第08讲 向量的概念和线性运算（5大知识点+9种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第08讲 向量的概念和线性运算 课程标准 学习目标 1.教材从几何角度给出向量加减的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养. 2.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养. 3.通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养. 4.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养. 5.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养. 1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) 4.理解并掌握向量加减的概念，了解向量加减的几何意义及运算律．(难点) 5.掌握向量加减运算法则，能熟练地进行向量加减运算．(重点) 6.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点) 7.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点) 8.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点) 9.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点) 10.平面向量的数量积．(重点) 11.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 知识点01向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 【即学即练1】（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 知识点02向量的有关概念 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 【即学即练2】（20-21高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 知识点03向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 【即学即练3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算： ． 知识点04向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 【即学即练4】（21-22高一下·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 ． 知识点05 向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 【即学即练5】（21-22高一下·上海闵行·期中）已知，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型一：向量的概念 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2.（20-21高一下·上海虹口·期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 3.（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 5．（2024高一下·上海·专题练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若，，则 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 6．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ） A． B．或 C． D． 7.（20-21高一下·上海徐汇·期末）的单位向量的坐标为 ． 8.（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知点满足，若，，则点的坐标为 ． 题型二：向量加法的法则 1.（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 2．（20-21高一下·上海虹口·期中）在等边△中， 3．（高二上·上海虹口·期末）若，，则 . 题型三：向量加法的运算律 1.（20-21高一下·上海徐汇·期末）已知向量，不共线，实数，满足，则的值为 ． 2．（20-21高一下·上海·阶段练习）若、、、是共面的四点，则 . 题型四：向量加法法则的几何应用 1.（2021高一·上海·专题练习） 为非零向量，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反 C． D．无论什么关系均可 2．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简 . 3.（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知四边形是边长为1的正方形，则 4．（20-21高一下·上海·专题练习）若点M是中边上的中点，设，则用表示为 ． 题型五：向量减法的法则 1.（20-21高一下·吉林长春·期末）在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则 ． 2．（21-22高一下·上海徐汇·期中）为平行四边形，已知，M是的中点，则 （用表示） 题型六：向量减法法则的几何应用 1.（20-21高一下·上海）如果两非零向量满足：，与反向，则（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·上海徐汇·期中）已知正六边形，若，，则用，表示为 ． 3．（20-21高一下·上海）如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则 ． 题型七：向量数乘的有关计算 1.（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数 ． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 题型八：平面向量的混合运算 1.（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ． 2．（2020高一·全国·专题练习）若，则 ． 3．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知向量，则 ． 4.（23-24高一·上海.阶段练习）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 题型九：向量的线性运算的几何应用 1.（21-22高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则 ． 2．（20-21高一下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 . 3．（20-21高一下·上海·单元测试）在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则 ． 一、单选题 1．（22-23高二下·上海杨浦·期末）在长方体中，与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 3．（22-23高一下·上海青浦·期中）下列式子中，不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 二、填空题 5．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 6．（21-22高一下·上海黄浦·期中） ． 7．（21-22高一下·上海长宁·期中）在边长为2的正方形ABCD中， . 8．（21-22高一下·上海奉贤·期中）设与是两个相等向量，则 9．（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 10．（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 . 11．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量 12．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 13．（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    14．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 15．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 16．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 三、解答题 17．（2021高一·上海·专题练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与、、相等的向量． 18．（2021高一·上海·专题练习）判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若向量与同向，且||>||，则>； ②若向量，则与的长度相等且方向相同或相反； ③对于任意||＝||，且与的方向相同，则＝； ④向量与向量平行，则向量与方向相同或相反． 19．（20-21高一下·上海）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量． 20．（高二上·上海浦东新·阶段练习）已知平面内n个不同的单位向量、、…、，且n边形为凸多边形. （1）当且时，求证：三角形是正三角形； （2）记，求的值. 21．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． (1)求的长度； (2)若，求的值； (3)若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 向量的概念和线性运算 课程标准 学习目标 1.教材从几何角度给出向量加减的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养. 2.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养. 3.通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养. 4.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养. 5.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养. 1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) 4.理解并掌握向量加减的概念，了解向量加减的几何意义及运算律．(难点) 5.掌握向量加减运算法则，能熟练地进行向量加减运算．(重点) 6.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点) 7.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点) 8.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点) 9.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点) 10.平面向量的数量积．(重点) 11.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 知识点01向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 【即学即练1】（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案． 【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 由于与方向相反，长度相等，故B正确； 因为零向量的模为0，故C错误； 与线段的长度相等，故D错误． 故选：B． 知识点02向量的有关概念 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 【即学即练2】（20-21高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 知识点03向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 【即学即练3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算： ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 知识点04向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 【即学即练4】（21-22高一下·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则 【分析】结合平面向量减法的几何意义，利用平面向量三角不等式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以有， 故答案为： 知识点05 向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 【即学即练5】（21-22高一下·上海闵行·期中）已知，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据共线向量的性质和向量数乘的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当时，显然成立，但是不一定成立， 当成立时，显然成立， 因此是的必要非充分条件， 故选：B 题型一：向量的概念 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由由向量的定义可判断①；当，②不成立；，则直线与直线平行或在一条直线上，可判断③. 【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当，满足且，但不一定平行，所以②不正确；若，则直线与直线平行或在一条直线上，所以③不正确. 故选：B. 2.（20-21高一下·上海虹口·期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】A 【分析】根据向量的定义确定，考察向量的方向与长度． 【详解】如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个， 长度为2的向量是与相等或相反的向量，这样的向量有6个， 长度为的向量是相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个． 故选：A． 3.（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 4.（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 5．（2024高一下·上海·专题练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若，，则 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【答案】C 【分析】利用零向量否定选项AB；由向量相等定义判断选项CD. 【详解】对于A选项，因为，若，又零向量的方向任意，则A错； 对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或互为相反向量，D错． 故选：C． 6．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确； 题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确； 因为分别是的单位向量，所以， 故选：D 7.（20-21高一下·上海徐汇·期末）的单位向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据单位向量的求法，即可得答案. 【详解】由题意得：与同方向的单位向量为. 故答案为： 8.（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知点满足，若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由知为、的中点，由中点坐标公式求解. 【详解】解：由可得，所以为、的中点， 又，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 题型二：向量加法的法则 1.（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 【答案】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 2．（20-21高一下·上海虹口·期中）在等边△中， 【答案】 【分析】直接写出结果. 【详解】. 故答案为：. 3．（高二上·上海虹口·期末）若，，则 . 【答案】 【分析】由代入，化简可得出的值. 【详解】，则，即，即. 故答案为：. 题型三：向量加法的运算律 1.（20-21高一下·上海徐汇·期末）已知向量，不共线，实数，满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意，列出方程组，求得x，y，即可得答案. 【详解】因为，且向量，不共线， 所以，解得， 所以. 故答案为：1 2．（20-21高一下·上海·阶段练习）若、、、是共面的四点，则 . 【答案】 【分析】利用向量的加法运算的交换律，和加法运算的几何意义可以得到答案. 【详解】, 故答案为： 题型四：向量加法法则的几何应用 1.（2021高一·上海·专题练习） 为非零向量，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反 C． D．无论什么关系均可 【答案】A 【分析】根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案. 【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且； 当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且； 当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且， 所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同. 故选：A. 2．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简 . 【答案】 【分析】根据向量加法运算律计算即可. 【详解】. 故答案为： 3.（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知四边形是边长为1的正方形，则 【答案】 【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果. 【详解】, 故答案为：. 4．（20-21高一下·上海·专题练习）若点M是中边上的中点，设，则用表示为 ． 【答案】 【分析】由向量的加法运算法则可以直接求出结果. 【详解】由向量的加法运算法则得， 故答案为： 题型五：向量减法的法则 1.（20-21高一下·吉林长春·期末）在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意知，根据向量的线性运算可得， 结合即可求出结果. 【详解】由题意知，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 2．（21-22高一下·上海徐汇·期中）为平行四边形，已知，M是的中点，则 （用表示） 【答案】 【分析】根据向量的平行四边形法则，得到，，进而利用为中点，得到，然后代入即可求解 【详解】 如图， 因为为平行四边形，所以，，，所以，，； 又因为为中点，所以，，得， ； 所以， 故答案为： 题型六：向量减法法则的几何应用 1.（20-21高一下·上海）如果两非零向量满足：，与反向，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，进而可得，即可得出结果. 【详解】因为反向， 所以， 又， ， 所以， 因为， 所以. 故选：A 2.（20-21高一下·上海徐汇·期中）已知正六边形，若，，则用，表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量加法的三角形法则，即可求解 【详解】如图，， 故答案为： 3．（20-21高一下·上海）如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则 ． 【答案】 【分析】延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足，画出图形,则，进而求解即可. 【详解】延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足， 如图所示， 则，， 则. 故答案为：. 题型七：向量数乘的有关计算 1.（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数 ． 【答案】 【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解. 【详解】因为向量不共线，由， 得，即，所以. 故答案为：3 题型八：平面向量的混合运算 1.（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：由，所以，所以，即， ，所以，． 故答案为：． 2．（2020高一·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 故答案为：. 3．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的运算法则，可得. 故答案为：. 4.（23-24高一·上海.阶段练习）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3） 题型九：向量的线性运算的几何应用 1.（21-22高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算. 【详解】如图，连接，则， 不妨设，则，即， ∴，则， 故. 故答案为：. 2．（20-21高一下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，，可得到，化简整理即可求出结果. 【详解】因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P， 所以 ， 所以，即， 故答案为：. 3．（20-21高一下·上海·单元测试）在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则 ． 【答案】. 【分析】先根据中点关系化简原式，然后根据重心的特点进行向量运算，由此求解出结果. 【详解】因为， 又因为为重心，所以， 所以， 故答案为：. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海杨浦·期末）在长方体中，与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量相等的定义即可判断. 【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量， 故在长方体中，与相等的向量是、、， 故选：C 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 3．（22-23高一下·上海青浦·期中）下列式子中，不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：； B：； C：； D：； 故选：B 4．（22-23高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】分析可得且，利用梯形的定义判断可得出结论. 【详解】因为平面四边形满足，则且， 故四边形一定是梯形， 故选：D. 二、填空题 5．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 6．（21-22高一下·上海黄浦·期中） ． 【答案】 【分析】向量运算中作加法时，注意首尾相连容易化简. 【详解】原式. 故答案为： 7．（21-22高一下·上海长宁·期中）在边长为2的正方形ABCD中， . 【答案】2 【分析】由向量运算可求解. 【详解】. 故答案为：2. 8．（21-22高一下·上海奉贤·期中）设与是两个相等向量，则 【答案】 【分析】利用向量的运算即得. 【详解】因为与是两个相等向量， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 10．（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 . 【答案】/ 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 故答案为： 11．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量 【答案】 【分析】由等式变形可得出关于、的表达式. 【详解】因为，所以，，则. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 【答案】2 【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 13．（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    【答案】 【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解. 【详解】因为G为的中点，则， 又因为分别为BD，AC的中点，则， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 15．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【详解】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 16．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】6 【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设为的重心， 则， 因为，所以， 即在以点为圆心，为半径的圆上面， 设点与坐标原点重合， 则， 当且仅当都在线段上，等号成立， 又， 当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立， 综上所述，的最大值与最小值之和为6. 故答案为：6. 三、解答题 17．（2021高一·上海·专题练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与、、相等的向量． 【答案】答案见解析. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】由图 可得；；. 18．（2021高一·上海·专题练习）判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若向量与同向，且||>||，则>； ②若向量，则与的长度相等且方向相同或相反； ③对于任意||＝||，且与的方向相同，则＝； ④向量与向量平行，则向量与方向相同或相反． 【答案】①不正确；②不正确；③正确；④不正确，理由见解析. 【分析】根据向量的概念判断①，根据向量模的概念判断②，根据向量相等判断③根据共线向量判断④. 【详解】①不正确．因为向量是不同于数量的一种量． 它由两个因素来确定，即大小与方向， 所以两个向量不能比较大小，故①不正确． ②不正确．由||＝||只能判断两向量长度相等，并不能判断方向． ③正确．因为||＝||，且a与b同向．由两向量相等的条件可得＝. ④不正确．因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不确定． 19．（20-21高一下·上海）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量． 【答案】 【分析】根据平面向量的加法、减法运算法则求解出关于的表示，然后根据求得结果. 【详解】因为，所以，所以， 又因为， 所以. 20．（高二上·上海浦东新·阶段练习）已知平面内n个不同的单位向量、、…、，且n边形为凸多边形. （1）当且时，求证：三角形是正三角形； （2）记，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】(1)将变形，然后两边平方化简得到，，，将表示为，求出，同理得出，，即可判断三角形的形状； (2) 将化简为，结合、、…、为单位向量，得到n边形内接于半径为的圆，当 时，为半径为1的圆的周长，求出半径为1的圆的周长即为的值. 【详解】(1) ,得到 同理可得：， 则 即三角形是正三角形 (2) 由于、、…、为单位向量，则n边形内接于半径为的圆 表示n边形的周长 当 时，为半径为1的圆的周长 则 【点睛】本题主要考查了平面向量的运算性质，模长公式以及平面向量的数量积公式，难度较大，综合性强，属于难题. 21．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． (1)求的长度； (2)若，求的值； (3)若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 【答案】(1) (2) (3)；该常数为 【分析】（1）根据向量数量积求出，余弦定理求的长度； （2）由，得，设，余弦定理求，由，可得的值； （3）由，可求得，则有，代入中判断值为常数的条件. 【详解】（1）设，则，得， 所以. （2）由已知，则， 设，则， 所以，则有，得. （3）由可得，由（1）知， ，， ， ， ， ， 又，所以， 所以， 若为常数，则，即，此时该常数为. 【点睛】关键点点睛： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出内角的余弦值，由，在各直角三角形中利用的边长和三角函数求出，找到与的关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$