第05讲 余弦函数的图像与性质（2大知识点+8种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第05讲 余弦函数的图像与性质 课程标准 学习目标 1. 通过做余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养. 3.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养． 1.了解画余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出余弦函数的图象的方法．(重点) 2．余弦函数图象的简单应用．(难点) 3．余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 4．掌握余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小(重点、易混点) 5.掌握余弦函数最大值与最小值，并会求简单余弦函数的值域和最值．(重点、难点) 6.了解余弦（型）函数、周期、最小正周期的定义． 知识点01余弦曲线和余弦函数图像的画法 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 【即学即练1】（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】画出的图象，由图象即可求解. 【详解】   画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 知识点02余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 解析式 y＝cos x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 【即学即练2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解. 【详解】， 令， 则， 当时，取最大值，此时，由于，则或， 当时，取最小值，此时，由于，则， 综上可得，当或时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 题型一：求cosx型三角函数的单调性 1.（21-22高一下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 2．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的单调增区间是 ． 【答案】, 【分析】可先求出的单调增区间,取的单增区间与的交集即可,注意单调区间不可写并集. 【详解】解:由题知的单调增区间为 , 即, 当时,单增区间为, 当时,单增区间为, , ,是的单调增区间. 故答案为: , 3.（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” . (1)判断下面两组函数中，是否为的“n重覆盖函数”，并说明理由； ①，，“4重覆盖函数”； ②，，“2重覆盖函数”； (2)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值. 【答案】(1)①是，理由见解析；②不是，理由见解析； (2) 【分析】（1）①：根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可； ②：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即可； （2）利用正弦型函数的性质，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）①：当时，，根据余弦函数的图象可知， 是的“4重覆盖函数”； ②：由可知：，函数的图象如下图所示： 当时，，当， 所以不是的“重覆盖函数”； （2）因为，所以， 因为， 所以当时， ， 当时，， 函数和函数都是单调递减函数， 故该函数单调递减， 当时，， 函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，而函数递增的速度快于函数递减的速度，所以函数单调递增， 而函数的最小正周期为：， 因此函数，的图象如下图所示： 因此要想，为，的“9重覆盖函数”，只需， 所以的最大值. 【点睛】关键点睛：根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键. 4．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 【答案】(1)，； (2) (3). 【分析】（1）当时，化简为，再由，，求解即可； （2）由（1）得， 从而，令，先求得，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解即可； （3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可. 【详解】（1） 当时， 由，，得，. 故的严格递增区间为，. （2）由（1）可知，当时，， 则， 令，当时，则，所以， 则，即. 于是， ①当时，，当且仅当时，最大值为； ②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为， 综上所述， （3）由函数为常值函数，令，则原式， 令，则原式（为正整数）； 令，则原式，即， 因为（为正整数），即为正奇数，所以， 即，则， 解得或， 又因为（为正整数），所以. 当时，原式为 . 所以当时，函数为常值函数. 【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的值，再代入验证即可. 题型二：求cosx（型）函数的单调性 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果. 【详解】对于A，若，则， 因为，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则， 因为，当时，，此时，故D错误. 故选：C. 2.（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 3．（21-22高一下·上海宝山·期中）函数的值域为 . 【答案】． 【分析】由余弦函数的单调性求解． 【详解】由余弦函数性质知： 在上递增，在上递减， ，，， 所以值域为． 故答案为：． 4.（22-23高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据偶函数的性质得到对于任意，均有成立，即可求出的值，从而得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）当时，函数 ， 令，， 解得，． 所以此函数的单调递增区间为，； （2）由题意可知函数的定义域为， 又， 因为函数为偶函数， 所以对于任意，均有成立， 即， 即对于任意实数均成立， 只有当时成立，此时． 因为，所以，所以，所以， 即此函数在上的值域为． 题型三：求含cosx的二次式的最值 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后，求函数的最大值即可. 【详解】由得， 设，因，所以， 则在上恒成立， 设， 则二次函数的对称轴为， 因其开口向下，所以时函数单调递增， 所以的最大值， 故， 故答案为： 2．（20-21高一下·上海奉贤·期中）函数在区间上的 最小值是，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由已知中函数，由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为的形式，进而根据函数的最小值为，结合已知中，及余弦函数的图象和性质，即可得到的最大值． 【详解】解：函数 若在区间，上的最小值为， 则由， 解得， 又， ， 故答案为：． 3.（21-22高一下·上海长宁·期中）已知：. (1)化简：； (2)求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用二倍角公式公式将函数变形，再根据余弦函数的有界性及二次函数的性质计算可得； 【详解】（1）解： 即 （2）解：因为， ， 当时，函数取得最小值，最小值为． 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解. 【详解】， 令， 则， 当时，取最大值，此时，由于，则或， 当时，取最小值，此时，由于，则， 综上可得，当或时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 题型四：由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 1.（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 2.（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为 . 【答案】 【分析】由题意可求，进而利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】函数，当函数值为时，则， 所以，则， 故自变量的取值集合为. 故答案为： 4.（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）取特殊值验证得到答案. （2）根据三角函数的有界性得到，得到答案. （3）代入计算得到区间至少上有两个不同的偶数，考虑，，，四种情况，计算得到答案. 【详解】（1），取，，则， 故是函数的“P区间”； （2）， 则， 故不是函数的“P区间”， （3），， 则，故， 故，，不妨设， 则，，故， 即在区间至少上有两个不同的偶数，，即， 当，区间为，满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，区间至少上有两个不同的偶数，满足； 综上所述： 题型五：求余弦（型）函数的最小正周期 1.（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【详解】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则 . 【答案】 【分析】求出函数周期，利用公式即可得到的值. 【详解】因为函数满足， 故的周期为，故，其中为正整数，故， 而，故. 故答案为： 3．（22-23高一下·上海静安·期中）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的最小正周期公式，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期是， 故答案为： 4．（22-23高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解 【详解】由已知得：， 其最小正周期为. 故答案为：. 题型六：由余弦（型）函数的周期性求值 1．（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 2.（24-25高一上·上海·期末）已知14个任意角满足对任意恒成立，若，设为这14个任意角的余弦值的和，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用余弦函数的周期性，先考虑一个周期内的取值，即可1得解. 【详解】根据余弦函数的最小正周期为， 要使最大，则先在一个周期内尽量的大， 先考虑， 由于，， 所以可以取到的正值有， 在之间可取的角的余弦值不是0就是负的， 所以尽量少取，那么就要让差值尽量大，那么只取一个， 那么此时第一个周期内的和为，且取了6个角， 所以两个周期12个角，在第三个周期取两个， 那么. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：余弦函数最小正周期为，先求范围的取值即可. 3.（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）. 【分析】(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”； (2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围. 【详解】(1) 不是函数的“区间”.理由如下： 因为， 所以对于任意的，，都有， 所以不是函数的“区间”. (2)因为是函数的“区间”， 所以存在，，使得. 所以 所以存在，使得 不妨设，又因为， 所以，所以. 即在区间内存在两个不同的偶数. ①当时，区间的长度， 所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意. ②当时，有， 所以. 当时，有，即. 所以也符合题意. 当时，有，即. 所以符合题意. 当时，有，此式无解. 综上所述，的取值范围是. 题型七：求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误. 【详解】对于（1），即为， 即， 两边平方后可得，故或. 若，则，故， 此时， 若，则，故， 此时， 若或，则，故（1）成立. 对于（2），因为，则， 若均为零， 则, 其定义域为，且，故为奇函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为奇函数； 故（2）正确. 对于（3），因为，则， 若均为零， 则， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 故（3）正确. 对于（4），因为， 故， 整理得到：， 取，则， 即，故， 令，则， 而，故，故（4）错误， 故选：A. 【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论 2.（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数（）的对称轴方程为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称性进行求解即可. 【详解】函数（）的对称轴方程为: ， 故答案为： 3.（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值 题型八：利用cosx（型）函数的对称性求参数 1.（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 2.（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 3．（21-22高一下·上海奉贤·期中）函数的图象关于原点对称，则 【答案】 【分析】根据余弦型函数的对称性可得出结果. 【详解】函数的图象关于原点对称，则. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据，集合有6个元素，利用和差化积进行求解，利用函数的性质求解. 【详解】由， 设， 则 所以函数，最小正周期, 由集合有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值，即 化简，即， 又由，， 所以，即, 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要运用和差化积的求解公式，再运用三角函数的性质进行求解. 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】应用诱导公式化简函数式，结合余弦函数性质判断奇偶性即可. 【详解】由，故该函数为偶函数. 故选：B 2．（22-23高一下·上海长宁·期中）在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由周期性排除一个选项，由奇偶性排除一个选项，再由单调性排除一个选项，得正确选项． 【详解】选项ABC中函数的最小正周期都是，而选项D中函数不是周期函数， 其图象如下所示：   排除D； 易知函数是奇函数，排除A； 时，，则是减函数，排除B； 根据函数在上严格单调递增，且其最小正周期为， 则在在上严格单调递增，其最小正周期为， 且，又因为其定义域为，则其为偶函数，故C正确， 故选：C． 3．（22-23高一下·上海宝山·期中）下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A.利用的性质判断；B.利用的性质判断；C.作出的图象判断；D. 作出的图象判断. 【详解】A. 是奇函数，以2为最小正周期，故错误； B. 是偶函数，以2为最小正周期，在上为减函数，故错误； C. 的图象如图所示：    由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为增函数，故正确； D. 的图象如图所示：    由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为减函数，故错误； 故选：C 4．（22-23高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】①当时，，由偶函数的定义判断①正确；②当时，，由复合函数的单调性判断②错误；③当时，，求得函数的零点判断③错误；④当时，，令，求其最大值判断④正确. 【详解】①当时，，其定义域为， 且，函数为偶函数，故①正确； ②当时，，由，得， 则在上不单调，故②错误； ③当时， 由，得，即 则，共4个零点，故③错误； ④当时， 周期，区间的长度为，即为周期， 所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大， 令 ，其中， 即设在区间上的最大值为，最小值为，则， 故④正确.   故选：B. 二、填空题 5．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . 【答案】-5 【分析】从得到，从而利用函数奇偶性求出. 【详解】，故， 所以 故答案为：-5 6．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知函数是偶函数，则的取值是 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质求得的值. 【详解】令，则，所以的值为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出函数的单调减区间. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求单调减区间是. 故答案为： 8．（20-21高一下·上海长宁·期中）已知函数，则它的单调递增区间是 【答案】 【分析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果． 【详解】函数， 令， 整理得：， 所以函数的单调递增区间为：． 故答案为：． 9．（20-21高一下·上海杨浦·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】先对函数变形，然后由可求出函数的递增区间 【详解】，所以， 解得， 所以单调递增区间为 故答案为： 10．（21-22高一下·上海闵行·期中）在中，，则的形状为 . 【答案】钝角三角形 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质，结合诱导公式进行求解即可. 【详解】在中，因为，所以， 当时，由 ，此时是钝角三角形； 当时，显然不成立； 当时， ， 所以为锐角，此时是钝角三角形， 综上所述：是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形 11．（22-23高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则 ； 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答. 【详解】函数是奇函数，则，而， 所以. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解. 【详解】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 13．（21-22高一下·上海徐汇·期中）实数满足，，则 ． 【答案】 【分析】由，得，进而得，代入即可求解. 【详解】由方程组，可得， 因为，所以， 所以，解得，所以， 当时，可得，且，所以， 所以. 故答案为：. 14．（21-22高一下·上海宝山·期中）已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最小值. 【详解】作出单位圆如图所示， 由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域， ，即， 对任意，总成立，，即， 又，，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围. 15．（21-22高一下·上海杨浦·期中）函数  是奇函数，则 ； 【答案】/ 【分析】由两角和的余弦公式化简函数后，根据奇偶性得出的表达式，从而得出结论． 【详解】，它是奇函数， 则，，， 又，所以． 故答案为：． 16．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 【答案】①② 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项． 【详解】对于③，因为， 当时， ， 当时，， 所以，函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为，③对； 对于①，由图可知，函数的值域为，①错； 对于②，由图可知，当且仅当或时， 函数取得最大值1，②错； 对于④，由图可知，当且仅当时，，④对． 故答案为：①②． 三、解答题 17．（22-23高一下·上海静安·期末）（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数. 【答案】（1）时，函数取得最大值2，作图见解析；（2）单调增区间，单调减区间，其中，证明见解析 【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图． （2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明． 【详解】（1）， ，即时，函数取得最大值2. 0 0 2 0 0    （2）单调增区间，单调减区间，其中. 任取、，，即， 由于,是正弦函数的单调增区间， 所以，，即， 故，余弦函数在区间是严格增函数. 18．（21-22高一下·上海宝山·期中）给出集合{对任意，都有成立}. (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例： (3)设p为常数，且，求满足成立的常数p的值. 【答案】(1)证明见解析． (2)甲正确，乙错误． (3) 【分析】（1）根据集合的定义证明； （2）由周期性和奇偶性的定义判断； （3）利用是恒等式，由两角和的余弦公式展开后由恒等知识得结论． 【详解】（1）， ， 所以； （2）因为， 所以， 所以，所以是周期为6的周期函数， 即集合M中的元素都是周期为6的函数； 若，则，但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． （3）， ， 由恒成立， 得，由得或， 若，则，则，不成立， 所以，满足， 所以． 19．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 【答案】(1)增区间，减区间为； (2) 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案； （2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 即函数的单调增区间为； 令，解得， 函数的单调减区间为 函数的周期为. （2）函数为偶函数，则， 即， 即，即， 由于，则， 故， 由于，故. 20．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 【答案】(1) (2)第月是该地区的旅游旺季 【分析】（1）根据题意结合余弦函数分析运算即可； （2）令，结合余弦函数分析运算，注意为正整数. 【详解】（1）因为A和是正整数， 由②可得：，解得； 由③可得：且，则，且，解得； 且，解得； 所以. （2）令，则， 因为，则， 可得，解得， 且，则， 所以第月是该地区的旅游旺季. 【点睛】方法点睛：函数y＝Acos(ωx＋φ)的解析式的确定 （1）A由最值确定； （2）ω由周期确定； （3）φ由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 21．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 余弦函数的图像与性质 课程标准 学习目标 1. 通过做余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养. 3.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养． 1.了解画余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出余弦函数的图象的方法．(重点) 2．余弦函数图象的简单应用．(难点) 3．余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 4．掌握余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小(重点、易混点) 5.掌握余弦函数最大值与最小值，并会求简单余弦函数的值域和最值．(重点、难点) 6.了解余弦（型）函数、周期、最小正周期的定义． 知识点01余弦曲线和余弦函数图像的画法 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 【即学即练1】（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 知识点02余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 解析式 y＝cos x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 【即学即练2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 题型一：求cosx型三角函数的单调性 1.（21-22高一下·上海浦东新·期末）函数的单调递增区间是 . 2．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的单调增区间是 ． 3.（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” . (1)判断下面两组函数中，是否为的“n重覆盖函数”，并说明理由； ①，，“4重覆盖函数”； ②，，“2重覆盖函数”； (2)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值. 4．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 题型二：求cosx（型）函数的单调性 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 2.（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 3．（21-22高一下·上海宝山·期中）函数的值域为 . 4.（22-23高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 题型三：求含cosx的二次式的最值 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 2．（20-21高一下·上海奉贤·期中）函数在区间上的 最小值是，则的最大值为 ． 3.（21-22高一下·上海长宁·期中）已知：. (1)化简：； (2)求函数的最小值. 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 题型四：由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 1.（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 2.（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为 . 4.（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 题型五：求余弦（型）函数的最小正周期 1.（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则 . 3．（22-23高一下·上海静安·期中）函数的最小正周期是 ． 4．（22-23高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期为 . 题型六：由余弦（型）函数的周期性求值 1．（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2.（24-25高一上·上海·期末）已知14个任意角满足对任意恒成立，若，设为这14个任意角的余弦值的和，则的最大值为 ． 3.（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 题型七：求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数（）的对称轴方程为 . 3.（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 题型八：利用cosx（型）函数的对称性求参数 1.（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ． 3．（21-22高一下·上海奉贤·期中）函数的图象关于原点对称，则 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．（22-23高一下·上海长宁·期中）在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·上海宝山·期中）下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 5．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . 6．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知函数是偶函数，则的取值是 7．（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是 . 8．（20-21高一下·上海长宁·期中）已知函数，则它的单调递增区间是 9．（20-21高一下·上海杨浦·期中）函数的单调递增区间为 . 10．（21-22高一下·上海闵行·期中）在中，，则的形状为 . 11．（22-23高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则 ； 12．（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 13．（21-22高一下·上海徐汇·期中）实数满足，，则 ． 14．（21-22高一下·上海宝山·期中）已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ． 15．（21-22高一下·上海杨浦·期中）函数  是奇函数，则 ； 16．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 三、解答题 17．（22-23高一下·上海静安·期末）（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数. 18．（21-22高一下·上海宝山·期中）给出集合{对任意，都有成立}. (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例： (3)设p为常数，且，求满足成立的常数p的值. 19．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 20．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 21．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$