精品解析：江苏省盐城市东台市实验中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

东台市实验中学2023~2024学年春学期阶段测试试卷 初 二 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的选项填在答题纸相应的位置上） 1. 下列调查中，适合用普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 某本书的印刷错误 C. 对学校建立英语角看法 D. 公民保护环境的意识 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 没有水分，种子发芽 B. 367人中至少有2人的生日相同 C. 3天内将下雨 D. 你最喜爱的篮球队将夺得本届冠军 3. 把26个英文字母看成图案，下列英文大写字母中是中心对称图案的是（ ） A. B. C. D. 4. 在，，，，中，分式个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 6. 从一副扑克牌中任意抽取1张 ，下列事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 这张牌是“A” B. 这张牌是“红心” C. 这张牌是“红色的” D. 这张牌是“大王” 7. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，，是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将答案直接写在答题纸相应的位置）． 9. 当____________时，分式有意义． 10. 学校为了考察某校八年级同学的视力情况，从八年级的160名学生中，抽取了20名进行分析，在这个问题中，样本的容量是____________． 11. 已知点都在反比例函数的图像上，则 ____________．（填“”或“”） 12. 已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于_______． 13. 若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为____________． 14 若分式方程无解，则______． 15. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为6，则k的值为____________． 16. 如图，在四边形中，，且与不平行，F、G、H分别是、、的中点，当的面积最大时，的周长为____________． 三、解答题（本题共9小题，共72分） 17. 化简∶ （1） （2） 18. 解方程：． 19. 如图，在2×4的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．在下图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形； 20. 【教材定义】我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【问题探究】请根据以上平行四边形的定义证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （要求：画图，写已知、求证，并写出证明过程） 21. 某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩作为样本进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如图两幅统计图（不完整）． 请你根据图中所给信息解答下列问题： （1）此样本的样本容量为 ． （2）请将以上两幅统计图补充完整； （3）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取学生中有 人达标； （4）请从两幅统计图中所获得的信息说说该校学生的文明礼仪知识测试情况． 22. 一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 （1）请将表补充完整； （2）画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） （3）若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点C是点B关于直线的对称点，连接，，求的面积； （4）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 25. 【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由； 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值； 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东台市实验中学2023~2024学年春学期阶段测试试卷 初 二 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的选项填在答题纸相应的位置上） 1. 下列调查中，适合用普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 某本书的印刷错误 C. 对学校建立英语角的看法 D. 公民保护环境的意识 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，数量众多，调查具有破坏性，适合抽样调查，不合题意； B、某本书上印刷错误，适合抽样调查，不合题意； C、对学校建立英语角的看法，范围较小，适合普查，符合题意； D、公民保护环境的意识，人数众多，适合抽样调查，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 没有水分，种子发芽 B. 367人中至少有2人的生日相同 C. 3天内将下雨 D. 你最喜爱的篮球队将夺得本届冠军 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件、随机事件及必然事件的定义，逐项判断即可作答． 【详解】解：A、没有水分，种子会发芽，这是不可能事件； B、367人中至少有2人的生日相同，这是必然事件； C、3天内将下雨，这是随机事件； D、你最喜爱的篮球队将夺得本届冠军，这是随机事件； 故选：A． 3. 把26个英文字母看成图案，下列英文大写字母中是中心对称图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；依据这个概念进行判断即可． 【详解】解：字母、及找不到一个点，使得字母绕此点旋转后能与原来字母重合，故都不是中心对称图形，只有字母，能找到一个点，使得字母绕此点旋转后能与原来字母重合，故是中心对称图形； 故选：C． 4. 在，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有，共个， 故选A 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 5. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选C． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 6. 从一副扑克牌中任意抽取1张 ，下列事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 这张牌是“A” B. 这张牌是“红心” C. 这张牌是“红色的” D. 这张牌是“大王” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件发生的可能性大小，分别计算出各个事件的概率即可作出判断． 【详解】解：这张牌是“A”的概率为：； 这张牌是“红心”的概率为：； 这张牌是“红色的”的概率为：； 这张牌是“大王”的概率为：； 而，则这张牌是“大王”发生的可能性最小； 故选：D． 7. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 8. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，，是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求的值，根据，求的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵H是的中点， ∴， 由正方形的性质可得， ， 同理可得， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将答案直接写在答题纸相应的位置）． 9. 当____________时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分母不为0，再进一步解答即可； 【详解】解：由题意可得：， ∴； 故答案为： 10. 学校为了考察某校八年级同学的视力情况，从八年级的160名学生中，抽取了20名进行分析，在这个问题中，样本的容量是____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了样本与样本容量，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，是不带单位的量．理解样本容量是解题的关键．根据样本容量的概率即可解答． 【详解】解：抽取的20名八年级同学的视力情况是样本，样本容量是20； 故答案为：20． 11. 已知点都在反比例函数的图像上，则 ____________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数函数值的大小；分别求出，的值，比较即可． 【详解】解：当时，；当时，； 则； 故答案为：． 12. 已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．先根据题意画出示意图，再根据菱形的性质求出菱形的边长即可算出周长． 【详解】解：如图，在菱形中，， 四边形是蓄形， ， ． 菱形的周长． 故答案为：． 13. 若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 14. 若分式方程无解，则______． 【答案】2或 1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题； 根据分式方程无解分为有增根和去分母后的整式方程无解两种情况进行讨论即可． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， ∴当或时分式方程无解， 当时，解得：， 当时，即时， 可得， 解得， ∴当或时，分式方程无解， 故答案为：2或 1． 15. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为6，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知延长则经过点B，设，则，确定点，然后结合图形及反比例函数的k的几何意义，得出，再代入求解即可． 本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，割补法处理三角形面积，数形结合的思想以及方程思想是解决本题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 设点， ∵矩形的对称中心为M， ∴延长则经过点B，， ∵， ∴， ∴， 过点M作于点N， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，且与不平行，F、G、H分别是、、的中点，当的面积最大时，的周长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，作于点，如图所示，由三角形的中位线的性质可得，结合三角形的面积公式可得当重合时，的面积最大，此时，，再进一步解答可得答案； 【详解】解：作于点，如图所示， ∵F、G、H分别是、、的中点，， ，， ， 与不平行， ，不能重合， 、、是三角形的三个顶点， ， 是的边上的高， ， ， 当重合时，的面积最大，此时，， ∴， 此时的周长为：； 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共72分） 17. 化简∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的减法运算； （1）把分子分母分解因式，约分即可； （2）先通分，再计算减法运算即可； 小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 18 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：原方程去分母得：　 　 　 　 经检验，是原方程的根， ∴原方程的解为． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，掌握解分式方程的方法是解题关键． 19. 如图，在2×4的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．在下图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形； 【答案】见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了格点作图：作等腰三角形及作中心对称图形，勾股定理等知识；按要求正确画图即可． 【详解】解：画的等腰三角形如下，其中底边，点E在上，点F在上，且；三角形绕矩形的中心旋转后的图形为； 20. 【教材定义】我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【问题探究】请根据以上平行四边形的定义证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （要求：画图，写已知、求证，并写出证明过程） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定；按照要求画出图形、写出已知、求证，先证明，得，则；同理得，则可判定四边形为平行四边形． 【详解】已知：如图，四边形的对角线交于点O，且； 求证：四边形是平行四边形； 证明：在与中， ， ， ， ； 同理，， ， ， ， 四边形为平行四边形． 21. 某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩作为样本进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如图两幅统计图（不完整）． 请你根据图中所给的信息解答下列问题： （1）此样本的样本容量为 ． （2）请将以上两幅统计图补充完整； （3）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有 人达标； （4）请从两幅统计图中所获得的信息说说该校学生的文明礼仪知识测试情况． 【答案】（1）120 （2）见解析 （3）96 （4）见解析（合理即可） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、从统计图中获取信息等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据不合格的人数及其占比即可求得样本容量； （2）根据百分比和为1可求得一般的占比，从而补充扇形统计图；根据样本容量即可求得优秀人数，从而可补充完整条形统计图； （3）样本中“一般”和“优秀”的人数和即是； （4）根据扇形统计图中该校被抽查的学生中仍然有的测试成绩不合格，文明礼仪教育仍需加强（合理即可）． 【小问1详解】 解：抽取的样本容量为； 故答案为：120； 【小问2详解】 解：成绩一般的学生占的百分比， 成绩优秀的人数（人）， 补充的扇形统计图与条形统计图如下： 【小问3详解】 解：该校被抽取的学生中达到优秀的有（人）， 故答案为：96； 【小问4详解】 解：从扇形统计图知该校被抽查的学生中仍然有的测试成绩不合格，文明礼仪教育仍需加强（合理即可）． 22. 一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 （1）请将表补充完整； （2）画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） （3）若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）66 【解析】 【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键． （1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格； （2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率； （3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数． 【小问1详解】 解：，； 补充完整表格如下： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500 摸出白球的频率 【小问2详解】 解：折线统计图如下： 由图知，摸出白球的概率估计值是； 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是， 则袋中200个球，白球可能为：（个） 故答案为：66． 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点C是点B关于直线的对称点，连接，，求的面积； （4）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），画图见解析 （2）或； （3） （4）的坐标为或或； 【解析】 【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可； （2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案； （3）根据点是点关于直线的对称点，求出点C的坐标，得到的长，进一步求出三角形的面积即可． （4）分三种情况，画出图形，结合平移的性质可得答案； 【小问1详解】 解：把，分别代入得， ，， 解得，， ∴ 点，点， 把点点，点代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的表达式是， 这个一次函数的图象如图， ； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图， ∵，，， 当为对角线时，结合平移的性质可得：， 当为对角线时，结合平移的性质可得：， 当为对角线时，结合平移的性质可得：， 综上：的坐标为或或； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，轴对称的性质，坐标与图形面积，平移的性质，函数与不等式的关系，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 24. 教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 【答案】（1），，证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点F，使，连接，证明，然后推导四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）连接并延长交的延长线于点G，证明，然后根据三角形的中位线定理得到结论； （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点．证明三点共线，再结合三角形的中位线的性质可得答案； 【详解】证明：（1），，理由如下： 延长至点F，使，连接， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， ，． （2）解：，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，如图： ∵， ，， ∵F是CD的中点， ， ， ，， ∵E是的中点，F是的中点， ， ． （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点． ∴，，而， ∴， ∴三点共线， 由三角形的中位线的性质可得： ，， ∴； 25. 【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由； 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值； 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【解析】 【分析】（1）由两个函数的交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$