 所以 因为,所以, 因为, 所以, 由可得, 即,所以, 即. 故选:B 【点睛】思路点睛:此题考查函数图象与方程的综合应用,属于难题,关于该类题目的思路有: (1)根据分段函数,分析函数性质及图象变换,画出图象; (2)找出满足题意的等式,进行化简; (3)代入所求式子中,变为关于一个变量的式子,求出该式子的范围即可. 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中，不正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】令判断A；令判断B；由不等式性质判断C；令，且判断D. 【详解】A：当时，则有，错； B：当，则有，错； C：由不等式性质，且，则，对； D：当，且时，则有，错. 故选：ABD 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的单调增区间是 C. 若则 D. 函数的图象必过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，复合型函数的单调性根据同增异减来判断；C选项，要结合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确； C选项，时，由得，C错； D选项，函数中，由得，即函数图象过点，D正确． 故选：BD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与是终边相同的角 B. 若角的终边过点，则 C. 若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D. 若，则角的终边在第一象限或第三象限 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D. 【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误； 对于B：，当时，，故B错误； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确； 故选：CD 12. 用表示不超过的最大整数，例如，.已知，则（ ） A. B. 为奇函数 C. ，都有 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数新定义及奇偶性定义可判断AB；作差法比较大小可判断C；令，得，结合新定义求得，分、、、讨论求的根，即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以不是奇函数， 故B错误； 对于C，，对于， ，，故，故C正确； 对于D，令，得，又， 所以，可得， 当时，满足，即2为图象交点的横坐标， 当时，，则，解得， 即为图象交点横坐标， 当时，，则，故1不为图象交点的横坐标， 当时，，则，解得， 即为图象交点的横坐标. 综上，图象所有交点的横坐标之和为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项解题关键点是，令结合分类讨论求对应根为关键. 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知幂函数的图象经过点，则的值等于_________. 【答案】## 【解析】 【分析】设幂函数，代入点计算，计算得到答案. 【详解】设幂函数，则，故，即，. 故答案为： 14. 函数的零点个数是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，由分段函数，当时，解方程可得零点个数，当时，零点个数转化为的图像交点个数，画出图像可得. 【详解】令得，，只有符合题意； 令得，，在同一坐标系内，画出的图像，观察知交点有个，所以零点个数是. 故答案为：2. 15. 若，且，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则有， 解得（舍），或， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值为6， 故答案为:6. 16. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数定义域要求可求得定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定，从而确定是方程的两根，由此将问题转化为方程在有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果. 【详解】 定义域为 且 在上单调递增 在上单调递减 ， 且是方程的两根 即 在上有两个不等实根 即上有两个不等实根 ，解得： 的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定是方程的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解. 四、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余12分，共70分，写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算求值 （1）设 （2） 【答案】（1）99 （2）8 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算求解； （2）利用对数的运算求解. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 ； 18. 设全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义进行求解； （2）根据题意得到，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 时，，或， 所以， 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以. 因为，所以，故，解得. 所以的取值范围为. 19. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】（1） （2）公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意得， 当时，， 当时，， 故 【小问2详解】 当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，，当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片． 20. 已知函数. （1）判定函数的奇偶性，并加以证明； （2）判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集. 【答案】（1）是奇函数，证明见解析 （2）在定义域上单调递增， 【解析】 【分析】（1）先求出的定义域并判断定义域是否关于原点对称，然后判断之间的关系即可. （2）将解析式变形，结合复合函数单调性可知在定义域上单调递增，而由（1）可知的定义域为，且是奇函数， 故不等式等价于不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 是奇函数，理由如下： 由题意，解得，即的定义域关于原点对称， 且，即， 所以是奇函数. 【小问2详解】 由于，所以由复合函数单调性可知定义域上单调递增， 由（1）可知的定义域为，且是奇函数， 所以， 因为在定义域上单调递增， 所以有，解不等式组得，即， 所以不等式的解集为. 21. 已知幂函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若函数是定义在R上的偶函数，当时，，求函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，解出值，再检验即可； （2）根据奇函数的性质求解解析式即可. 【小问1详解】 因为为幂函数，所以，解得或． 当时，是偶函数，不是奇函数﹔ 当时，是奇函数，所以． 故的解析式． 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 对于，则，， 又因为函数是定义在R上的偶函数，所以，所以， 所以函数的解析式． 22. 已知函数. （1）用定义证明是上的增函数. （2）是否存在m，使得对任意的恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明； （2）令，转化为成立，然后利用二次函数的性质求得的最小值即可. 【小问1详解】 证明：设， 则. 因为，所以，所以. 因为， 所以，即， 则是上的增函数. 【小问2详解】 设，则. 因为，所以. 设，其图象的对称轴方程为. 当时，，即， 解得或，则符合题意； 当时，，即， 解得，则不符合题意； 当时，，即， 解得或，则符合题意. 综上，存在，使得对任意的，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 会泽县茚旺高级中学 2024年秋季学期高一年级十二月月考试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在题卡上填写清楚． 3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 4．考生作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 4. 下列各组函数与表示同一函数的是（ ） A B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.82 B. 1.15 C. 3.87 D. 5.5 8. 函数若,且,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中，不正确的有（ ） A 若，则 B. 若，，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是指数函数 B. 函数的单调增区间是 C. 若则 D. 函数的图象必过定点 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与是终边相同的角 B. 若角的终边过点，则 C. 若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D. 若，则角的终边在第一象限或第三象限 12. 用表示不超过的最大整数，例如，.已知，则（ ） A. B. 为奇函数 C. ，都有 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4. 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知幂函数的图象经过点，则的值等于_________. 14. 函数的零点个数是__________. 15. 若，且，则的最小值为______． 16. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 四、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余12分，共70分，写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算求值 （1）设 （2） 18. 设全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 19. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 20. 已知函数. （1）判定函数的奇偶性，并加以证明； （2）判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集. 21. 已知幂函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若函数是定义在R上偶函数，当时，，求函数的解析式． 22. 已知函数. （1）用定义证明是上增函数. （2）是否存在m，使得对任意的恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$