精品解析：江苏省盐城市东台市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列音符图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件：①在足球赛中弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④太阳从西方升起.其中确定事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 5. 如图，将含角的绕直角顶点C顺时针旋转，点B落在边上的点处，点A落在边延长线上的点处，则的度数为( ) A 15° B. 20° C. 25° D. 30° 6. 在中，点P在对角线上，过P作，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，矩形 B. 当时，菱形 C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 8. 如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则等于( ). A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 已知平行四边形的周长是30，相邻两边的长相差3，则两条邻边中较长的边长为_____． 10. 点关于原点对称的点的坐标是_________． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝________cm． ​ 12. 如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为 _____． 13. 为了直观地表示某店今年下半年某款电视每月的销售额随月份的变化趋势，最适合使用的统计图是__________． 14. 一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.10，0.24，0.36，则第四组数据的个数为____． 15. 已知矩形，点为的中点，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点，若，则的值为______． 16. 如图，矩形的边的长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到，若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为____________． 17. 如图，菱形的周长为，对角线和相交于点O，，则 ____，菱形的面积S=____． 18. 如图，在菱形ABCD中，，P是对角线AC上一动点，连接DP，将沿边CD翻折得到，连接BM，当为等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 体育委员统计了全班同学秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 （1）全班有______个学生 （2）组距是______，组数是______ 20. 如图，点E是正方形ABCD边AB上一点，AB=4，DE=4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合． （1）旋转中心是______，旋转角为______∘； （2）请你判断△DFE的形状，简单说明理由； （3）四边形DEBF的面积为 ． 21. 先在方格空白处任意位置按画出下面图形放大后的图形，再画出原图绕点顺时针旋转所形成的图形． 22. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若DE+EF＝10，求菱形ABCD的周长． 23. 如图，在矩形中，与相交于，，点是边上的动点，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）如图1，当平分时，试证明，并求出的度数； （3）如图2，当平分时，试证明． 24. 如图，在中，对角线相交于点O，． （1）求证：； （2）若点E，F分别为的中点，连接，，，求的周长． 25. 如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC． （1）求证：AE=DC； （2）已知DC=，求BE的长． 26. 已知，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，且，，，求的长． 27. 已知四边形ABCD是平行四边形， （1）作∠ADC的角平分线，与AB交于点E (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）若点E恰好与点B重合，求证：四边形ABCD为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列音符图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不合题意； D、不是中心对称图形，不合题意； 故选B． 2. 下列事件：①在足球赛中弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④太阳从西方升起.其中确定事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．根据确定事件的概念对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：①在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，不是确定事件，故①不合题意； ②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，不是确定事件，故②不合题意； ③任取两个正整数，其和大于1是必然事件，是确定事件，故③符合题意； ④太阳从西边升起，是不可能事件，是确定事件，故④符合题意． 综上可得只有③④属于确定事件，共2个． 故选B． 【点睛】本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 3. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质求得AO=BO=2，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4， ∴AC=BD=4，AC⊥BD， ∴AO=BO=2， ∵点E是OB的中点， ∴EO=， 在Rt△EOA中，EO=，AO=2， ∴AE=， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，解题的关键是熟知正方形的对角线相等且垂直平分． 4. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选A正确； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D错误． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5. 如图，将含角的绕直角顶点C顺时针旋转，点B落在边上的点处，点A落在边延长线上的点处，则的度数为( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得：，，根据等边对等角得出，根据可求出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，得出和是解题的关键． 6. 在中，点P在对角线上，过P作，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题关键点是掌握平行四边形对角线平分四边形面积．先证四边形和四边形都是平行四边形，再利用平行四边形对角线平分 四边形面积即可． 【详解】解：因为，在 中，点P在对角线AC上，过P作，， 所以，四边形边形和四边形都是平行四边形， 所以， ，，， 所以， ， 所以，，即： 故选：B． 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个分析判断即可． 【详解】解：A、当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； C、当是正方形时，由正方形的对角线可得，故该选项不符合题意； D、当是菱形时，可得，不能得到，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则等于( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求出∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B=67.5°，再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE=CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案. 【详解】∵，， ∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°， ∵， ∴∠B=90°﹣∠BCD =90°﹣22.5°=67.5°， 又∵是斜边的中点， ∴BE=CE， ∴∠BCE=∠B=67.5°， ∴67.5°﹣22.5°=45°. 故选D. 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 已知平行四边形的周长是30，相邻两边的长相差3，则两条邻边中较长的边长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等，设较长的边长为，则较短的边长为，根据周长是30，建立一元一次方程解方程求解即可． 【详解】解：设较长的边长为，则较短的边长为， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 10. 点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点关于原点对称的点的坐标为．根据坐标规律即可得到点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝________cm． ​ 【答案】8 【解析】 【详解】分析： 由已知条件易得CF是Rt△ABC斜边上的中线，DE是Rt△ABC的中位线，由此可得AB=2CF=2DE，从而可得DE=CF=8cm. 详解： ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点， ∴AB=2CF，AB=2DE， ∴DE=CF=8（cm）. 故答案为：8. 点睛：熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键. 12. 如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为 _____． 【答案】13 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质知O为BD的中点，即可判断OE是△DBC的中位线，即OE=BC，从而得出△BCD的周长是△DOE的周长的二倍，再根据BC+CD是平行四边形周长的一半求出BD的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为38， ∴O是BD的中点，BC+CD=38×=19， ∵点E是CD的中点， ∴OE是△DBC的中位线， ∴△BCD的周长是△DOE的周长的2倍， 即BD+BC+DC=2（OD+OE+ED）=2×16， ∴BD+19=32， 解得：BD=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键． 13. 为了直观地表示某店今年下半年某款电视的每月的销售额随月份的变化趋势，最适合使用的统计图是__________． 【答案】折线统计图 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择，由扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，据此可得答案． 【详解】解：为了直观地表示某店今年下半年某款电视每月的销售额随月份的变化趋势，最适合使用的统计图是折线统计图， 故答案为：折线统计图． 14. 一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.10，0.24，0.36，则第四组数据的个数为____． 【答案】15 【解析】 【分析】首先计算出第四小组的频率,再利用总数×频率可得第四组数据的个数. 【详解】解:第四小组频率为:1-0.1-0.24-0.36=0.3, 第四组数据的个数为:50×0.3=15, 因此，本题正确答案是:15. 【点睛】本题考查了统计的简单应用,属于简单题,利用频数=总数×频率是解题关键. 15. 已知矩形，点为的中点，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点，若，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设，连接，，则，由四边形是矩形，点为中点，得，，， ，所以，由折叠得，，，，所以，，，则，再证明，得，，可证明，则，所以，，则，由勾股定理得，则得到问题的答案． 【详解】解：设，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，点为中点， ∴，，，， ∴， 由折叠得，，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，矩形的边的长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到，若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得； ②当点恰好落在上时，如图， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴， 在中， ， 同理， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，，矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理，分类讨论思想是解答此题的关键． 17. 如图，菱形的周长为，对角线和相交于点O，，则 ____，菱形的面积S=____． 【答案】 ①. 1:2 ②. 16 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，即可求解第一个空；由菱形的性质可得菱形边长，由及勾股定理求得的长，即可求解菱形面积． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵菱形的周长为， ∴， ∵菱形的对角线互相垂直， ∴是直角三角形． ∴根据勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 如图，在菱形ABCD中，，P是对角线AC上一动点，连接DP，将沿边CD翻折得到，连接BM，当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】225°或56.25°或90° 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质及翻折的性质可得：，，，CB=CD，，，CM=CP，DM=DP；再分三种情况分别画图，根据菱形的性质、翻折的性质、角的有关计算即可分别求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，， ∴，，，CB=CD 由翻折可知，，CM=CP，DM=DP， 如图：当BC=CM时， ∴CM=CP=CB=CD， ∴， ； 如图：当BC=BM时， ∴， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：点M与点P关于CD对称， ， 又点P在AC上 点P在BM上， 在与中， ， ； 如图：当BM=CM时， ， ， 平分， 经过点D， ； 综上，的度数为22.5°或56.25°或90° 【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内外和定理，分类讨论的思想是解决本题的关键． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 体育委员统计了全班同学秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 （1）全班有______个学生 （2）组距是______，组数是______ 【答案】（1）53 （2）20，7 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，看懂频数分布表是解题的关键． （）把频数相加即可求解． （）根据频数分布表即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布表得，全班学生有个． 故答案为：53． 【小问2详解】 解：由频数分布表得，组距是，组数有组． 故答案为：20，7． 20. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合． （1）旋转中心是______，旋转角为______∘； （2）请你判断△DFE的形状，简单说明理由； （3）四边形DEBF的面积为 ． 【答案】（1）点D，90；（2）△DFE是等腰直角三角形，理由详见解析；（3）16． 【解析】 【分析】（1）依据△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合，即可得到旋转中心以及旋转角的度数； （2）根据旋转可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，即可得到△DFE是等腰直角三角形； （3）根据△ADE≌△CDF，即可得到：四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积． 【详解】解：（1）由旋转可得，旋转中心是点D；旋转角为∠ADC=90°， 故答案为点D，90； （2）△DFE是等腰直角三角形．； 理由：根据旋转可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°， 所以△DFE是等腰直角三角形．； （3）根据旋转可得：△ADE≌△CDF， ∴四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=4×4=16． 【点睛】本题考查旋转的性质，掌握“旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等”是解题的关键． 21. 先在方格空白处任意位置按画出下面图形放大后的图形，再画出原图绕点顺时针旋转所形成的图形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画放大的图形，画旋转图形，把原图的三角形的三边都放大两边后画出对应的三角形即可；根据网格的特点和旋转方式画出对应的旋转图形即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 22. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若DE+EF＝10，求菱形ABCD的周长． 【答案】（1）见解析；（2）40 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，求得，根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，求得，根据菱形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， 菱形的周长． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证得是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，与相交于，，点是边上的动点，连接． （1）求证：等边三角形； （2）如图1，当平分时，试证明，并求出的度数； （3）如图2，当平分时，试证明． 【答案】（1）见详解 （2）见详解， （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质结合即可证得结论； （2）根据矩形的性质结合平分可得是等腰直角三角形，再结合（1）的结论可得，的度数，最后根据等腰三角形的性质即可求得结果； （3）根据等边三角形的性质结合平分可得的度数，再根据矩形的性质可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ， 为等腰三角形， 又， 为等边三角形； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， ； 为等边三角形， ，， ，， 为等腰三角形， ， ； 【小问3详解】 为等边三角形， ， 平分， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， 为直角三角形，， ． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分，有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 24. 如图，在中，对角线相交于点O，． （1）求证：； （2）若点E，F分别为的中点，连接，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意易证四边形为菱形，即得出； （2）由三角形中位线定理可求出，从而得出，进而由勾股定理可求出，最后由菱形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形， ； 【小问2详解】 解：点，分别为，的中点，， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理．熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 25. 如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC． （1）求证：AE=DC； （2）已知DC=，求BE的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质及已知条件可得到△AEF≌△DCE，即可证明AE=DC； （2）由（1）得到AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长． 【详解】（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵EF⊥EC， ∴∠FEC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△AEF和△DCE中， ∵∠A=∠D，∠1=∠3，EF=EC， ∴△AEF≌△DCE（AAS）， ∴AE=DC； （2）由（1）得AE=DC， ∴AE=DC=， 在矩形ABCD中，AB=CD=， 在R△ABE中，， 即， ∴BE=2． 26. 已知，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当点D在射线之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，且，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质得到，根据平行线的性质推出，根据等腰三角形的判定得出，则，根据菱形的判定定理即可得解； （2）连接交于点M，根据轴对称图形的性质得到，则是的中位线，，根据三角形中位线性质得出，根据三角形中位线的判定与性质及直角三角形的性质求出，设，则，根据勾股定理推出，据此求出x的值，再根据三角形中位线性质即可得解． 小问1详解】 证明：如图所示， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点M， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵C是的中点， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ∵，C是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了轴对称图形的性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练运用轴对称图形的性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理是解题的关键． 27. 已知四边形ABCD是平行四边形， （1）作∠ADC的角平分线，与AB交于点E (用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）若点E恰好与点B重合，求证：四边形ABCD为菱形． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图求解即可； （2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明即可； 【详解】（1）如图，DE为所作； （2）若点E恰好与点B重合，则四边形AEFD是菱形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠CDE＝∠DEA， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DEA， ∴AD＝AE， 即：AD=AB， ∴□ABCD是菱形． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图和菱形的判定，结合角平分线的性质和平行四边形的性质证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $