专题20 三角函数的图象与性质（9大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题20 三角函数的图象与性质 【题型归纳目录】 题型一：五点作图法 题型二：函数的奇偶性 题型三：函数的周期性 题型四：函数的单调性 题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 题型六：函数的定义域、值域（最值） 题型七：三角函数性质的综合应用 题型八：根据条件确定解析式 题型九：三角函数图像变换 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质 （2）三角函数图像的平移与变换 （3）三角函数实际应用问题 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2024年II卷第9题，6分 2023年甲卷第12题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年I卷第15题，5分 （1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性． （2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响． （3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、“五点法”作图原理 在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是. 在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是. 题型一：五点作图法 【典例1-1】（2020年山东省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）由表可知，则， 因为，，所以，解得，即， 因为函数图象过点，则，即， 所以，，解得，， 又因为，所以. （2）由（1）可知. 因为，所以， 因此，当时，即时，， 当时，即时，. 所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是. 【典例1-2】（2025·高一·四川凉山·期中）已知函数    (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)结合第（1）图象写出函数在上单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，求的取值范围. 【解析】（1），， 由可得，， 列表如下： 2 5 2 0 0 作图： （2）结合图像，函数在上的单调递增区间为， （3），， 又， 所以， 所以，， 的取值范围是． 【变式1-1】（2025·高一·江西萍乡·阶段练习）已知函数． (1)利用“五点画图法”完成以下表格，并画出函数在区间上的图象； (2)求函数的单调减区间． 【解析】（1）根据“五点画图法”可列表如下： 作出图象如下， （2）令，解得：， 的单调减区间为. 【变式1-2】（2025·高一·江西九江·阶段练习）已知函数， (1)用五点作图法画出函数在一个周期上的简图； (2)若，求. 【解析】（1）由“五点作图法”列表如下： x 0 0 3 0 0 图象如下： （2）由，得， 所以或， 即或， 又因为，所以k取0，得或. 知识点2、三角函数的图像与性质 在上 的图像 定义域 值域（有界性） 最小正周期 （周期性） 奇偶性（对称性） 奇函数 偶函数 单调增区间 单调减区间 对称轴方程 对称中心坐标 最大值及对应自变量值 时 时 最小值及对应自变量值 时 时 函数 正切函数 图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 单调性 在上是单调增函数 对称轴 无 对称中心 题型二：函数的奇偶性 【典例2-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 【典例2-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数，所以.又，所以，解得，代入检验，得到，显然符合题意. 故选：B. 【变式2-1】（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 将该函数的图象向右平移个单位后，所得的函数为奇函数， 则，且有，则， 因为，故当时，取最小值. 故选：C. 【变式2-2】（2025·高三·全国·专题练习）设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，又其为偶函数， 则图像关于轴对称，则， 得，又，则或. 故选：B 题型三：函数的周期性 【典例3-1】（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 【典例3-2】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 【变式3-1】（2025·贵州毕节·二模）已知函数，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因， 则的一个对称中心为，一条对称轴为， 又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的为， 则最小正周期为，则. 故选：B 【变式3-2】（2025·广东·一模）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，但，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于B，， 所以函数的周期为， 当时，，因为， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减， ，所以函数的最小正周期为，B正确； 对于C，因为，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于D，函数的定义域为，， 所以结论函数在单调递增错误，不符合题意； 故选：B. 【变式3-3】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】依题意，，由最小正周期为，得，解得， 则，当时．， 画出图象，如图，由图知，在上单调递减， 所以当时，. 故选：A 题型四：函数的单调性 【典例4-1】（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 【典例4-2】（2021年全国新高考I卷数学试题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【变式4-1】（2025·高一·上海·开学考试）已知函数在区间上单调通增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意令， 则， 由于函数在区间上单调通增，且， 故取，则，可得，解得， 结合，知， 故答案为： 【变式4-2】（2025·高一·湖南娄底·期中）已知函数，则函数在上的单调递增区间为： . 【答案】 【解析】 ， 由，， 可得，，令，则， 又因为，则其在上单调增区间为. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高一·河南洛阳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（开区间也给分） 【解析】令,解得， 令，则， 由于，故， 故单调递增区间为：， 故答案为： 题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 【典例5-1】（2022年新高考全国I卷数学真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 【典例5-2】（2020年江苏省高考数学试卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】/ 【解析】 当时 故答案为： 【变式5-1】（2025·高三·河南信阳·开学考试）函数的图象在区间上的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得，当时，， 故函数在区间上的对称轴方程为． 故选：D. 【变式5-2】（2025·高二·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的图象关于点对称， 则，即， 因为，所以， 故选：D． 【变式5-3】（2025·高一·甘肃武威·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】C 【解析】选项A：由可知函数的初相为，故A说法错误； 选项B：当时，， 而函数在不具有单调性，故B说法错误； 选项C：当时，，， 所以函数的图象关于对称，C说法正确； 选项D：当时，， 所以函数的图象不关于点对称，D说法错误； 故选：C 题型六：函数的定义域、值域（最值） 【典例6-1】（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 【典例6-2】（2025·高一·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 因为，所以，， ，故最小值为. 故答案为： 【变式6-1】（2025·高一·山西·期末）若函数的定义域为，则的值域为 ． 【答案】 【解析】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为， 故答案为： 【变式6-2】（2025·高一·福建福州·期末）的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为 ． 【答案】 【解析】依题意，， 当时，，，则， 所以在区间上的值域为. 故答案为： 知识点3、与的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值 假设. ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心. 假设. ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5）单调性. 假设. ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 （，）的图象，可以用下面的方法得到： ①画出函数的图象； ②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象； ③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； ④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象. 题型七：三角函数性质的综合应用 【典例7-1】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 【典例7-2】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【变式7-1】（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 【变式7-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 【变式7-3】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 【变式7-4】（2022年新高考天津数学高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 题型八：根据条件确定解析式 【典例8-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为图像经过， 所以. 即. 解得. 由图像可知，即， 解得，所以，. 所以的最小正周期为. 故选：C 【典例8-2】（多选题）（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【变式8-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【变式8-2】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 【变式8-3】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ． 【答案】2 【解析】由图可知，即，所以； 由五点法可得，即； 所以. 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整数为2. 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2. 故答案为：2. 【变式8-4】（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 【变式8-5】（2025·高三·浙江宁波·期末）如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由图象知图象的对称轴为直线， 即，可得， 又图象的对称中心为，即， 所以，可得， 解得，又，所以， 所以，则. 故选：A 【变式8-6】（2025·甘肃兰州·一模）一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，最小正周期，则， 由，则函数图象过，即， 解得（），即（），可得， 故，由，则， 解得（）或（）， 可得（）或（）， 当时，，当时，，当时，. 故选：A. 题型九：三角函数图像变换 【典例9-1】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 【典例9-2】（2025·高三·湖南永州·开学考试）已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】因为， 即图像上所有的点向右平移个单位， 又， 即上述图像再次向右平移个单位， 综上，为了得到的图象， 只要把上所有的点向右平行移动个单位长度. 故选：C 【变式9-1】（2025·高三·辽宁丹东·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向右平移个单位长度得到， 然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 所以. 故选：D. 【变式9-2】（2025·高三·重庆沙坪坝·开学考试）为了得到曲线的图象，可以将曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】因为 ， 所以将曲线的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到， 再将向右平移个单位长度得到. 故选：C 【强化测试】 1．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为偶函数，则，，取，则. 故选：D. 2．（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A， 在上单调递减，不符合题意，故A错误； 对于B，由对勾函数性质可知在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于C，，不为偶函数，故C错误； 对于D，，且的定义域为， 即为偶函数，由在上单调递增， 在定义域内单调递增，故在上单调递增，符合题意，故D正确. 故选：D. 3．（2025·高三·广东广州·阶段练习）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意得，所以. 因为的图象关于点中心对称， 所以， 所以， 由，得， 所以， 所以. 故选：C. 4．（2025·高一·河南郑州·开学考试）已知函数，则的最小正周期和最小值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故的最小正周期为， 当，即时， 取得最小值，最小值为. 故选：B 5．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数的图象与性质可得，，解得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时，解得， 此时，代入，可得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时.故. 故选：C. 6．（2025·高三·全国·专题练习）设函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】， 由题意可知，函数的图象关于直线对称， 所以，， 即，又，故． 故选：. 7．（2025·高一·福建福州·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 因为函数图象关于原点对称，， 所以，所以的值可以是. 故选：B. 8．（2025·高一·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，的图象关于直线对称， 则，解得，而，则， 所以当时，取得最小值. 故选：B 9．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图象可得最小正周期为， 所以，故或， 由图可知当时，函数取最小值， 当时，可得，， 所以，，此时， 当时，可得，， 所以，，取可得，， 故函数的解析式可能为，B、C错； 由，D错误． 故选：A． 10．（2025·高三·江苏盐城·阶段练习）智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，，噪音的声波曲线的最小正周期，则． 因为噪音的声波曲线过点，所以， 则．又，所以， 即噪音的声波曲线为， 则可以用来智能降噪的声波曲线为， 又，A正确，B错误； ，C，D错误，. 故选：A. 11．（2025·高三·广东深圳·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则是的一条对称轴，且由图象知， 又由的图象与性质知①，② ②①得到，解得，所以，故， 故选：D. 12．（2025·高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图可得， ， ， 又， 且，则， ，解得． 故选：C. 13．（2025·高三·北京·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A． B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴 【答案】C 【解析】根据图象和题目条件可知，， 所以，解得，A正确； 将代入，可得，解得，B正确； 所以， 令得，， C错误， 令得，，故是函数的一条对称轴，D正确， 故选：C． 14．（2025·山东济宁·一模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数周期，所以函数的图象向右平移个周期可得. 故选：D 15．（2025·江苏宿迁·一模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变， 就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：. 故选：D. 16．（2025·辽宁·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的图象向右平移个单位后得到函数, 所以函数，因此， 解得，令可得， 其他选项中的值不存在整数k能使得成立. 故选：D 17．（多选题）（2025·高三·江苏·开学考试）若函数图像的一条对称轴方程为，则（    ） A． B．将函数的图象向右平移个单位得到的图象关于轴对称 C．若函数在区间上恰有2个极值点，则 D．函数只有一个零点 【答案】ABCD 【解析】对于A，，其中， 因为函数图像的一条对称轴方程为， 所以， 解得，故A正确； 对于B，由A可知， 将函数的图像向右平移个单位得到函数 为偶函数，故B正确； 对于C，由B可知，则， 令，可得，所以， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 若函数在区间上恰有2个极值点，则，故C正确； 对于D，令， 则，所以函数在上单调递减， 且， 所以函数有唯一零点，故D正确； 故选：ABCD 18．（多选题）（2025·陕西西安·二模）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】已知函数的最小正周期为， ，则，故A正确； ，则，故B正确； ，故的图象不关于直线对称，故C错误； 将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象，故D正确； 故选：ABD． 19．（多选题）（2025·河北唐山·一模）已知函数，则关于的说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的最大值 C．图象关于点对称 D．把图象向左平移个单位长度得到的图象 【答案】AD 【解析】对于A，因为，所以， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，所以不是的最大值，故B错误； 对于C，，所以的图象不关于点对称，故C错误； 对于D，将图象向左平移个单位长度得到的图象， 即，故D正确. 故选：AD. 20．（多选题）（2025·四川成都·二模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上有2个零点 【答案】ACD 【解析】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，因，即的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，当时，，因正弦函数在上单调递减， 故在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，由，得或， 解得或，即在上有2个零点，D正确. 故选：ACD 21．（多选题）（2025·河北保定·模拟预测）已知函数，且，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．曲线在上有3条对称轴 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，即，而，则，A错误； 对于B，由，得，解得，又，则，B正确； 对于C，，由，得， 而函数在上单调递增，则在上单调递增，C正确； 对于D，由，解得，取，则， 因此在上有4条对称轴，D错误. 故选：BC 22．（多选题）（2025·广东深圳·一模）已知，下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】BD 【解析】因为，所以函数的最小正周期为，故A错误， 因为，所以，所以在上单调递增，故B正确； 因为，，所以，的取值范围为，故C错误； 由于，将其向右平移得到，得到，故D正确. 故选：BD. 23．（2025·高三·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 24．（2025·高一·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由，解得， 所以，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 25．（2025·高一·全国·课后作业）函数在上的单调递减区间是 ． 【答案】， 【解析】当时，.注意到在上递减， 又，， 则在上的单调递减区间是：，. 故答案为：， 26．（2025·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数的最大值为0，则的值是 . 【答案】 【解析】， 由，则，即. 故答案为：. 27．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小正周期为 ，最小值为 ． 【答案】 2 【解析】, 的最小正周期为,最小值为2． 答案：; 2 28．（2025·高一·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【解析】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 29．（2025·高一·广东佛山·期末）已知函数，，． 从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，，且的最小值为，；求解下列问题： （Ⅰ）化简的表达式并求的单调递增区间； （Ⅱ）请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象． （注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分） 【解析】若选①： （Ⅰ） ， 令，解得 所以函数的单调递增区间为 （Ⅱ）表格如下： 0 0 3 0 -3 0 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示： 若选②： （Ⅰ）因为，，且的最小值为，所以则，所以， 又，所以，解得，所以， 令，解得，所以函数的单调递增区间为 （Ⅱ）表格如下： 0 0 3 0 -3 0 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 三角函数的图象与性质 【题型归纳目录】 题型一：五点作图法 题型二：函数的奇偶性 题型三：函数的周期性 题型四：函数的单调性 题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 题型六：函数的定义域、值域（最值） 题型七：三角函数性质的综合应用 题型八：根据条件确定解析式 题型九：三角函数图像变换 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质 （2）三角函数图像的平移与变换 （3）三角函数实际应用问题 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2024年II卷第9题，6分 2023年甲卷第12题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年I卷第15题，5分 （1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性． （2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响． （3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、“五点法”作图原理 在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是. 在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是. 题型一：五点作图法 【典例1-1】（2020年山东省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 【典例1-2】（2025·高一·四川凉山·期中）已知函数    (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)结合第（1）图象写出函数在上单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，求的取值范围. 【变式1-1】（2025·高一·江西萍乡·阶段练习）已知函数． (1)利用“五点画图法”完成以下表格，并画出函数在区间上的图象； (2)求函数的单调减区间． 【变式1-2】（2025·高一·江西九江·阶段练习）已知函数， (1)用五点作图法画出函数在一个周期上的简图； (2)若，求. 知识点2、三角函数的图像与性质 在上 的图像 定义域 值域（有界性） 最小正周期 （周期性） 奇偶性（对称性） 奇函数 偶函数 单调增区间 单调减区间 对称轴方程 对称中心坐标 最大值及对应自变量值 时 时 最小值及对应自变量值 时 时 函数 正切函数 图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 单调性 在上是单调增函数 对称轴 无 对称中心 题型二：函数的奇偶性 【典例2-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-1】（2025·湖北鄂州·一模）将函数向右平移个单位后，所得的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高三·全国·专题练习）设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型三：函数的周期性 【典例3-1】（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3-2】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【变式3-1】（2025·贵州毕节·二模）已知函数，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2025·广东·一模）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 题型四：函数的单调性 【典例4-1】（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【典例4-2】（2021年全国新高考I卷数学试题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高一·上海·开学考试）已知函数在区间上单调通增，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（2025·高一·湖南娄底·期中）已知函数，则函数在上的单调递增区间为： . 【变式4-3】（2025·高一·河南洛阳·期末）函数的单调递增区间为 ． 题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 【典例5-1】（2022年新高考全国I卷数学真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【典例5-2】（2020年江苏省高考数学试卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【变式5-1】（2025·高三·河南信阳·开学考试）函数的图象在区间上的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高二·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·甘肃武威·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于点对称 题型六：函数的定义域、值域（最值） 【典例6-1】（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【典例6-2】（2025·高一·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 【变式6-1】（2025·高一·山西·期末）若函数的定义域为，则的值域为 ． 【变式6-2】（2025·高一·福建福州·期末）的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为 ． 知识点3、与的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值 假设. ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心. 假设. ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5）单调性. 假设. ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 （，）的图象，可以用下面的方法得到： ①画出函数的图象； ②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象； ③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； ④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象. 题型七：三角函数性质的综合应用 【典例7-1】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【变式7-1】（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【变式7-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【变式7-3】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2022年新高考天津数学高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 题型八：根据条件确定解析式 【典例8-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（多选题）（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【变式8-2】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【变式8-3】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ． 【变式8-4】（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-5】（2025·高三·浙江宁波·期末）如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【变式8-6】（2025·甘肃兰州·一模）一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（    ） A． B． C． D． 题型九：三角函数图像变换 【典例9-1】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例9-2】（2025·高三·湖南永州·开学考试）已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【变式9-1】（2025·高三·辽宁丹东·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·高三·重庆沙坪坝·开学考试）为了得到曲线的图象，可以将曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 【强化测试】 1．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·广东广州·阶段练习）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2025·高一·河南郑州·开学考试）已知函数，则的最小正周期和最小值分别为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·全国·专题练习）设函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 7．（2025·高一·福建福州·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·高三·江苏盐城·阶段练习）智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线解析式为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·高三·广东深圳·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高三·北京·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A． B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴 14．（2025·山东济宁·一模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏宿迁·一模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·辽宁·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）（2025·高三·江苏·开学考试）若函数图像的一条对称轴方程为，则（    ） A． B．将函数的图象向右平移个单位得到的图象关于轴对称 C．若函数在区间上恰有2个极值点，则 D．函数只有一个零点 18．（多选题）（2025·陕西西安·二模）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），可得到函数的图象 19．（多选题）（2025·河北唐山·一模）已知函数，则关于的说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的最大值 C．图象关于点对称 D．把图象向左平移个单位长度得到的图象 20．（多选题）（2025·四川成都·二模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上有2个零点 21．（多选题）（2025·河北保定·模拟预测）已知函数，且，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．曲线在上有3条对称轴 22．（多选题）（2025·广东深圳·一模）已知，下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 23．（2025·高三·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 24．（2025·高一·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为 . 25．（2025·高一·全国·课后作业）函数在上的单调递减区间是 ． 26．（2025·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数的最大值为0，则的值是 . 27．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小正周期为 ，最小值为 ． 28．（2025·高一·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则 . 29．（2025·高一·广东佛山·期末）已知函数，，． 从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，，且的最小值为，；求解下列问题： （Ⅰ）化简的表达式并求的单调递增区间； （Ⅱ）请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象． （注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分） 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$