精品解析：山西省太原市某校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一年级月考试题 数学 一、单选题（8小题，共32分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2. 已知函数，若为奇函数，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，求出，再验证即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，解得， 则， 因为， 所以为奇函数， 所以符合题意. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据向量加减可得向量的坐标，利用共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题得，， 由得，，解得． 故选：B. 4. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案. 【详解】∵，，且， ∵， ∴，， ∴在方向上的投影向量为， 故选：D． 5. 若，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合同角三角函数关系式和二倍角公式，即可求解 【详解】因为，则，① 又因为，则， 故①式整理可得，，解得或（舍去）， 故，所以． 故选：． 6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的平移变化求解析式即可. 【详解】向右平移个单位长度得到， 然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 所以. 故选：D. 7. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以 故选：A. 8. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若，为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；设的外接圆半径为，由圆心角和圆周角的关系可得，从而可用表示出，进而即可判断C；延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，所以， 进而即可求，从而即可判断D． 【详解】对于A：取的中点D，连接， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以， 即，故B正确； 对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又， 则有， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D正确． 故选：C． 【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到，，从而可设，则，由，得，进而即可求． 二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）． 9. 设向量，则下列说法错误的是（ ） A. 若与夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量只有一个，为 D. 若则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算，结合共线即可求解A，根据模长公式即可求解BD，根据单位向量的定义即可求解C. 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则需满足，解得，故A正确， 对于B，，当且仅当取到等号，故B错误， 对于C, 与共线的单位向量有两个，为，故C错误， 对于D,由得，解得，D正确， 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数单调递增区间是 C. “”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件 D. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用复合函数法可判断B选项；利用分段函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用二次不等式恒成立求出实数的范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，命题“，都有”的否定为“，使得”，故A正确； 对于B选项，函数是由函数和复合而成， 由于函数单调递增，解得， 所以函数的单调递增区间为， 故函数单调递增区间，故B错误； 对于C选项，因为， 所以，函数的增区间为， 若函数在区间单调递增，则，可得， 因为， 所以，“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，不等式对任意恒成立， 当时恒成立，合乎题意， 当时，则有，解得， 因此，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，故D错误， 故选：AC. 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形边上任意一点，则（ ） A. 与能构成一组基底 B. C. 在向量上的投影向量为 D. 若在线段（包括端点）上，且，则取值范围 【答案】BCD 【解析】 【分析】可根据图形得出，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断与是否共线，从而判断A选项的正误； 可求出向量的坐标，根据坐标即可判断B选项的正误； 根据投影向量的计算公式即可判断C选项的正误； 根据在线段（包括端点）上，设，然后表示出，即可求出取值范围判断选项D． 【详解】连接AF，因为°，， 因为，现， 故. 以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 则， ，且， 故， 故， 所以与平行，不能构成一组基底，错误； ， ，故，B正确； 又，所以， 即在向量上的投影向量为，C正确； 若在线段（包括端点）上，设， 所以， ， 由，可得，则， 所以，D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题考查了通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，平行向量的坐标关系，基底的定义，投影向量的定义及计算公式，共线向量基本定理． 三、填空题（共3小题，每小题4分，共12分）． 12. 已知函数的图象恒过定点．若点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的图象恒过定点，求出点的坐标，代入幂函数的解析式求出，再计算的值． 【详解】令，解得，此时， 所以指数函数的图象恒过定点； 因为点在幂函数的图象上，所以，解得， 所以，所以． 故答案为：． 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，可得，求解即可 【详解】设点为坐标原点， 点在线段的延长线上，且，， 即，． 点的坐标为． 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性和单调性，进而利用函数的单调性可求不等式. 【详解】由，得，显然上式都成立，所以函数的定义域为． 由， 得， 所以，所以是奇函数， 当时，，和在上是增函数， 所以在上是增函数， 又因为是奇函数，所以可得是上的增函数． 所以可转化为，即， 所以，解得．故原不等式的解集是． 故答案为：. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内. 四、解答题（共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，可得答案； （2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【小问1详解】 由，得，当且仅当时，等号成立． 故的最大值是3． 【小问2详解】 由，得，即． ， 当且仅当，即，时，等号成立． 故的最小值为． 16. 已知为坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先表示出，，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 又三点共线，所以， 所以，解得 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以， 所以 ， 所以当时. 17. 已知向量，，． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的范围，再结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以，则， 所以函数在上的值域为. 18. 已知函数是偶函数． （1）求实数k的值； （2）求最小值； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，再代入检验即可； （2）利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值； （3）依题意可得不等式对任意恒成立，令，即可得到不等式对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，结合对勾函数的性质求出，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为为偶函数，所以， 即，解得， 此时函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立； 所以， 即的最小值为，当时取得最小值； 【小问3详解】 由（1）可得， 则， 由不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 令，则， 所以不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级月考试题 数学 一、单选题（8小题，共32分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若为奇函数，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 3. 已知向量，，若，则（ ） A 2 B. C. D. 4. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A B. C. D. 5. 若，则的值是（    ） A. B. C. D. 6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 8. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若，为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）． 9. 设向量，则下列说法错误的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量只有一个，为 D. 若则 10. 下列说法正确是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数单调递增区间是 C. “”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件 D. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为是正八边形边上任意一点，则（ ） A. 与能构成一组基底 B. C. 在向量上的投影向量为 D. 若在线段（包括端点）上，且，则取值范围 三、填空题（共3小题，每小题4分，共12分）． 12. 已知函数的图象恒过定点．若点在幂函数的图象上，则______． 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 14. 已知函数，则不等式的解集是___________． 四、解答题（共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 15. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 16. 已知坐标原点，，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若点满足，求的最小值. 17. 已知向量，，． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 18. 已知函数是偶函数． （1）求实数k的值； （2）求的最小值； （3）若不等式对任意恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $