第12讲复数及其四则运算（4大知识点+8种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第12讲复数及其四则运算 课程标准 学习目标 通过学习复数概念及四则运算学习，培养逻辑推理的素养．提升数学运算的素养. 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点) 2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点) 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点) 4.掌握复数代数形式的加减运算法则．(重点) 5．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．(易错点) 6.掌握复数的乘法和除法运算．(重点、难点) 7．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点) 9．了解共轭复数的概念．(难点) 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 【即学即练1】（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的基本概念 【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可. 【详解】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复平面内的平面向量、表示的复数分别是、，则向量对应的复数为 . 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法的代数运算 【分析】根据向量的加法运算结合复数的几何意义求解. 【详解】因为复平面内的平面向量、表示的复数分别是、，且， 所以向量对应的复数为. 故答案为： 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 【即学即练3】（24-25高一·上海·随堂练习）计算： ． 【答案】32i 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】直接由复数的乘法运算、乘方运算即可求解. 【详解】∵，， ∴． 故答案为：. 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 【即学即练4】（20-21高一下·上海徐汇·期末）设复数，是实数，则，满足条件 ． 【答案】且 【知识点】已知复数的类型求参数、根据除法运算结果求参数 【分析】化简，再由是实数，虚部为，分母不为化简，即可得答案. 【详解】由题意，是实数，即为实数，可得且，即且. 故答案为：且. 题型一：虚数单位i及其性质 1.（20-21高一下·上海·单元测试）若且，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先化简，结合可得选项. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以； 故选：B. 2.（20-21高一下·上海松江·期末）计算 ．（为虚数单位) 【答案】 【分析】根据虚数单位的幂运算的周期性进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 题型二：求复数的实部与虚部 1.（20-21高一下·上海·课后作业）以复数的实部为虚部，虚部为实部的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的概念求解. 【详解】因为复数的实部和虚部分别为， 所以以复数的实部为虚部，虚部为实部的复数是， 故选：A 2.（23-24高一下·上海·期末）已知复数（其中为虚数单位），则 . 【答案】2 【分析】根据虚部的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】利用复数的乘法法则计算即可. 【详解】， 故的虚部为. 故答案为： 4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数的概念可得结果. 【详解】因为，则复数的虚部为，即. 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知复数，为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据，确定其实部和虚部，即可求得答案. 【详解】由复数，可知其实部和虚部分别为1和 , 故， 故答案为： 6．（21-22高一下·上海普陀·期中）复数（其中为虚数单位）的虚部为 ． 【答案】 【分析】由复数的概念可直接得到虚部. 【详解】由复数的概念可知复数的虚部为. 故答案为: . 题型三：复数加减法的代数运算 1.（21-22高一下·上海浦东新·期末）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合向量、复数运算求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：D 2.（21-22高一下·上海长宁·期末）若复数和复数满足，则 ． 【答案】 【分析】设，根据复数的运算即可求解. 【详解】设， 且， 则， 又，所以， 也即，则， 因为， 所以 故答案为：. 3．（2022·上海宝山·模拟预测）已知z1、z2∈C，且z1＝2+i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则z1﹣z2＝ ． 【答案】 【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】解：z1﹣z2＝2+i﹣3+4i＝﹣1+5i． 故答案为：﹣1+5i． 4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则 ． 【答案】1011 【分析】由复数加法得出，得对应点坐标，由点在实轴得参数值． 【详解】，对应点坐标为， 所以，． 故答案为：1011． 题型四：复数代数形式的乘法运算 1．（23-24高一下·上海·期末）已知，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则 ②若为虚数，则中至少有一个为虚数． ③在复平面上所对应的点一定在虚轴上． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】特例验证①③的真假，用复数减法运算判断②的真假. 【详解】对①：因为，但，所以①错误； 对②：根据虚数减法的运算法则，可知②是正确的； 对③：若，则，所对应的点不在虚轴上，故③错误. 故选：B 2.（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 【答案】C 【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D 【详解】对于A，当时，，但，故A错误， 对于B，设，显然，，故B错误， 对于C，设， 所以， 所以 ， 又 所以，故C正确 对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误， 故选：C 3.（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】直接计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，则复数的实部为 ． 【答案】2 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】由题意知，， 所以复数的实部为2. 故答案为：2 5．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知i是虚数单位，且，则 . 【答案】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简计算可得． 【详解】， ． 故答案为：． 6.（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可. （2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可. 【详解】（1）由得：， . （2）又，由复数的几何意义， 得向量绕原点逆时针旋转得到的， 则对应的复数为，则. 题型五：复数的乘方 1.（21-22高一下·上海黄浦·期末）设是虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0. 【详解】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以， 故选:B. 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）（    ） A．1 B． C．i D．0 【答案】C 【分析】利用复数乘方运算的周期性计算即可 【详解】因为，， 所以， 故选：C 3.（21-22高一下·上海浦东新·期末）若是虚数单位，当时，的所有可能的取值组成的集合为 . 【答案】 【分析】因为对不同的自然数有四种不同的答案,对的取值进行讨论即可求解 【详解】当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 所以, 当 时, 所有可能的取值为， ， 故答案为： 4．（20-21高一下·上海长宁·期末）已知虚数是1的一个四次方根，复数，，用列举法表示满足条件的组成的集合为 . 【答案】 【分析】由题意得或，从而可得，从而代入的不同值求出即可． 【详解】虚数是1的一个四次方根，或， 故， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故满足条件的组成的集合为. 故答案为：. 题型六：复数范围内方程的根 1.（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次方程的韦达定理及完全平方公式即可得解. 【详解】因为方程有两个虚根和， 所以，则， 又由求根公式知两虚根为，， 所以，则，解得，满足要求， 所以. 故选：C. 3.（24-25高一上·上海·随堂练习）若方程（）有虚数根，则 . 【答案】 【分析】不妨设是方程的一个虚数根，则方程的另一个虚数根为，再利用韦达定理结合复数的模的公式即可得解. 【详解】不妨设是方程的一个虚数根， 则方程的另一个虚数根为， 由韦达定理得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）若非零复数x、y满足，则的值是 . 【答案】–1 【分析】由已知可得，则，同理，化简变形得，然后利用周期性可求得答案. 【详解】解析：由题设有，解得，且， ∴，即， 同理有，n为正整数， ∵，. 又， ∴， ∵，∴， ∴， ∴. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期末）已知是实系数方程的一个虚根，则 ． 【答案】-2 【分析】由韦达定理得，，求解即可． 【详解】解：因为是实系数方程的一个虚根， 所以也是实系数方程的一个虚根， 由韦达定理得，， 得， 故答案为： 6.（24-25高一下·上海·单元测试）在复数范围内解方程. 【答案】 【分析】首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把设出的结果代入等式，根据复数相等的充要条件写出关于的方程，解方程即可． 【详解】原方程化简为. 设（、），代入上述方程， 得，所以且. 解方程，得且，所以原方程的解是. 题型七：复数的除法运算 1.（22-23高一下·上海宝山·期中）若，则复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】首先化简复数，再求复数的虚部. 【详解】由条件可知，，所以的虚部为1. 故选：C 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】借助复数的运算法则结合“共胚复数”的定义计算即可得. 【详解】， 则有，则. 故选：D. 3.（24-25高一上·上海·单元测试）设复数满足，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法及模长性质求解. 【详解】由题意得：，故. 故答案为： 题型八：共轭复数的概念及计算 1.（23-24高一下·上海·期末）已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定每个命题，得到答案. 【详解】由题意，设复数， 对于（1）中，由，即，解得，所以复数为实数，所以（1）正确； 对于（2）中，若，可得，所以且， 所以，所以为纯虚数，所以（2）是正确的； 对于（3）中，若，可得，所以或， 解得或或，故（3）错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据复数的加减法运算、几何意义、乘方运算与共轭复数的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意知，设，则. A：，故A正确； B：，当时，为纯虚数，故B错误； C：，，所以，故C正确； D：，， 所以，则，故D正确. 故选：B 3.（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，则的模长为 . 【答案】 【分析】利用复数的除法运算可求得，进而可求得，可求模长. 【详解】因为， 所以， 所以. 所以， 故的模长为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末），若，，则 . 【答案】 【分析】设，根据已知求出即可得出答案. 【详解】设，则， 所以,即； 由,解得，即，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法可求，求出后可求. 【详解】，故，故， 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为 【答案】 【分析】先利用复数的几何意义求得，从而得到，然后运用复数四则运算法则即可解得，最后求得. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 7.（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）（1）复数与是共轭复数，求实数的值. （2），求复数 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）根据共轭复数实部相等，虚部互为相反数即可解得； （2）将复数化简成的形式，可求得. 【详解】（1）由共轭复数的概念可知实部相等，虚部互为相反数， 即，解得. 所以实数的值为1. （2）由 ； 可得. 一、单选题 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：取z=-1否定结论；对于B：直接证明即可；对于C、D：取z=i否定结论. 【详解】设（其中）. 对于A：不妨取z=-1，满足.故A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以，即.故B正确； 对于C：取z=i，满足.故C错误； 对于D：取z=i，满足.故D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而根据复数的除法运算即可求解. 【详解】因为，故即， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】D 【分析】依题意得，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，得， 则“”是“是纯虚数”的充要条件， 故选：D 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（    ） A．与共轭 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数范围内的求根公式结合复数的运算法则依次判断即可. 【详解】由复数范围内的求根公式可得，当时，；当时，，则B错误； 当时，方程有两个不相等的实根，与不共轭，A错误； 当时，易得；当时，， ，C正确； 当时，， ，故，D错误. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·单元测试）设，则 . 【答案】–3 【分析】对复数化简后可求出其虚部 【详解】因为， 所以. 故答案为： 6．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内的平方根是 . 【答案】 【分析】根据复数概念即可求解. 【详解】因为， 复数范围内的平方根为， 故答案为： 7．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 【答案】4 【分析】化简，进而求得. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期中）若是方程的一个虚数根，则 . 【答案】 【分析】根据公式法求出一元二次方程的解可得，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以方程的根为， 即或. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海·期中）设复数，则复数的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】先由求出复数，然后可求出复数的模. 【详解】由，得， 所以， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，且，其中a、b为实数，则 . 【答案】1 【分析】由已知可得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 所以，. 又因为， 即， 化简可得， 即，解得，故. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】1 【分析】利用复数的除法运算和复数虚部的概念即可. 【详解】由， 则其虚部为1. 故答案为：1 13．（22-23高一下·上海奉贤·期末）已知是实系数一元二次方程的一个根，则实数= . 【答案】 【分析】将方程的根代入方程，由复数相等可列方程，即可得的值. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，整理得 因为，所以，解得，. 故答案为：. 14．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】5 【详解】由得， 故，故， 故答案为：5 15．（21-22高一下·上海宝山·期末）已知关于的方程有一个模为1的虚根，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果. 【详解】由题意，得，解得或， 设方程的两根为、，则，，得， 又由韦达定理得，即，解得或， 所以. 故答案为： 16．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 【答案】 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 三、解答题 17．（2024高一下·上海·专题练习）复数范围内解下列方程 (1)； (2). 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用配方法解方程即得. （2）利用分解因式的方法求解方程. 【详解】（1）由，得，则， 解得，即 所以原方程的解是. （2）由，得，即， 解得或，即或， 所以原方程的解是或 18．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足． (1)求的共轭复数； (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解； （2）将代入一元二次方程中，即可求解． 【详解】（1）． 则， , . （2）由（1）得， 是关于的方程的一个根， 则，， ，解得. 19．（22-23高一下·上海浦东新·期末）（1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为,若，求复数; （2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据复数的除法运算进行计算即可； （2）由于一元二次方程的两虚根是共轭的，所以其实部的2倍等于两根之和． 【详解】（1）由题意，； （2）令 ， 则，，即， 因此是方程的两根， 故，或 由于的两个复数根互为共轭复数， 所以设的实部为，由韦达定理可得 同理由方程的复数根可得 则或，即 20．（22-23高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 【答案】(1)或 (2)①是真命题，②是假命题，理由见解析 【分析】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论； （2）根据复数新定义设，，根据运算逐个求证即可. 【详解】（1）由定义，有 即，整理得，， 或. （2）①设，，则， ，所以 ①是真命题. ②设，，则， 所以，则是其一组解， 故得不到或. ②是假命题. 21．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)，； (2)①不正确，②正确，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，，，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）由，， 得，； （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，，， ， 因为，， 所以， ，故②正确； （3）设满足条件的，，， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，即， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则， ， 当，时，取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键理解新定义，结合新定义以及所学习的知识解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲复数及其四则运算 课程标准 学习目标 通过学习复数概念及四则运算学习，培养逻辑推理的素养．提升数学运算的素养. 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点) 2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点) 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点) 4.掌握复数代数形式的加减运算法则．(重点) 5．了解复数代数形式的加减运算的几何意义．(易错点) 6.掌握复数的乘法和除法运算．(重点、难点) 7．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点) 9．了解共轭复数的概念．(难点) 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 【即学即练1】（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复平面内的平面向量、表示的复数分别是、，则向量对应的复数为 . 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 【即学即练3】（24-25高一·上海·随堂练习）计算： ． 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 【即学即练4】（20-21高一下·上海徐汇·期末）设复数，是实数，则，满足条件 ． 题型一：虚数单位i及其性质 1.（20-21高一下·上海·单元测试）若且，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2.（20-21高一下·上海松江·期末）计算 ．（为虚数单位) 题型二：求复数的实部与虚部 1.（20-21高一下·上海·课后作业）以复数的实部为虚部，虚部为实部的复数是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·上海·期末）已知复数（其中为虚数单位），则 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为 ． 4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 5．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知复数，为虚数单位，则 ． 6．（21-22高一下·上海普陀·期中）复数（其中为虚数单位）的虚部为 ． 题型三：复数加减法的代数运算 1.（21-22高一下·上海浦东新·期末）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高一下·上海长宁·期末）若复数和复数满足，则 ． 3．（2022·上海宝山·模拟预测）已知z1、z2∈C，且z1＝2+i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则z1﹣z2＝ ． 4．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则 ． 题型四：复数代数形式的乘法运算 1．（23-24高一下·上海·期末）已知，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则 ②若为虚数，则中至少有一个为虚数． ③在复平面上所对应的点一定在虚轴上． A．0 B．1 C．2 D．3 2.（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 3.（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（i是虚数单位），则 ． 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，则复数的实部为 ． 5．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知i是虚数单位，且，则 . 6.（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 题型五：复数的乘方 1.（21-22高一下·上海黄浦·期末）设是虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D．0 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）（    ） A．1 B． C．i D．0 3.（21-22高一下·上海浦东新·期末）若是虚数单位，当时，的所有可能的取值组成的集合为 . 4．（20-21高一下·上海长宁·期末）已知虚数是1的一个四次方根，复数，，用列举法表示满足条件的组成的集合为 . 题型六：复数范围内方程的根 1.（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3.（24-25高一上·上海·随堂练习）若方程（）有虚数根，则 . 4．（24-25高一上·上海·单元测试）若非零复数x、y满足，则的值是 . 5．（23-24高一下·上海·期末）已知是实系数方程的一个虚根，则 ． 6.（24-25高一下·上海·单元测试）在复数范围内解方程. 题型七：复数的除法运算 1.（22-23高一下·上海宝山·期中）若，则复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 3.（24-25高一上·上海·单元测试）设复数满足，则 . 题型八：共轭复数的概念及计算 1.（23-24高一下·上海·期末）已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 3.（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，则的模长为 . 4．（23-24高一下·上海·期末），若，，则 . 5．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为 7.（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）（1）复数与是共轭复数，求实数的值. （2），求复数 一、单选题 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是（    ） A．与共轭 B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·单元测试）设，则 . 6．（22-23高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内的平方根是 . 7．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复数，则 . 8．（23-24高一下·上海·期中）若是方程的一个虚数根，则 . 9．（23-24高一下·上海·期中）设复数，则复数的虚部为 . 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则 . 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，且，其中a、b为实数，则 . 12．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数满足，则复数 ． 13．（22-23高一下·上海奉贤·期末）已知是实系数一元二次方程的一个根，则实数= . 14．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数满足，则 . 15．（21-22高一下·上海宝山·期末）已知关于的方程有一个模为1的虚根，则的值为 . 16．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 三、解答题 17．（2024高一下·上海·专题练习）复数范围内解下列方程 (1)； (2). 18．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足． (1)求的共轭复数； (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值． 19．（22-23高一下·上海浦东新·期末）（1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为,若，求复数; （2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部. 20．（22-23高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 21．（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$