1.5 平行线的性质（讲练）（8大题型57题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图形 性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等 ∵∥ ∴∠1＝∠2 性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等 ∵∥ ∴∠2＝∠3 性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补 ∵∥ ∴∠2+∠4=180° 注意： “同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”三者中只要有一个成立,其余两个也成立,这是平行线的判定与性质的综合运用。 易错警示：忽视两直线平行这一条件是否存在 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行,不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 【基础练习】 【练习1-1】如图，直线与直线都相交．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴， 故选：D． 【练习1-2】如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，根据平行线性质得到，再结合求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故选：D． 【练习1-3】如图，直线l与直线a、b分别相交，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据“两直线平行，内错角相等”，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 平行线的判定和性质的区别与联系 平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是两直线平行,然后得出相应的角相等或互补的关系,是由“位置关系”到“数量关系”;而平行线的判定,是以相应的角相等或互补为条件,然后推导出两直线平行是由“数量关系”到“位置关系”。 判定 性质 两直线平行 （位置关系） 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 (数量关系) 【典例】如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠ABC＝70°，再根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠ABC＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABC＝35°． 故选：B． 【变式1-1】如图，已知直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，由得，进而可求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选： D． 【变式1-2】如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．57° C．43° D．123° 【答案】A 【解析】 【分析】由“两直线平行，同位角相等”得到∠3＝∠1＝57°，由垂直定义得到∠3+∠2＝90°，由此即可得解． 【详解】解：如图所示： ∵AB∥CD，∠1＝57°， ∴∠3＝∠1＝57°， ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣57°＝33°． 故选：A． 易错警示：混淆平行线的判定和性质 平行线的判定是由两角的数量关系来确定两直线的位置关系，而平行线的性质则是由两直线的位置关系来确定两角的数量关系。 【典例】如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．结合图形，利用平行线的性质和平角的定义求解即可． 【详解】依题意： 又 故选：B 【变式2-1】如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过三角形的角的顶点作，由两直线平行内错角相等可得，由等式的性质可得，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，于是得解． 【详解】解：如图，过三角形的角的顶点作， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 【变式2-2】将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，先证明，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【典例】将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2+∠3+∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 【变式3-1】如图，将一个矩形纸片按如图折叠，若∠1＝32°，则∠2的度数是 　 　． 【答案】74° 【解析】 【分析】结合平行线的性质得出：∠1＝∠3＝∠4＝32°，再利用翻折变换的性质得出答案． 【详解】解：如图， 由平行线的性质可得：∠1＝∠3＝∠4＝32°， 由翻折可知：． 故答案为：74°． 【变式3-2】用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．    【答案】/度 【解析】 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 【详解】解：如图，先标注点与角，    由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【典例】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出． 【详解】解：过P作直线，如下图所示， ∵，， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4-1】若，则，，的度数之比可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】过的顶点作，可得，利用平行线的性质求出，，可得，结合选项可得答案． 【详解】解：过的顶点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，，的度数之比可能为，故C正确． 故选：C．    【变式4-2】如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，进一步推出． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式4-3】如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（　　） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解． 【详解】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF， 则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E， ∵AB∥EF， ∴CG∥DH， ∴∠CDH＝∠DCG， ∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E）， ∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°． 故选：C． 拐点模型 “猪蹄”型 “铅笔头”型 “鹰嘴”型 “锯齿”型 已知AB//CD，则 ∠+∠=∠ 已知AB//CD，则 ∠+∠+∠=360° 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD， ∠+∠=∠+∠ 【典例】如图，已知与互补，平分，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式5-1】如图所示，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠D=72°，则∠BCD=_______. 【答案】108° 【解析】 【详解】∵∠1=∠2， ∴AD∥BC， ∴∠D+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-∠D=180°-72°=108°． 故答案：108°． 【变式5-2】如图，，，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可证，结合题意得出，再由平行线的判定定理证明即可； （2）根据垂线的定义得出，结合平行线的性质可得出，结合题意可求出，最后再次利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：， ． ， ． ． ， ． 方法技巧：综合分析法 对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件,再从已知条件开始推理,看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出推理过程，这种分析问题的方法称为综合分析法。 【典例】如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质．根据三角形内角和定理对①进行判断；根据角平分线定义和三角形内角和定理得到，则可对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对④进行判断． 【详解】∵， ∴，所以①正确； ∵的平分线相交于F，， ∴ ∴，所以②错误； ∵， ∴，所以③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，所以④错误． 答案：C． 【变式6-1】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠BCD；④∠B+∠BCD＝180°．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行得出AB∥CD，AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠B+∠BCD＝180°，即可作出判断． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∴①、④正确，③错误； ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， ∴②正确； 故选：D． 【变式6-2】如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，弄清楚图形中角度之间的关系是解题的关键． 根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故答案为①②④． 【典例】已知：如图，，，，，求证：． 证明：，（已知） （垂直定义） （_______） ______（_______） （已知） ______（等量代换） （_______） ______（_______） （已知） （_______） 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 根据平行线的性质与垂直的定义进行证明即可． 【详解】证明：，（已知） （垂直定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） ； 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【变式7-1】在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ） 【答案】同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可． 【详解】解：补全的证明过程如下： 证明：∵ （已知） ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） 【变式7-2】完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；； 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，能够熟练运用平行线的性质是解决本题的关键．根据平行线的性质，角平分线的性质，逐个进行分析填空即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， ， ． （已知）， ． 又平分（已知）， ． 又平分（已知）， ， ， ， ，即． 故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；；；；；；． 【典例】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角相等得出，最后由，可得结论．解题的关键是根据对顶角相等求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式8-1】如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°． 【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2=∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°， ∴∠2=55°； ∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°． 故选：B．    【变式8-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， 故答案为：． 1．如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，，直线分别交直线，于点，，过点作，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 利用平行线的性质求出，再根据即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．55° 【答案】A 【解析】 【分析】已知四边形ABCD是矩形，则可得AB∥CD，∠C＝90°；联系折叠的性质易得∠BDC′、∠DC′B的度数，由平行线的性质可求出∠ABD的度数；接下来在△BC′D中利用三角形内角和即可求出∠2． 【详解】解：由题意可知： ∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠1＝35° 由折叠的性质可知： ∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°． ∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°． 故选：A． 5．如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过作，得到，继而得到，得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 6．如图,AB∥CD,∠C=110°,∠B=120°,则∠BEC等于    (　　) A．110° B．120° C．130° D．150° 【答案】C 【解析】 【分析】首先过点E作EF∥AB，即可得EF∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1与∠2的度数，即可求得∠BEC的值． 【详解】过点E作EF∥AB，如图所示： ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠1+∠B=180°，∠2+∠C=180°， ∵∠C=110°，∠B=120°， ∴∠1=60°，∠2=70°， ∴∠BEC=∠1+∠2=130°． 故选C． 7．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 【答案】B 【解析】 【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 8．如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．由已知和邻补角互补易得，则，所以，再根据对顶角相等可得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9．已知，如图，平分，平分，，且，则下列结论①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的判定定理可判定①，根据三角形的内角和定理可判定②，根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义可判定④． 【详解】∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 但不能得出，平分，故③错误； ∴正确的有3个． 故选：C． 10．光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据补角的定义求出的度数，进而可得出的度数，由平行线的性质即可得出结论．掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 11．如图，已知直线，，则的度数为 ． 【答案】/度 【解析】 【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质．先求出，再利用平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 12．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】23° 【解析】 【分析】由平行线的性质得180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，再求出∠1＝21°，即可得出结论． 【详解】解：∵a∥b， ∴180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2， ∵∠2＝∠1+2°， ∴180°﹣106°＝∠1+30°+∠1+2°， 解得：∠1＝21°， ∴∠2＝∠1+2°＝21°+2°＝23°， 故答案为：23°． 13． 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在的位置上，与交于G点，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，据此可利用平角的定义求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ . 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解. 【详解】解：过点C作，如图： 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 15．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、求一个角的补角 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由，根据“同位角相等，两直线平行”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据补角的和为，则计算得出答案即可． 【详解】解：如图，标记， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，有下列结论：①； ②； ③； ④． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行，内错角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴，， 则结论正确的有②③， 故答案为：②③． 17．如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等． 由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出，根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 18．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，以及角平分线的性质， （1）根据平行线的性质得，结合已知即可求得； （2）根据角平分线的性质得，结合平行线的性质得，进一步依据平行线的判定即可判定． 【详解】（1）解：∵， ． 又∵， ∴； （2）证明：平分，， ． 又∵， ． ， ． 20．如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） 又， ， （内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ； 故答案为：，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 21．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握角平分线的定义及平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据平分，平分，得到，，由，得到，即可求解； （2）根据题意可得，由平行线的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义． （1）由平行线的性质求得，再由同角的余角相等求得，据此即可证明； （2）利用角平分线的定义求得，利用平行线的性质求得，利用邻补角的性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 23．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 24．已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ， 平分， ， 平分， ， ； （3）解：如图，过点作， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 由（2）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点逆时针以每秒的速度进行旋转， ∴， 综上，时，第一次与平行，此时． 26．如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合题意得出，即可得出结论； （2）①由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而求出，再由平行线的性质即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时；当点在点的右侧时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②如图，当点在点的左侧时， ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 如图，当点在点的右侧时， ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 综上所述，当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，． 26． 如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线上，H为直线下方一点． （1）如图1，和相交于点H，求证：．（温馨提示：可过点H作的平行线） （2）延长至点G，的平分线和的平分线相交于点E，与相交于点F． ①如图2，若，求的度数； ②如图2，当点F在点N左侧时，若的度数为，的度数为，且的值是一个定值，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． ③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；②不变，；③不变， 【解析】 【分析】（1）过点H作HQAB．可得HQCD，从而得到，即可求证； （2）①根据，可得，，从而得到，．再由，即可求解；②根据题意可得，，再由，即可求解；③过点H作OH∥AB，根据平行线的性质，可证得．从而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，过点H作HQAB． ∵HQAB且ABCD， ∴HQCD， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①平分， ∴， ∵NE平分∠DNG，∠DNE=30°， ∴， ∴，． 由（1）可知：． ∴； ②∵平分，， ∴， ∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°， ∴， ∴，， ∴． ∵为一个定值， ∴不会随x的变化而发生改变，度数为； ③不变，的度数为．理由如下： 如图，过点H作OHAB， ∴∠BMH=∠OHM， ∵ABCD， ∴OHCD， ∴∠DNH=∠OHN， ∴． ∵平分， ∴ ∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵为一个定值， ∴不会随x的变化而改变． 1． （2023•广东•中考真题）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝137°， 故选：D． 2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【答案】（1）；（2）详见分析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 【详解】解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 3．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 【答案】见分析 【解析】 【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图形 性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等 ∵∥ ∴∠1＝∠2 性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等 ∵∥ ∴∠2＝∠3 性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补 ∵∥ ∴∠2+∠4=180° 注意： “同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”三者中只要有一个成立,其余两个也成立,这是平行线的判定与性质的综合运用。 易错警示：忽视两直线平行这一条件是否存在 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行,不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 【练习1-4】 【基础练习】 【练习1-1】如图，直线与直线都相交．若，则（    ）    A． B． C． D． 【练习1-2】如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【练习1-3】如图，直线l与直线a、b分别相交，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 平行线的判定和性质的区别与联系 平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是两直线平行,然后得出相应的角相等或互补的关系,是由“位置关系”到“数量关系”;而平行线的判定,是以相应的角相等或互补为条件,然后推导出两直线平行是由“数量关系”到“位置关系”。 判定 性质 两直线平行 （位置关系） 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 (数量关系) 【典例】如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【变式1-1】如图，已知直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．57° C．43° D．123° 易错警示：混淆平行线的判定和性质 平行线的判定是由两角的数量关系来确定两直线的位置关系，而平行线的性质则是由两直线的位置关系来确定两角的数量关系。 【典例】如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例】将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 【变式3-1】如图，将一个矩形纸片按如图折叠，若∠1＝32°，则∠2的度数是 　 　． 【变式3-2】用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．    【典例】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则，，的度数之比可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（　　） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 拐点模型 “猪蹄”型 “铅笔头”型 “鹰嘴”型 “锯齿”型 已知AB//CD，则 ∠+∠=∠ 已知AB//CD，则 ∠+∠+∠=360° 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD，则∠+∠=∠ 已知AB//CD， ∠+∠=∠+∠ 【典例】如图，已知与互补，平分，那么（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图所示，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠D=72°，则∠BCD=_______. 【变式5-2】如图，，，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 方法技巧：综合分析法 对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件,再从已知条件开始推理,看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出推理过程，这种分析问题的方法称为综合分析法。 【典例】如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①③ D．①②③ 【变式6-1】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠BCD；④∠B+∠BCD＝180°．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【变式6-2】如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【典例】已知：如图，，，，，求证：． 证明：，（已知） （垂直定义） （_______） ______（_______） （已知） ______（等量代换） （_______） ______（_______） （已知） （_______） 【变式7-1】在下列解答中，填空并填写理由 如图，已知 ， ，试说明：． 证明：∵ （已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ） 【变式7-2】完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 【典例】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 1．如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，，直线分别交直线，于点，，过点作，交直线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．55° 5．如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 6．如图,AB∥CD,∠C=110°,∠B=120°,则∠BEC等于    (　　) A．110° B．120° C．130° D．150° 7．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 8．如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 9．已知，如图，平分，平分，，且，则下列结论①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知直线，，则的度数为 ． 12．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　 　． 13． 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在的位置上，与交于G点，若，则________． 14．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ . 15．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 16．如图，在四边形中，，有下列结论：①； ②； ③； ④． 其中正确的有 （填序号）． 17．如图，在三角形中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，是的角平分线，若，，，求的度数． 18．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    19．如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 20．如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 21．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 22．如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 23．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 24．已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 25．如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 26． 如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线上，H为直线下方一点． （1）如图1，和相交于点H，求证：．（温馨提示：可过点H作的平行线） （2）延长至点G，的平分线和的平分线相交于点E，与相交于点F． ①如图2，若，求的度数； ②如图2，当点F在点N左侧时，若的度数为，的度数为，且的值是一个定值，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． ③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 1． （2023•广东•中考真题）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 3．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$