专题12 特殊的平行四边形中的最值和旋转问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题12 特殊的平行四边形中的最值和旋转问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的最值问题 2 类型二、矩形中的最值问题 8 类型三、菱形中的最值问题 13 类型四、正方形中最值问题 17 类型五、平行四边形中的旋转问题 22 类型六、矩形中的旋转问题 24 类型七、菱形中的旋转问题 28 类型八、正方形中的旋转问题 33 压轴能力测评（15题） 37 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的最值问题 例题：（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，四边形 是平行四边形，，，点 E 为的中点，连接，点F为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点M为直线上一动点，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 类型二、矩形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，点D在边上，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值等于 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为 ． 类型三、菱形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为 ．    2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 类型四、正方形中最值问题 例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．    【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 2．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 类型五、平行四边形中的旋转问题 例题：（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．（2024·浙江温州·二模）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 类型六、矩形中的旋转问题 例题：（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点． (1)如图，连接，求证：平分； (2)如图，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）在数学活动课上，李老师以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)李老师让同学们将两张完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①，试判断的形状，并说明理由； (2)李老师让同学们继续深入探究，在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C顺时针旋转一定的角度，当点D恰好落在对角线上时，与相交于点M，连接，若，，如图②，求的长． 类型七、菱形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，点O是AC边上的中点，将绕着点O旋转得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积. 【变式训练】 （23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 类型八、正方形中的旋转问题 例题：（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； (2)如图 2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若 ，，求线段的长； ②如图 3，连接，若点O是的中点，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 【变式训练】 1．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）正方形和正方形如图1摆放，且B，A，G三点共线． (1)正方形的边长为a，正方形的边长为b，．当，时，四边形的面积=__________； (2)若正方形可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于． ①如图2，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图3，连接，在旋转过程中，若点P为的中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出的面积． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为(    ) A．8 B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 三、解答题 9．（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF； （1）求证：； （2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明． (3)在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 12．（24-25九年级上·山西运城·期中）问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 13．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 14．（18-19八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为α（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.    (1)如图1，当点E落在边上时，线段的长度为__________. (2)如图②，连接，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接， ①求证：. ②求线段的长度. (3)如图3，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_____ 15．（24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 特殊的平行四边形中的最值和旋转问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的最值问题 2 类型二、矩形中的最值问题 8 类型三、菱形中的最值问题 13 类型四、正方形中最值问题 17 类型五、平行四边形中的旋转问题 22 类型六、矩形中的旋转问题 24 类型七、菱形中的旋转问题 28 类型八、正方形中的旋转问题 33 压轴能力测评（15题） 37 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的最值问题 例题：（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点H重合时，最小，此时， ∴最小值为， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，四边形 是平行四边形，，，点 E 为的中点，连接，点F为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、垂线段最短 【分析】由“垂线段最短”可知当时，的值最小．连接，，由平行四边形的性质可得，又由，可得是等边三角形．由等边三角形“三线合一”的性质可得，，进而得出，，在中，利用面积法即可求出的值． 【详解】解：如图，当时，的值最小． 连接，， ∵四边形 是平行四边形，， ，，， ， 又， 是等边三角形， 又∵点 E 为的中点， ，， ，， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了“垂线段最短”、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理．掌握利用面积法求直角三角形斜边上的高是解题的关键． 2．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；作辅助线构造全等三角形是解题的关键；过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在中，，， ； ， , ； ， ， ， ， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点M为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【详解】10．如图，作点A关于直线的对称点，交直线于点H，连接交于点，则， ∴当重合时，的值最小，最小值为的长． ． ． ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平移的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质，勾股定理的运用，求出，；以点为圆心，半径为画圆，为，由题意得，沿某一方向平移个单位长度后得到，则在上运动，连接，，；根据三角形三边的关系，当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值，即可；过点作且，以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，；根据三角形三边的关系，当与重合时，此时有最小值，即可． 【详解】解：过点作交于点，连接， ∵平行四边形的面积为 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，半径为画圆，为， ∵沿某一方向平移个单位长度后得到， ∴在上运动，连接，，， 在中，， ∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为； ∴的最大值为； 过点作且， 以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点， ∵，， ∴， ∵点在上运动，， ∴在上运动， 在中，， ∴当与重合时，此时有最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：；． 类型二、矩形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，点D在边上，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，连接，证明四边形是矩形，得到，当时，线段EF的值最小，根据等积关系可求出，进而求出即可． 【详解】解答：解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂线段最短，首先判断出点的运动轨迹是线段，过点F作于点H，则为的最小值 【详解】解：连接交于点N，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴即， ∴点在上， 过点F作于点H， 根据题意知，点的运动轨迹是线段，由“垂线段最短”知为的最小值， ∵点是的中点， ∴， 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴的最小值为， 故答案为： 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当时， 最小，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．由矩形的性质推出，，，，由推出，得到，由勾股定理求出，得到，又，即可得到线段长的最大值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段长的最大值为． 故答案为：． 类型三、菱形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为 ．    【答案】 【分析】连接、、，由已知条件得出，再利用等边三角形的性质得出，进而求出最大值即可． 【详解】解：如图，连接、、，    四边形是菱形， ，， ， ， 是等边三角形，则， 点E为边的中点， ， ，， ，由勾股定理可得：，可得， ， ，即长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定、勾股定理，正确作出辅助线，构造等边三角形得出是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及菱形性质的运用．作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于，当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长，求得的长即可得到的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于， 当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长， ，， ，， ， 中，， 的长为， 的最小值是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，设交于点，根据菱形的性质得，证明为等边三角形，得，继而得到，，进一步得，则当点、、三点共线且垂直时，的值最小，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当点、、三点共线且垂直时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是解题的关键． 类型四、正方形中最值问题 例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．连接、，根据正方形的性质可证出，得到，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短性质即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 边长为3的正方形， ，，， 又， ， ， ， ， 在中，， 由两点之间线段最短性质得，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 根据两点之间线段最短知，、、三点共线时，线段的值最小，最小值为； 线段长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 2．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，，证明点D、O、M、B在一条直线上，证明是的中位线，得到，当最小时，最小，即当时，最小，求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点D、O、M、B在一条直线上， ∵点E是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，最小， 即当时，最小， ∵， ∴M点与O点重合时，最小， ∵正方形的边长为4， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴点H在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点H也在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查正方形的性质，线段最值问题等知识点，正确作辅助线是解题关键． 过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，，根据三角形两边之查小于第三边即可得到，在中，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵关于的对称点是，是的中点， ∴是的中点，即 在中，， ∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：1． 类型五、平行四边形中的旋转问题 例题：（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．（2024·浙江温州·二模）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，得出，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）作于点H．根据等腰三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，，求出，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵绕点O旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，作于点H． 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴·， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 则， ∴， ∴四边形的周长为： ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 类型六、矩形中的旋转问题 例题：（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点． (1)如图，连接，求证：平分； (2)如图，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质说明线段或角相等、利用矩形的性质证明 【分析】（1）由旋转的性质可得，由等边对等角可得，由矩形的性质可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，于是结论得证； （2）连接，过点作于点，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，，利用可证得，于是可得，，利用又可证得，于是可得，利用等式的性质可得，设，， 则，，，根据勾股定理可得，即，整理可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由旋转的性质可得：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （2）解：，理由如下： 如图，连接，过点作于点， 则， 由旋转的性质可得：，，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， 由（1）可得：平分， ， 在和中， ， ， ，， ，平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 根据勾股定理可得： ， 即：， 整理，得：， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，矩形的性质，两直线平行内错角相等，垂线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，等式的性质，线段的和与差，列代数式，勾股定理，整式的混合运算等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）在数学活动课上，李老师以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)李老师让同学们将两张完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①，试判断的形状，并说明理由； (2)李老师让同学们继续深入探究，在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C顺时针旋转一定的角度，当点D恰好落在对角线上时，与相交于点M，连接，若，，如图②，求的长． 【答案】(1)等腰直角三角形，见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和SSS综合（SSS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据证明，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质即可证明； （2）可得垂直平分，则，在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形；理由如下： 矩形和矩形是完全相同的矩形， ，，， ， ， ， ， ， 又 是等腰直角三角形． （2）解：由（1）得，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，旋转的性质，线段的垂直平分线的性质等知识点． 类型七、菱形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，点O是AC边上的中点，将绕着点O旋转得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积. 【答案】(1)详见解析 (2)菱形的面积是2 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形，解题关键是构造直角三角形求面积． （1）由将绕着点旋转得到，得，，又由，即可得四边形是菱形； （2）作，由，，得，即可得菱形的面积． 【详解】（1）解：将绕着点O旋转得到. ∴，， ∵， ∴， ∴四边形菱形 （2）解：作，由，， 得， 得菱形的面积． 【变式训练】 （23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 类型八、正方形中的旋转问题 例题：（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； (2)如图 2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若 ，，求线段的长； ②如图 3，连接，若点O是的中点，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①4；②，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质； （1）由正方形可得，，即可利用证明； （2）①作于点P，由正方形性质可得，再由勾股定理求出，得到，最后由得到； ②连接，由正方形性质和得到，，再由点O是的中点得到点O是的中点，最后根据斜边中线性质得到，即可得到． 【详解】（1）证明：在正方形和正方形中， ，，， ∴， 即， ∴； （2）解：①如图2，作于点P， 在正方形和正方形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴； ②，理由如下： 如图，连接， 在正方形和正方形中，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴点O是的中点． 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴． 【变式训练】 1．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）正方形和正方形如图1摆放，且B，A，G三点共线． (1)正方形的边长为a，正方形的边长为b，．当，时，四边形的面积=__________； (2)若正方形可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于． ①如图2，连接，探究的数量关系，并说明理由； ②如图3，连接，在旋转过程中，若点P为的中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出的面积． 【答案】(1)15 (2)①，理由见解析②，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、通过对完全平方公式变形求值、根据旋转的性质求解 【分析】（1）将四边形的面积转化为求梯形和的面积，计算时将算式变形为与的形式即可求解； （2）①证明即可求证； ②利用倍长中线法构造，再证明即可求解； （3）利用全等三角形进行等面积转化即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形的面积，且，， ∴四边形的面积． （2）①，理由如下： ∵正方形和正方形中，，，， ∴即， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，延长至M，使，则， ∵点P为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 由（2）知， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、倍长中线法、求不规则图形面积、完全平方公式的变形等知识，解题的关键是发现全等三角形并运用转化的思想方法． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由矩形的性质得出，，由旋转的性质可得：，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形先求出长，然后求出的长度，再根据折线与线段重合时，线段的长度最短解题． 【详解】解：如图，连接；过点M作，交的延长线于点E； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，， ∴，， ∴ ， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由翻折变换的性质得：， 当折线与线段重合时，线段的长度最短， 此时， 故选C． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为(    ) A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长． 【详解】解： 根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形， 旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接，，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知当，K，Q共线，时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，过点作于， 则， ∴当，K，Q共线，时，的最小值， ∵四边形是菱形， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ， 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是连接构造全等三角形． 如图，连接，由点是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为2， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为1． 故答案为：1． 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：过作交于，连结、，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， 当时，取得最小值此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题； （2）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，解题即可． 【详解】解：（1）连接、， ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， 由旋转可得， ∴； 故答案为：；    （2）连接，交于点O，连接，， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：， 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 三、解答题 9．（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF； （1）求证：； （2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）CF=，（1）中的结论不变．理由见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）延长EF交CD于M点，证明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得 FN=NC=即CF=2FN=； （2）过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，证明△DGN为等腰三角形，四边形GFNC为平行四边形即可． 【详解】（1）如图１，延长EF交CD于M点， ∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形 ∴DC//GF//AB,DM//GF ∴四边形GFMD是平行四边形 则∠D=∠EMC=120°， ∴∠MFC=∠MCF=30°， 过点M作MN⊥CF，垂足为N， ∴MN=, 根据勾股定理，得FN=， ∵MC=MF， ∴FN=NC， ∴CF=2FN=； （2）如图2，过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC， ∴△AGD≌△DNC(SAS） ∴AG=NC ∠DNC=∠AGD ∴△DGN为等腰三角形， 则∠DGN=∠DNG， ∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN ∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG ∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN-∠DNG, ∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60° ∴∠NGF+∠GNC=180° ∴NC//GF ， ∴四边形GFNC为平行四边形 ∴CF=GN，则GN=， ∴CF=，结论（1）不变． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明． (3)在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当满足时，四边形是一个正方形；见解析 (3)13 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线定义求出，然后根据矩形的判定得出结论； （2）要使矩形是正方形，则，即，根据直角三角形的性质可得添加条件； （3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称求最短路径的方法求出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）当满足时，四边形是一个正方形； 证明：由（1）知四边形为矩形， ∵，， ∴点D是的中点， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：， ∴， 设点P到的距离为h，则， 解得， ∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点C关于点P所在平行于的直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，    ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关判断定理和性质定理是解题的关键． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 12．（24-25九年级上·山西运城·期中）问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）四边形的面积为． 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由可得，于是可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出的度数；由旋转的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，根据即可求出四边形的面积． 【详解】解：（1）如图，由旋转的性质可得：，， ， ， 是等边三角形， ； 如图，由旋转的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ； 故答案为：，； （2）如图，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，，， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的长为； （3）如图，连接，    由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，， 点落在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 13．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14．（18-19八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为α（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.    (1)如图1，当点E落在边上时，线段的长度为__________. (2)如图②，连接，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接， ①求证：. ②求线段的长度. (3)如图3，设点P为边的中点，连结，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_____ 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3) 【知识点】用HL证全等（HL）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，面积的最值问题. （1）根据矩形的性质，旋转的性质，勾股定理计算即可. （2）①利用直角三角形全等的判定证明即可. ②利用勾股定理计算即可. （3）连接，作于M，当与共线，且时，面积最大，勾股定理计算即可. 【详解】（1）如图①中    ∵ 四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：. （2）①证明：如图②中，    ∵当点E落在线段上， ∴， 在和中， ∴. ②如图②中，， ∴， 设 在中，， ∴ 解得 ∴ 故答案为：. （3）解：如图3中，连接，作于M，    当与共线，且时，面积最大 由题意：. ∵， ∴. ∵. ∴ ， 则， 的面积的最大值为， 故答案为： 15．（24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$