专题19 三角恒等变换（7大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题19 三角恒等变换 【题型归纳目录】 题型一：两角和与差的三角函数公式 题型二：利用角的拆分求值 题型三：给角求值 题型四：给值求值 题型五：给值求角 题型六：三角恒等变换的综合应用 题型七：辅助角公式的应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）基本公式 （2）三角恒等变换求值 （3）辅助角公式 2024年I卷第4题，5分 2024年II卷第13题，5分 2024年甲卷第8题，5分 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷II卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分 2021年甲卷第11题，5分 （1）会推导两角差的余弦公式 （2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 （3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 （4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点二：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点三：降次（幂）公式 知识点四：辅助角公式 （其中）． 【方法技巧与总结】 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 【典型例题】 题型一：两角和与差的三角函数公式 【典例1-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）（    ） A． B． C． D． 题型二：利用角的拆分求值 【典例2-1】（2025·高三·广东广州·开学考试）若，是第三象限角，则 . 【典例2-2】已知，则 . 【变式2-1】已知，则 . 【变式2-2】已知，若，则的值为 ，的值为 ． 题型三：给角求值 【典例3-1】（2025·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·广东汕头·二模）若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】 的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：给值求值 【典例4-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2022年新高考全国II卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【变式4-3】（2020年浙江省高考数学试卷）已知，则 ； ． 【变式4-4】（2020年江苏省高考数学试卷）已知 =，则的值是 . 题型五：给值求角 【典例5-1】（2025·陕西铜川·模拟预测）若，且，则的值为 ． 【典例5-2】（2025·湖南株洲·三模）若，，且，，则的值是 ． 【变式5-1】（2025·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 . 【变式5-2】（2025·北京海淀·模拟预测）若实数，满足方程组，则的一个值是 . 题型六：三角恒等变换的综合应用 【典例6-1】（2023年北京高考数学真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【典例6-2】（2021年浙江省高考数学试题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【变式6-1】（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：辅助角公式的应用 【典例7-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在上的最大值是 ． 【典例7-2】（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式7-1】（2022年新高考北京数学高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【变式7-2】（2020年北京市高考数学试卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 ． 【强化测试】 1．（2025·陕西安康·二模）已知，，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·贵州毕节·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·二模）已知为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 5．化简：（    ） A． B． C． D． 6． （    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ． 8．已知为锐角,若，则 . 9．已知，若，则 ． 10．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ． 11．（2025·辽宁·二模）已知，则 ． 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 13．（2025·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ． 14．（2025·山西晋城·二模）已知，，则 ． 15．已知，且，求的值为 ． 16．（2025·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 . 17．若在区间上是增函数，则的最大值是 . 18．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 19．设，，若，则的最大值为 ． 20．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 21．已知，则的最大值为 22．（2025·高三·河北承德·期中）已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为 ． 23．设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：时，的值域是． 24．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)将函数的图象向右平移得到函数的图象.记的内角所对的边分别为，已知，求的值. 25．已知函数. (1)若，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若曲线与的图象关于直线对称，求函数在上的值域. 26．（2025·湖北·一模）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值域和单调递增区间. 27．已知，记. (1)求函数的最小正周期； (2)若求，求. 28．（2025·高三·浙江·期末）已知 (1)求的最小正周期; (2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 三角恒等变换 【题型归纳目录】 题型一：两角和与差的三角函数公式 题型二：利用角的拆分求值 题型三：给角求值 题型四：给值求值 题型五：给值求角 题型六：三角恒等变换的综合应用 题型七：辅助角公式的应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）基本公式 （2）三角恒等变换求值 （3）辅助角公式 2024年I卷第4题，5分 2024年II卷第13题，5分 2024年甲卷第8题，5分 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷II卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分 2021年甲卷第11题，5分 （1）会推导两角差的余弦公式 （2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 （3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用 （4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点二：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点三：降次（幂）公式 知识点四：辅助角公式 （其中）． 【方法技巧与总结】 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 【典型例题】 题型一：两角和与差的三角函数公式 【典例1-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【典例1-2】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 【变式1-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【变式1-2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 【变式1-3】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， . 故选：D. 题型二：利用角的拆分求值 【典例2-1】（2025·高三·广东广州·开学考试）若，是第三象限角，则 . 【答案】 【解析】由题意可得， 所以，即， . 故答案为：. 【典例2-2】已知，则 . 【答案】 【解析】因为，即， 所以. 故答案为： 【变式2-1】已知，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 则， 故答案为： 【变式2-2】已知，若，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 【解析】由诱导公式得， 因为，所以，则， 由同角三角函数的基本关系得， 解得，则， 由两角和的正弦公式得， 故答案为：； 题型三：给角求值 【典例3-1】（2025·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：. 故选：D. 【典例3-2】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式 . 故选：B. 【变式3-1】（2025·广东汕头·二模）若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得 . 故选：A. 【变式3-2】 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式. 故选：A 题型四：给值求值 【典例4-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 【典例4-2】（2022年新高考全国II卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 【变式4-1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【变式4-2】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【解析】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 【变式4-3】（2020年浙江省高考数学试卷）已知，则 ； ． 【答案】 【解析】， ， 故答案为： 【变式4-4】（2020年江苏省高考数学试卷）已知 =，则的值是 . 【答案】 【解析】 故答案为： 题型五：给值求角 【典例5-1】（2025·陕西铜川·模拟预测）若，且，则的值为 ． 【答案】或. 【解析】由， 得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得， 所以，所以． 故的值为或． 故答案为：或. 【典例5-2】（2025·湖南株洲·三模）若，，且，，则的值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 且，所以， 则，且， 由，所以， 又，所以， 则， 所以 ， 又， 所以. 故答案为:. 【变式5-1】（2025·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，即 又，，所以， 则可得，则故. 故答案为：. 【变式5-2】（2025·北京海淀·模拟预测）若实数，满足方程组，则的一个值是 . 【答案】（满足或的值均可） 【解析】实数，满足方程组， 则， 由于， 所以，则； 所以，整理得， 所以或， 即得或. 故可以取时，． 故答案为：（满足或的值均可） 题型六：三角恒等变换的综合应用 【典例6-1】（2023年北京高考数学真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 【典例6-2】（2021年浙江省高考数学试题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【解析】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 【变式6-1】（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 题型七：辅助角公式的应用 【典例7-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【解析】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 【典例7-2】（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 【变式7-1】（2022年新高考北京数学高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【解析】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 【变式7-2】（2020年北京市高考数学试卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 ． 【答案】（均可） 【解析】因为， 所以，解得，故可取. 故答案为：（均可）. 【强化测试】 1．（2025·陕西安康·二模）已知，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 由，得， 因此，所以. 故选：B 2．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由，则， 所以，又为锐角，则， 所以，可得. 故选：D 3．（2025·贵州毕节·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ，解得， 所以. 故选：D 4．（2025·陕西西安·二模）已知为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，， 所以. 故选：D 5．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 6． （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 故选：A． 7．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为， 即，解得， 所以 . 故答案为： 8．已知为锐角,若，则 . 【答案】 【解析】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 ， ， 所以. 故答案为： 9．已知，若，则 ． 【答案】 【解析】若，则， 且，则， ， 可得 ， 所以. 故答案为： 10．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 11．（2025·辽宁·二模）已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得即， 两边平方得，得， 所以． 故答案为：． 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 . 【答案】/0.25 【解析】因为，则， 显然，可得， 整理得，解得或， 又因为，则，可得， 所以. 故答案为：. 13．（2025·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ． 【答案】 / / 【解析】因为，所以 ， 又，所以， 因为为锐角，所以为锐角， 又，所以， 又，所以， 所以． 故答案为：；. 14．（2025·山西晋城·二模）已知，，则 ． 【答案】 【解析】因为，即，可得， 又因为，可得， 所以. 故答案为：. 15．已知，且，求的值为 ． 【答案】/ 【解析】，则，注意到 ，于是 ，不妨记 ，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得： ，而，于是 . 故答案为：. 16．（2025·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】， 故， ，即， 故， 故，即， 则， 则， 可取. 故答案为： 17．若在区间上是增函数，则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故答案为：. 18．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ． 【答案】/0.8 【解析】由函数， 求导可得， 令，则， 由题意可得， 由函数可知当（）时，， 当（）时，，且为函数的极大值点， 则可得（），解得（）， 所以. 故答案为：. 19．设，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，，， 又，设， 则 ，其中， 因为的最大值为1， 所以的最大值为． 故答案为：． 20．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【解析】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 故答案为： 21．已知，则的最大值为 【答案】 【解析】，设，， ，其中， 可知当时，. 故答案为： 22．（2025·高三·河北承德·期中）已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为 ． 【答案】 【解析】，， 令，则， 得，所以， 所以， 令，则，得，由可得． 故答案为：． 23．设函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：时，的值域是． 【解析】（1）因为， 因为，所以． （2）选①，，故①不成立； 选②，因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，在时取最大值，则，解得， 因为，则， 因为，且有，解得， 故，； 选③，因为在区间上单调递减， 且当时，的值域是， 所以，. 所以，，解得， 且，解得. 24．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)将函数的图象向右平移得到函数的图象.记的内角所对的边分别为，已知，求的值. 【解析】（1） 的最小正周期为. （2）函数的图象是由函数的图象向右平移得到， . 又.由得， . 由余弦定理得： 25．已知函数. (1)若，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若曲线与的图象关于直线对称，求函数在上的值域. 【解析】（1）， 由，得，， 或， 解得或， 又，或0或； （2）将函数的图象向左平移个单位， 可得函数图象的解析式为， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 又曲线与的图象关于直线对称， ， ，. 故函数的值域为. 26．（2025·湖北·一模）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值域和单调递增区间. 【解析】（1）因为，，所以， 又， 故； （2）因为， 所以 ， 所以的值域为， 令， 解之得， 所以的单调递增区间为，. 27．已知，记. (1)求函数的最小正周期； (2)若求，求. 【解析】（1）因为 ， 所以的最小正周期. （2）因为， 可得，又因为，则， 则， 则， ， 可得 ， 所以. 28．（2025·高三·浙江·期末）已知 (1)求的最小正周期; (2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 【解析】（1） ， ； （2），即 所以或得舍 由边AC上的高， 根据正弦定理得： 是锐角三角形， ，， 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$