专题强化01：平面向量的题型讲与精【11大题型 培优】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

专题强化01：平面向量的题型讲与精 【考点归纳】 · 考点一：平行向量的基本概念 考点二：平面向量的线性运算 · 考点三：平面向量的共线定理 考点四：平面向量基本定理 · 考点五：平面向量的线性运动坐标表示 考点六：平面向量共线的坐标表示 · 考点七：平面向量的数量积 考点八：平面向量的数量积的坐标表示 · 考点九：平面向量的应用举例 考点十：平面向量在几何的最值问题 · 考点十一：平面向量的新定义 【题型探究】 题型一：平行向量的基本概念 1．（24-25高一下·湖北荆州）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 2．（24-25高一下·全国）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 题型二：平面向量的线性运算 4．（24-25高一下·全国）下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·湖北）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型三：平面向量的共线定理 7．（2025·吉林长春·二模）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·全国）已知两个非零向量不共线，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 题型四：平面向量的线性运算坐标表示 10．（24-25高一下·全国）在中，若，，对角线的交点为O，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·云南曲靖）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 12．（23-24高一下·天津·期中）若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 题型五：平面向量共线、垂直的坐标表示 13．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·天津）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，，，若，，则（    ） A． B．8 C． D．6 16．（24-25高一下·江苏无锡）已知，，且与的夹角为120°，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 题型六：平面向量的数量积 17．（24-25高一下·全国）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记． (1)用表示向量； (2)若，且，求的余弦值． 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨）已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 题型七：平面向量的数量积的坐标表示 19．（23-24高一下·江苏无锡）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 20．（23-24高一下·福建漳州）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 21．（23-24高一下·天津河北·期中）设，向量，，，且，. (1)求，的值； (2)求及的结果； (3)已知点，若向量与共线，，求点的坐标. 题型八：平面向量的应用举例 22．（24-25高一下·全国）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 23．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 题型九：平面向量在几何的应用 25．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 26．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 27．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型十：平面向量在几何的最值问题 28．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 30．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 题型十一：平面向量的新定义 31．（23-24高一下·江苏无锡）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·山东聊城·期中）设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系中的坐标.若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【专题训练】 一、单选题 34．（24-25高一下·江苏宿迁）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 37．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若，则存在唯一实数使得； ④两个非零向量，若，则与共线且反向； ⑤若，则. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 40．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知向量都是单位向量，，则（    ） A．= B．= C．= D．与共线 41．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量上的投影向量为 42．（23-24高一下·江苏南京·期中）关于平面向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若非零向量、满足，则与的夹角是 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 43．（23-24高一下·江苏徐州·期中）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D．若点G为中线的交点，则 44．（23-24高一下·江苏泰州）定义两个平面向量的一种运算，为的夹角，则对于两个平面向量，下列结论正确的有（ ） A． B． C． D．若，则 45．（23-24高一下·江苏扬州·期中）下列结论正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．，能作为平面向量的一组基底 C．在边长为1的等边中， D．在上的投影向量可以表示为 三、填空题 46．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则 . 47．（23-24高一下·江苏无锡）已知点P为内一点，，则 ． 48．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 49．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 50．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，点满足，则 ， ． 四、解答题 51．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 52．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 53．（24-25高一下·江苏南通）已知向量，，且． (1)若向量与互相垂直，求的值． (2)若向量与互相平行，求的值． 54．（23-24高一下·江苏无锡）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 55．（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. (1)求证：为定值； (2)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：平面向量的题型讲与精 【考点归纳】 · 考点一：平行向量的基本概念 考点二：平面向量的线性运算 · 考点三：平面向量的共线定理 考点四：平面向量基本定理 · 考点五：平面向量的线性运动坐标表示 考点六：平面向量共线的坐标表示 · 考点七：平面向量的数量积 考点八：平面向量的数量积的坐标表示 · 考点九：平面向量的应用举例 考点十：平面向量在几何的最值问题 · 考点十一：平面向量的新定义 【题型探究】 题型一：平行向量的基本概念 1．（24-25高一下·湖北荆州）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据向量运算法则，结合向量相等的定义判断①，根据向量相等定义判断②，根据向量加法和零向量定义判断③. 【详解】互为相反向量．又互为相反向量，故，故①正确； 当时，应有，且由点到点与由点到点的方向相同，但不一定有点与点重合，点与点重合，故②错误； 若且，则，，故③正确． 故选：B. 3．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 题型二：平面向量的线性运算 4．（24-25高一下·全国）下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，由向量加法的运算律可知，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D正确， 故选：B. 5．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 6．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 题型三：平面向量的共线定理 7．（2025·吉林长春·二模）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 8．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两个非零向量不共线，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可． 【详解】对于A，，， 不存在实数，使得成立， ∴三点不共线，故A错误； 对于B，由A知，又， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故B错误； 对于C，， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故C错误； 对于D，， 三点共线，故D正确． 故选：D． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 题型四：平面向量的线性运算坐标表示 10．（24-25高一下·全国）在中，若，，对角线的交点为O，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由求出. 【详解】． 故选：B 11．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先求得的坐标，再由求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 12．（23-24高一下·天津·期中）若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与的坐标，然后根据向量夹角余弦公式即可求夹角. 【详解】因为向量，，所以，， 所以，，， 设与的夹角为，则，又，所以. 故选：C 题型五：平面向量共线、垂直的坐标表示 13．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据向量平行与向量垂直的坐标表示得、，进而求出的坐标，结合向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 则. 故选：D 14．（23-24高一下·天津）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量，根据、的坐标运算可得答案. 【详解】设向量，则，， 因为，， 所以，，解得，， 则. 故选：A. 15．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，，，若，，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】运用向量平行，垂直的坐标结论即可求解. 【详解】,向量，,则，则； ，向量，，则，则. 则. 故选：B. 16．（24-25高一下·江苏无锡）已知，，且与的夹角为120°，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【详解】（1）， 所以. （2）由于向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 题型六：平面向量的数量积 17．（24-25高一下·全国）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记． (1)用表示向量； (2)若，且，求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得； （2）利用结合条件根据向量夹角公式运算求解即得. 【详解】（1）由题意可得：， 所以， . （2）因为三点共线，由可得， 则，可得， 则， 所以，即的余弦值为. 18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨）已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，. 【分析】（1）由条件，结合数量积的运算律求； （2）由条件根据数量积运算律求，再计算，由此证明结论； （3）根据模的性质和数量积运算律求，根据向量夹角公式求. 【详解】（1）因为， 所以，故， 又， 所以， （2）因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 题型七：平面向量的数量积的坐标表示 19．（23-24高一下·江苏无锡）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. （2）由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 20．（23-24高一下·福建漳州）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】（1）求出的坐标，再求出模即可； （2）求出和的坐标，再由，得到关于的方程，求解即可； （3）由向量与的夹角为锐角，得到且与不共线，从而建立关于的不等式关系，求解即可. 【详解】（1）由，知，所以． （2）由，知,, 因为， 所以，解得： （3）由题可得，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与不共线． 从而命题等价于，即，所以的取值范围是． 21．（23-24高一下·天津河北·期中）设，向量，，，且，. (1)求，的值； (2)求及的结果； (3)已知点，若向量与共线，，求点的坐标. 【答案】(1) (2)， (3). 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）利用向量的数量积的坐标运算可求解； （3）设，利用已知可求，进而可求的坐标. 【详解】（1）由，，得， 解得， 所以，. （2）因为， 所以， . （3）由题意可设，得到. 因为， 所以， 解得或. 当时，，由点，得到. 当时，，由点，得到. 题型八：平面向量的应用举例 22．（24-25高一下·全国）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用向量分解及直角三角形的性质得，根据余弦函数性质即可判断A；举反例判断B；将角的值代入计算判断CD. 【详解】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 23．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据,先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A 24．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】由题意可得，根据模长关系可得，进而逐项分析判断即可. 【详解】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 题型九：平面向量在几何的应用 25．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 26．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 27．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解. 【详解】解：由题可建立如图所示坐标系： 由图可得：， 又， 故直线的方程：，可得， 所以， 故选：C. 题型十：平面向量在几何的最值问题 28．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 29．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 30．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B    题型十一：平面向量的新定义 31．（23-24高一下·江苏无锡）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 32．（23-24高一下·山东聊城·期中）设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的运算法则求得与，进而求得，再代入，利用数量积求模长公式即可得解. 【详解】，，， 即，则， 故，得， ，， . 故选：D. 33．（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系中的坐标.若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据坐标系中向量的坐标规定，先求出的值，再将分别用，表示，计算出的表达式，最后利用向量模的定义求出. 【详解】依题意，， ，则, 则，故. 故选：C. 【专题训练】 一、单选题 34．（24-25高一下·江苏宿迁）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合向量的坐标运算令且不反向共线可得. 【详解】若夹角为钝角，则且不反向共线， 则，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“向量与向量的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：C 35．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 36．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 37．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积公式求出，进而由夹角余弦公式求出答案 【详解】，故， 则，所以与的夹角等于. 故选：D 38．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量数量积的运算律可得，，即可求解. 【详解】由，得， 又， 所以. 故选：A 39．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若，则存在唯一实数使得； ④两个非零向量，若，则与共线且反向； ⑤若，则. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】借助单位向量、相等向量、向量模长、零向量的定义结合共线向量及数量积公式逐项判断即可得. 【详解】对①：单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，故①错误； 对②：平行向量可能同向或反向，故②错误； 对③：若，若且不为零向量，则不存在实数使得，故③错误； 对④：若，则， 即， 即有，故与共线且反向，故④正确； 对⑤：若，则有，但不能得到，故⑤错误. 故正确的个数为1个. 故选：B 二、多选题 40．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知向量都是单位向量，，则（    ） A．= B．= C．= D．与共线 【答案】AC 【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 41．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据向量共线的坐标关系判断选项A；利用向量垂直关系的坐标表示验证选项B；利用两个向量的夹角公式验证选项 C；利用投影向量的公式求解判断选项D. 【详解】因为，， 对于选项A：可得，且， 所以与不共线，故A错误； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，， 所以与的夹角余弦值为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：， 因为是与同向的单位向量， 所以向量在向量上的投影向量为，故D错误； 故选：BC. 42．（23-24高一下·江苏南京·期中）关于平面向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若非零向量、满足，则与的夹角是 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的定义、余弦函数的最值性质，结合平面向量加减法的几何意义、投影向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，但、的方向不一定相同，故A错误； 对于B，由平面向量数量积的定义可知，，故B正确； 对于C，若非零向量、满足， 则根据平面向量减法的几何意义可以确定以、、为边长的三角形为等边三角形，根据平面向量加法的几何意义，结合等边三角形三线合一， 所以和的夹角为，故C正确； 对于D，若向量，，则，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确， 故选：BCD 43．（23-24高一下·江苏徐州·期中）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D．若点G为中线的交点，则 【答案】ACD 【分析】对于A，由A，B，C三点共线，有，其中，即可求得的值；对于B，由向量夹角的坐标表示即可判断；对于C，根据投影向量的概念结合条件即得结果；对于D，利用三角形重心的性质推导判断即可． 【详解】对于选项A：由A，B，C三点共线，O为点A，B，C所在直线外一点， 有，其中，即，所以，故A正确； 对于选项B：，若与的夹角为锐角， 则，解得， 当与共线时，，解得， 此时，与夹角为0，不符合题意， 所以实数的取值范围是，故B不正确； 对于选项C：因为， ， 所以在上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于选项D：若点G为中线的交点，延长与交于， 则为的中点，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 44．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）定义两个平面向量的一种运算，为的夹角，则对于两个平面向量，下列结论正确的有（ ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据 的定义对选项逐一分析, 由此判断出结论正确的选项. 【详解】对于A选项，, 所以A 选项结论正确； 对于 B 选项，等式左边 ，右边 ，其中 是 与 的夹角， 故当 ，等式不成立，所以B选项结论错误. 对于C选项，等式左边 右边，故C 选项结论正确. 对于D选项，根据C的分析可知 ， 而 为非负数. 故 . 所以D选项结论正确. 故选：ACD 45．（23-24高一下·江苏扬州·期中）下列结论正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．，能作为平面向量的一组基底 C．在边长为1的等边中， D．在上的投影向量可以表示为 【答案】BD 【分析】对于A，根据相等向量和单位向量定义即可判断；对于B，判断、是否共线即可得解；对于C，根据数量积定义求解出即可判断；对于D，根据投影向量定义结合向量夹角余弦公式计算即可求解. 【详解】对于A，单位向量模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于B，因为，所以、是不共线的两个向量，能作为平面向量的一组基底，故B正确； 对于C，在边长为1的等边中，，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 46．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则 . 【答案】/2.5 【分析】利用勾股定理得到，然后根据数量积的几何意义得到在上的投影的数量等于，从而得到，然后利用三角函数得到，最后利用勾股定理计算即可. 【详解】 正方形的边长为2，点为边的中点， ， ， 在上的投影的数量为. 所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以， . 故答案为：. 47．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知点P为内一点，，则 ． 【答案】2 【分析】设，进而可得，根据模长结合数量积的运算律分析求解即可. 【详解】设， 则，， 可得， ， 两式相减可得， 可得， 所以. 故答案为：2. 48．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 【答案】1 【分析】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【详解】 ， 故 故答案为：1 49．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】，，， 则，解得， 故， 故向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 50．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，点满足，则 ， ． 【答案】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算得到，，，再结合条件，建立方程得到，即可求出结果. 【详解】如图，因为，所以为的两个三等分点，且， 因为，，， 所以①， ②， ③， 联立①②③，解得， 所以，， 故答案为：，. 四、解答题 51．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. （2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 52．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 53．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，且． (1)若向量与互相垂直，求的值． (2)若向量与互相平行，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【详解】（1），， ，，即，得， 若向量与互相垂直，则， 即得， ，解得或. （2）由，所以，所以不共线， 由向量与互相平行， 可知存在实数，使得， ，解得， 当时，；当时，. 或. 54．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 55．（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. (1)求证：为定值； (2)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，利用向量的运算法则知，，然后利用三点共线可知为定值； （2）利用三角形的面积公式可计算求得，然后根据可得答案. 【详解】（1）设， 于是， 又，，、， ，， ， 根据向量的运算法则可知 ， ， 三点共线， ， 整理可得： ，即， 故为定值，定值为； （2）设， ， ， ， ， ， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$