专题08 矩形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题08 矩形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用矩形的性质求角度 1 类型二、利用矩形的性质求线段长 3 类型三、利用矩形的性质求面积 5 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 8 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 10 类型六、利用矩形的性质与判定作图 15 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 19 压轴能力测评（16题） 22 解题知识必备 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 压轴题型讲练 类型一、利用矩形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形中，点E是的中点，若，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 类型二、利用矩形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形中，若对角线，则 ． 【变式训练】 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则 ．    2．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，垂直平分，则 ． 类型三、利用矩形的性质求面积 例题：（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是的高，，是，的中点，若，，则四边形的周长为 ． 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 例题：（2024·福建三明·二模）如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中： ①四边形是矩形； ②当时，点是的中点； ③当，时，线段长度的最大值为2； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（    ）    A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 类型六、利用矩形的性质与判定作图 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在矩形中，是矩形的对角线． (1)求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【变式训练】 1．（2024·浙江金华·三模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格． (1)求线段的长． (2)在图1中，仅用无刻度的直尺，画出一个格点P，使，且点P在网格的内部． (3)在图2中，仅用无刻度的直尺，画出一个点Q，使，保留作图痕迹并简要说明作法． 2．（23-24八年级下·江苏常州·期中）仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 (1)在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； (2)在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； (3)在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 4．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，，若，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则 ． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）图①是一种矩形钟表，图②是钟表示意图，钟表数字2的刻度在矩形的对角线上，钟表中心在矩形对角线的交点上．若，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）在一块等腰直角三角形上截一个矩形．如图，已知等腰直角三角形的底边长10厘米．要截得的矩形的边在上，顶点D、E分别在边上，当的长为6厘米，矩形的面积为 平方厘米. 10．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为 ． 三、解答题 11．（贵州省安顺市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，四边形为矩形，对角线、交于点O， 过D点作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 12．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，． (1)求作矩形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 13．（2023·四川达州·模拟预测）已知：如图，点是直线上一点，平分，平分，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，判断四边形的形状并说明理由． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图所示小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)如图1，点是上一点，是延长线上一点，在上画点，再在格线上画点，使四边形为矩形； (2)在图2中画格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，连接，使． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． (1)当点G恰为中点时，则 ． (2)当平分时，若，则 ． 16．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 矩形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用矩形的性质求角度 1 类型二、利用矩形的性质求线段长 3 类型三、利用矩形的性质求面积 5 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 8 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 10 类型六、利用矩形的性质与判定作图 15 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 19 压轴能力测评（16题） 22 解题知识必备 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 压轴题型讲练 类型一、利用矩形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【知识点】利用矩形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了矩形性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识点．根据矩形性质可得，推出，根据三角形外角性质求出，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形中，点E是的中点，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． 根据矩形的性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而，根据三角形外角的性质即可求得，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，且点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴． 故答案为： 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类型二、利用矩形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形中，若对角线，则 ． 【答案】4 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 根据矩形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据勾股定理求出，根据矩形性质得出，，，求出、，根据三角形中位线求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，垂直平分，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，推出是等边三角形，得出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、利用矩形的性质求面积 例题：（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据矩形的性质得出，，推出，然后证明，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 【答案】28 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形的面积的面积，证明． 由矩形的性质推出矩形的面积的面积，证明，得到，进而得到求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中 ∴ (AAS)， ∴， ∴， ∴． 故答案为：28． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 【答案】64 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、根据矩形的性质求面积 【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为，得到矩形的长为，宽为．列得，将代入即可求． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为． 由图1、图2可得， 整理得． ，， ， ， 矩形的面积为， 故答案为64． 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识．由等腰三角形的性质得到，，是直角三角形，由得到，则，得到，根据直角三角形斜边中线性质得到． 【详解】解：∵，，是边上中线， ∴，， ∴是直角三角形， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 【答案】2 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴． 故答案为2． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是的高，，是，的中点，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】22 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴四边形的周长， 故答案为：22． 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 例题：（2024·福建三明·二模）如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；证明，推出，设，推出，，判断④即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴ 由题意得： ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是的中点 即：，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴，故③正确； ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中： ①四边形是矩形； ②当时，点是的中点； ③当，时，线段长度的最大值为2； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③；不平行，则，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且 ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 当点在边上， ∵不平行， ∴， ∴不可能是等边三角形，故④错误； ∴正确的有①③，共2个， 故选；B． 2.如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（    ）    A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证，得出，，判断①；证，得出，，判断③；证四边形是平行四边形，得出，判断②；证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；判断④；即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； 在和中， ， ， ，，故③正确； ，即， ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 类型六、利用矩形的性质与判定作图 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在矩形中，是矩形的对角线． (1)求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的作图和性质、勾股定理等知识． （1）作的垂直平分线分别交、于点E,F．则线段即为所求； （2）根据垂直平分线性质得到，设，则，利用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求． （2）由（1）得垂直平分， ， 设，则， 在矩形中， 在中，， 即， 解得， 【变式训练】 1．（2024·浙江金华·三模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格． (1)求线段的长． (2)在图1中，仅用无刻度的直尺，画出一个格点P，使，且点P在网格的内部． (3)在图2中，仅用无刻度的直尺，画出一个点Q，使，保留作图痕迹并简要说明作法． 【答案】(1)线段的长为5 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、矩形性质理解 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，矩形的性质、作图-复杂作图．熟练掌握相关定理，能结合网格分析是解题关键． （1）结合网格与勾股定理分析即可求出； （2）结合网格与勾股定理分析即可； （3）结合网格与勾股定理证明是等腰直角三角形，再利用矩形的性质得出的中点，连接即可 【详解】（1）由题意可知，， 线段的长为5． （2） （3） 由 （2）可知， 由图可知，，， ， ， 又 ， ， 是等腰直角三角形． 连接交于点，根据矩形的性质可得： 在矩形中，点是对角线的中点， 连接，则是等腰直角三角形的角平分线， 则． 2．（23-24八年级下·江苏常州·期中）仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 (1)在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； (2)在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； (3)在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、利用矩形的性质求角度 【分析】（1）如图：连接，由得到，由得，则，即可确定平分； （2）如图：连接相交于O点，连接，利用矩形性质得到，则，根据等腰三角形的性质可判断平分； （3）如图：连接相交于O点，过O、G作直线交与H，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图：连接，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图：直线即为所求． 【点睛】本题主要考查了、平行四边形的性质、矩形的性质等知识点，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键． 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键； （1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可； （2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据已知条件得出，进而得到，再结合平行四边形的性质，得出，即可证明结论； （2）根据矩形的性质，易证是等边三角形，进而得到，，再证明四边形是平行四边形，从而推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C 2．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐一判断即可，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故A、B说法正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故C正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 4．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】连接，先证明，进而证明，于是可得，，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， 由旋转的性质可得：，，，， 是等腰三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，，若，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查矩形的性质，关键是能根据矩形得性质即中心对称的特点，求出图中部分角的度数，同时，等边三角形的性质也是本题的重点，分析此题时要将特殊三角形和特殊四边形结合起来，要分析清楚它们两者之间角的关系．由矩形的性质及得出是等边三角形，再由得出是的垂直平分线，即可证明是，根据和的长度即可判断和是否全等，先判断是平行四边形，再加，利用直角三角形的性质结合勾股定理可以得出和的关系． 【详解】解：是的中点， ， 矩形中，， ， 又， 是等边三角形， ，, , ， 是的垂直平分线， ， 故①正确； 若， 则， 但， 故②错误； ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形， 故③正确； 由题意得， ， ∴，， ， 即， 又， 同理， 即， ， 故④正确， ①③④正确， 故选：D 二、填空题 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由条件可求得为等边三角形，则可求得的长． 【详解】， ， 四边形为矩形 ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则 ． 【答案】/30度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先证明是线段的垂直平分线，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）图①是一种矩形钟表，图②是钟表示意图，钟表数字2的刻度在矩形的对角线上，钟表中心在矩形对角线的交点上．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】钟面角、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】在钟表上钟表数字2的刻度时，时针与分针的夹角为，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在钟表上钟表数字2的刻度时，时针与分针的夹角为，图②是矩形钟表， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了钟面角，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，理解钟面角，掌握矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 9．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）在一块等腰直角三角形上截一个矩形．如图，已知等腰直角三角形的底边长10厘米．要截得的矩形的边在上，顶点D、E分别在边上，当的长为6厘米，矩形的面积为 平方厘米. 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积为平方厘米， 故答案为：12． 10．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】根据矩形得出，，，由旋转的性质可得，勾股定理求出，连接，证明，得出，设，则，在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键在于对知识的熟练掌握和灵活运用． 三、解答题 11．（贵州省安顺市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，四边形为矩形，对角线、交于点O， 过D点作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识点，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由矩形的性质可得、，由勾股定理可得，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，． (1)求作矩形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作，再以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即可求解； （2）根据矩形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，设，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下， ∴矩形为所求作图形． （2）解：∵四边形为矩形，交于点， ，， 在中，， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得，， ， ． 13．（2023·四川达州·模拟预测）已知：如图，点是直线上一点，平分，平分，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，判断四边形的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，见解析 【知识点】证明四边形是矩形、根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得，，再由等角对等边得出，，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形．再由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，． ， ， ，， ，， ； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 点为的中点， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分，平分， ，， ， 即， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、等边对等角、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图所示小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． (1)如图1，点是上一点，是延长线上一点，在上画点，再在格线上画点，使四边形为矩形； (2)在图2中画格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，连接，使． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【知识点】矩形性质理解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）根据矩形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图； （2）根据平行四边形、全等三角形的性质与判定及勾股定理可进行求解 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示： 15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． (1)当点G恰为中点时，则 ． (2)当平分时，若，则 ． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； (2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可． 【详解】（1）解：如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为3． （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， , 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图① 四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为； （2）解：如图②，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为； （3）解：的值为， 如图③， 连接， 由矩形旋转可知：，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 则可证：， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 则的值为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$