专题09二次函数与四边形存在性四种常考模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题09 二次函数与四边形存在性四种常考模型 模型一：平行四边形的存在性问题 2 模型二：矩形存在性问题 6 模型三：菱形的存在性问题 2 模型四：正方形的存在性问题 6 12 模型一：平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点C． (1)__________，__________； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为秒（）；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2)当时，的面积最大，最大面积是 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，最大面积是； （3）由，得直线解析式为，设，，分三种情况：①当，是对角线，有，解得；②当，为对角线，有，解得；③当，为对角线，有，解得或． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得， 解这个方程组得， 二次函数的表达式为； （2）解：过点作轴于点，如图： 设面积为， 根据题意得：，． ， ， 在中，令得， ， ， ． ， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是； （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，，又，， ①当，是对角线，则，的中点重合， ， 解得（与重合，舍去）或， ； ②当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得（舍去）或， ； ③当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角函数的应用，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 2．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在．的最大值为； (3)点坐标为或或，． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点，点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在． 当，，解得，则， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时，则， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点坐标为或； 当时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 设，则， 把代入得，解得，， 此时点坐标为，， 综上所述，点坐标为或或，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键． 3．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点． （1）求的值； （2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、．若，求、的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据直线与抛物线对称轴交于点可得对称轴为直线，由此即可求得b 的值； （2）先求得点B、C的坐标，可得，再根据四边形为平行四边形可得，即，最后根据，，可得或，由此分别与联立方程组求解即可． 【详解】解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线， 即， ∴． （2）由（1）得：抛物线的解析式为， 把代入抛物线的解析式， 得， 解得或3， ∴、两点的坐标为，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴或， 由，解得 由解得 ∴、的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解决本题的关键． 4．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中． ①若，请求此时点Q的坐标； ②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定是本题解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①证明，得到直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，即可求解； ②当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：，则点， 设点， 则点， ①由点的坐标得，直线的表达式为：， ∵，则， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：； ②存在，理由： 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：(不合题意的值已舍去)； 当或角线时， 同理可得：， 或， 解得：(舍去)； 综上，． 5．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)线段最大值为，点P的坐标为 (3)满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解； （2）延长交于点H，设，则，用含m的式子表示出的长，化为顶点式即可求出最值； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， 故该抛物线得表达式为； （2）解：延长交于点H，如图， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ， ∴此时点P的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为， 把代入得：， 解得：，， ∴， ∵N是原抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵点M在新抛物线上， ∴设， ①当为边时， 点向右平移4个单位得到点， ∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点， ∴或， 解得：或6， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：， 当时，， ∴点M的坐标为； 综上，满足条件的点M的坐标有或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 6．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)的值为或 【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点纵坐标，代入抛物线解析式可求得的值； （4）由条件可得出，结合（）可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为， ∴ ∵ ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，， ∴点纵坐标为， ∴，解得或， 当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）解：由（）得，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点在线段上时，由（）得， ∴，此方程无实数根， 当点不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（）中用表示出的长是解题的关键，在（）中确定出是解题的关键，在（）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 模型二：矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（2023·江苏淮安·二模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．        (1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； (2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． (4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)h的最大值为 (3)不变，这个四边形的面积为16 (4)存在，点P的横坐标为， 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积； （4）分两种情况，点N在y轴上，点N在x轴上，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为：， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解；∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：，解得：， ∴一次函数解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为：； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴；    （4）解：存在，理由如下： 如图1，当点N在y轴上时，四边形是矩形，此时点P的横坐标为：，        如图2，当四边形是矩形时，设，，则， 由题意得：，得，解得：， 综上所述，点P的横坐标为：，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想，利用参数构建方程是解题的关键． 2．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接由对称轴为直线求解； （2）先求出函数解析式，将A、B两点横纵坐标代入后作差即可； （3）分类讨论：①或，则或，则点A、B在对称轴右侧，线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意；②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，当经过点M时，此时正好符合题意，求出，则，过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G，可证，则，则，临界状态可得，解方程即可；③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧，当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意，求出直线：，联立得，解得或，则，故或． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线； （2）解：由抛物线经过点， ∴ ， 解得， 即抛物线解析式为， 将A、B两点横纵坐标代入后作差，可得， ； （3）∵点不与重合， ∴，而， ①或，则或， 则点A、B在对称轴右侧， 线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意； ②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， 当经过点M时，此时正好符合题意， ∵ ， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G， 对于，令，记抛物线与x轴右侧交点为M，则 ，解得或，则与x轴交于和， 则由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或（舍）， ∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时， ∴； ③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧， 当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意， 将代入直线：得， ∴此时直线：， 联立得，解得或， ∴， ∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，， 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数几何的综合题，抛物线的对称轴，与矩形的存在性问题，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； (3)是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点坐标为，， 【分析】本题考查了抛物线的综合应用，解直角三角形，垂径定理，矩形的性质； （1）结合，由两点式可得抛物线解析式为，求出点坐标，代入即可求出抛物线解析式； （2）记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点），连接、．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出，可得出的值随着的增大而减小，则可得与直线相切，再结合勾股定理可求得点的坐标； （3）分类讨论，①若为边，时，将绕点逆时针旋转得到'，根据证明'，依据全等的性质可得点点的坐标，求出直线的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，由矩形的性质可知，，结合点、、点坐标可得点坐标②若为边，时，同理可求：直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，同理可得点坐标；③若为对角线，由点点坐标可得的中点坐标及的长，点在抛物线上，设点，利用勾股定理可求出的值，选择符合题意的，求出点坐标后结合的中点坐标可知点坐标，综上所述，点的坐标有种情况 【详解】（1）， ，， ， ， 点 设经过点， ， ， 抛物线解析式为：； （2）如图，记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点）． 连接、，则，， ， 的值随着的增大而减小． 又， 当取最小值时最大， 即垂直直线时，最大， 此时，与直线相切． ∵，则 ，， 坐标为． 根据对称性，另一点也符合题意． 综上可知，点坐标为或． （3）若为边，时，如图，将绕点逆时针旋转得到， ， ，， ，且， ，， 点，且 直线'解析式为：， ， ， 点， ， ， ， ， ， 点， 若为边，时， 同理可求：直线的解析式为：， ， ， 点坐标 ， ， ， ， ， 点， 若为对角线， 、、、为顶点的四边形成为矩形， ，与互相平分， ， 中点坐标，， 设 ， ， ， ，且的中点坐标， 点 综上所述：点坐标为，，． 4．（2023·江苏无锡·三模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，过点作，垂足为，当时，请求出的值； (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将，代入抛物线可得，解方程组即可得到答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，，作轴于，轴于，可证得，得出，再由，，求得，结合，可得，建立方程求解即可得到答案； （3）设，分三种情况：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；②当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；③当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，作轴于，轴于，   ， 抛物线与轴交于点， 当时，， ， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 设点的横坐标为，则，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 在中，， ， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， 轴， ， ，即， ， ， ， ， 解得：或， ， ； （3）解：抛物线， 抛物线对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设，设抛物线对称轴交轴于点，交边于点， 则， 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图所示，   ， 则垂直平分，即， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图所示，连接交于点，   ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， 关于对称轴对称，即点是的中点，， 点是的中点， ， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，如图，过点作轴于点，连接交于点，   ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ，， ， ，即， ，， ， ， 点是的中点， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想，是解题的关键． 5．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）． （1）b＝　　，c＝　　． （2）连接BD，求直线BD的函数表达式． （3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长． 【答案】（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5＋；（4） 【分析】（1）把代入，列方程组求出b，c的值； （2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式； （3）先由，且，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由列方程求出t的值； （4）过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长． 【详解】解：（1）把代入， 得，解得， 故答案为：，． （2）∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； 设直线BD的函数表达式为， 则，解得， ∴． （3）存在，如图1、图2． 由题意得，， ∴，； ∵，且， ∴，解得＜t＜，且； ∵， ∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形， ∴； 由， 解得，（不符合题意，舍去）； 由， 解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，或． （4）由（2）得，抛物线的对称轴为直线， 过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G， 如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方， 当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高， 此时点Q与点A重合， ∵， ∴， ∴， ∴＝＝6， ∴R（0，4）； 如图4，为原图象的局部入大图， 当点Q在y轴右侧且在直线左侧，此时点R的最低位置在点G下方， 由， 得，， ∴GR＝； 设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2）， ∴GR＝＝r2＋r＝， ∴当r＝时，GR的最小值为， ∴R（0，）； 如图5，为原图象的缩小图， 当点Q在直线右侧，则点R在点G的上方， 当点M与点B重合时，点R的位置最高， 由， 得，， ∴GR＝＝＝28， ∴R（0，26）， ∴， ∴点R运动路径的长为． 【点睛】本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题． 6．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)H点的坐标为或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值； （3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D， 设，则， ，其中， 如图，延长交于点G，则， 由题意可得是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时； （3）解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 7．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值； (3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的横坐标为或或或 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于、的方程组，求解即可； （2）证明，得到，设，求出点，，得到点，则，即可求解； （3）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ∵抛物线的解析式为，， 当时，得， ∴， ∴轴，即轴， 过点作于点，过点作轴于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，轴， ∴， 在中，， ， ∴ ， ∴当时，的最小值为； （3）∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则 ， ， ∵、、、构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，，（舍去），（舍去）， 此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合运用，考查了待定系数法确定解析式，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，勾股定理，一元二次方程的应用等知识点，正确理解题意并分类求解是解题的关键． 模型三：菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2023·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 和点 ．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点作，垂足为点，求线段长的取值范围； (4)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为 (3) (4) 【分析】（1）设，将点，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）抛物线与轴交于点，，，， 设，将点，代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为 ，，，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 当时，面积的最大值为； （3）如图，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为 ，，，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， 在中，， ，轴， ， ， ， 又， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； （4）设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法解二次函数的解析式，即可作答． （2）因为，先排除一种情况，再进行分类讨论，即和，分别列式计算，即可作答． （3）根据菱形性质，结合图象性质，进行分类讨论，即四边形为菱形或四边形为菱形，运用中点法列式，以及勾股定理，代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点， ∴把代入 得 解得 ∴ 故答案为：； （2）解：∵轴 ∴ ∴ ∵是直角三角形 ∴当时， ∴ ∴ ∵对称轴 ∴ 此时点P的坐标为 ∴当时， 设的解析式为 ∴把代入 ∴得 解得 ∴ 设点 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 即 解得（此时点E和点C重合，故舍去） ∴点 综上或 （3）解：存在，或 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为 设点， ∵四边形为菱形 ∴ 即 则 由（2）知，此时 ∴ ∴ 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 ∵点， ∴ 即 ∵ ∴ ∴解得，（舍去） ∴ ∴ 综上或 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，菱形性质，待定系数法解函数解析式，勾股定理，解直角三角形的相关性质，熟练运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键． 3．（2023·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点．D为第一象限的抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出D的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为2 (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则点，则，求出结果即可； （3）设点，则点，则，证明，得出， 即，求出，得出取得最大值为，即可求出其取值范围； （4）设，，得出，根据四边形是菱形，得出，列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴设,将点代入， 得：， 解得：， ∴ ； ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于点M，交于点N，    把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， ∴， 当时，面积的最大值为2； （3）如图，过点D作轴于点M，交于点N，    根据解析（2）可知，直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 在中，， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴当时，取得最大值为， ∴； （4）解：设，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，求二次函数解析式，三角形相似的判定和性质，求二次函数的最值，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 4．（2023·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N是平面内任意一点，当以A、C、M、N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式是． (2)当，即时，． (3)或，或或． 【分析】（1）利用函数图像上已知两个点代入求出参数得到表达式； （2）做出铅垂线，构造相似三角形，转换比例，计算铅垂线长度最值求出比例最值； （3）先构造等腰三角形，分类讨论等腰，利用两点间距离公式计算出点M，再求出点N． 【详解】（1）抛物线与x轴交于、两点， 抛物线可化为， 抛物线的函数表达式： （2）设：，代入，， 得， 解得， ： 过点P作y轴的平行线，交线段于点K，    设点，则， ， ， ， ， 当，即时，； （3）对称轴为直线， 为等腰三角形时，以A、C、M、N为顶点的四边形可为菱形， 当时， ， ， 或， 菱形以、为对角线， ，， 或，    当时，同理，    ，， 菱形以、为对角线， ，， ； 当时， ，      解得， 菱形以、为对角线， ，， ； 综上所述或，或或． 【点睛】本题考查二次函数综合大题，包含相似与铅垂线长度，等腰三角形与菱形．通常线段比例都借助水平竖直线得到三角形相似，转化为水平线或竖直线之间的比例．通常构造菱形先构造等腰三角形，且等腰三角形计算采用两点间距离公式直接求解长度或列方程． 5．（2024·江苏盐城·一模）我们约定：若关于x的二次函数与，则称函数与函数互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“共赢”函数，则 ； ； ． (2)对于任意非零实数r、s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“共赢”函数． ①求函数y2的图像的对称轴； ②函数y2的图像与直线交于A、B两点，且AB长为，求的函数表达式； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“共赢”函数的图像顶点分别为点A、点B．若函数，的图像交于不同两点C，D，且四边形为菱形，，请求出该菱形面积的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①对称轴为；②或 (3) 【分析】（1）由与互为“共赢”函数，得到，，，即可求解， （2）①由对称轴，得到，，即可求解，②联立，得：，，，，由，得，，即，解得：，代入，即可求解， （3）得到 ， ，联立，，得：，，由四边形是菱形，得，代入得，整理得，即：，则，即：轴，设，由，得，，由得，， ，代入，得，解得：，即，，，，即可求解， 本题考查了，二次函数的综合应用，解题的关键是：熟练掌握分类套路思想． 【详解】（1）解：∵与互为“共赢”函数， ∴，，， 故答案为：，，， （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴ ∴， ∴对称轴为， ②联立，得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：，解得：， 分别代入， ∴或 故答案为：①对称轴为；②或， （3）解：∵， ∴，， ， 同理， ， 联立，，得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：轴， 设， ∵， ∴， ∴， 将，代入，得：， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴，即：， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与y轴、x轴正半轴于A、B两点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，将抛物线沿它的对称轴向下平移，使得平移后的抛物线顶点刚好落在直线上，求平移后抛物线的函数表达式； (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上一点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，在平面中找一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)Q点的坐标为： 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出平移后抛物线的顶点为，即可求解析式； （3）设，则，可得，当为菱形的边时，或；当为菱形的对角线时，点纵坐标为1，再由的中点为，得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得或， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 直线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 平移后抛物线的顶点为， 平移后的抛物线解析式为； （3）解：设，则， ， 当为菱形的边时，，， ∵ ∴或 或； 当为菱形的对角线时，， 点纵坐标为1， 的中点为， ， 解得或， ∴或 综上所述：Q点的坐标为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图像的平移，菱形的性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． (1)点A坐标为 ，点D坐标为 ； (2)P为之间抛物线上一点，直线交于，交轴于，若，求P点坐标． (3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）在中，令可得，由，得抛物线顶点为； （2）连接，由，，，，求出，根据，可得，故，可求出，，得直线函数表达式为，联立，求解，即可得出点P坐标； （3）分三种情况：①若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，②若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，③若以，为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，分别画出图形可得答案． 【详解】（1）解：在中，令得， 解得或， ， ， 抛物线顶点为， 故答案为：，； （2）解：连接，如图： 由（1）知，，，， 在中，令得， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 设直线函数表达式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线函数表达式为， 联立， 解得或， ∴； （3）解：①若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，如图： 可作菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作直线于E， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴与共线，以，，，为顶点不能作菱形； ②若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，如图： 可作菱形和菱形； 连接，相交于E， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 同理可求得； ③若以，为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，如图： 可作菱形； 同样可求得． 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有4个； 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及三角形面积，菱形的判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用，属于中考压轴题． 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)直接写出a、b的值； (2)如图1，连接，D在线段上，过D作轴于点F，交二次函数图像于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标． (3)如图2，点G的坐标，作直线，点H在y轴的负半轴上，连接交直线于M，点N在该平面内运动，当以O、H、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键， （1）分别将点和点代入表达式进行求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设出点D、点E坐标，表示出，然后再根据的面积是的面积的求出，从而得到方法求解，进而完成解答； （3）先求出直线、的解析式，然后联立求得，即；再分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：将和代入， ， 解得：． （2）解：设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴， 设D点坐标为，， ， ∵， ∴、的边上的高相等， ∵的面积是的面积的， ∴, ∴， 解得：或6， ∴D点的坐标为或． （3）解：∵， 设直线的解析式为，则有：， 解得：， 即， 设，则， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 即， 联立， 得：， 解得：， ∴， ∴， ∴； ①当均为边时，则， ∴，即， 化简得：， 解得：或16（正值舍去）； ∴； ②当为边时，为对角线时，由对角线相互垂直平分可得：, ∴， 解得：或18（正值舍去）， ∴； ③当为对角线，为边时，, ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 综上，或或． 9．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心． (1)填空：点的坐标为 ， ； (2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值； (3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ． 【答案】(1)， (2)为定值，定值为 (3) 【分析】（1）当时，即，解得，，可求得点，点；当时，求得点，得到，故； （2）根据点D为的外心，，由圆周角定理和外接圆的性质，得，，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点，则，，，，证明，得到，，求得，即可求得为定值； （3）由于在第一象限内的抛物线上存在一点，以、、、为顶点的四边形只能是四边形，若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，设点，若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解． 【详解】（1）当时，即， ， 解得，， 点，点， 当时，， 点， ， ， （2）为定值，理由如下： 点D为的外心，， 则，， 过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N， 设点， 则，，，， ，， ， ，， ， ， ，， 解得： 则的面积， 为等腰直角三角形， ， 则的面积， 为定值； （3） 在第一象限内的抛物线上存在一点， 以、、、为顶点的四边形只能是四边形， 又， 若四边形是平行四边形，则四边形即是菱形，如图所示， 由前面可知，点，点，点，设点， 若为四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，由中点坐标公式得： ， 解得：或（不合题意舍去）； 综上，． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键． 模型四：正方形的存在性问题 确定正方形的顶点位置 已知两个定点 A,B,在平面内找点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为正方形. (1)若AB为正方形的边,如图①,过点A.B分别作垂直于 AB 的直线,再利用正方形的边长相等,确定另两点的位置: (2)若AB为正方形的对角线,如图②.可作 AB的垂直平分线,再利用正方形的对角线相等且互相垂直平分,确定另两点的位置。 1.（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在，当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 把代入中得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 3．（2025·内蒙古包头·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点E在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，推出，设，则，由点在直线上，列式计算，可求得的值，利用平移的性质即可求解．当沿着点逆时针旋转得到，设，则点，然后表示出的坐标，再代入一次函数即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为，将，代入， 解得,， ∴直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∴ ∴， ∴ 设， 当点在轴左侧，轴下方时， 则， ， ∴， ∵点在直线上， ∴． 解得或（舍去）， 当时，，， 点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 当点在轴左侧，轴上方时，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 则， ， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：（舍去），， ∴，， 同理可得：； 当点在轴右侧，轴下方时，作轴，轴，如图： 设，则点，则点， ∴， 解得， ∴（舍去）， ∴点的坐标为； 当点在轴右侧，轴上方时，作轴，轴，如图： 则，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴点N的坐标为； 综上，点坐标或或或 ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的关系，数形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）二次函数的图象经过． (1)试求二次函数表达式（用含有的式子表示）； (2)已知点、，连接，以为边在的右侧作正方形，若二次函数图象与正方形的边有公共点，求的取值范围； (3)在（2）中，已知直线，是否存在，使得直线与二次函数图象同时经过正方形（包括内部与边界）？若存在，试求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的几何综合内容，熟练掌握正方形的性质以及二次函数的图象性质： （1）依题意，把代入，化简即可作答． （2）因为以为边在的右侧作正方形，若二次函数图象与正方形的边有公共点，所以进行分类讨论，第一是二次函数经过点时，第二是当二次函数图象经过点时，列式计算，即可作答． （3）由已知直线，假设存在，使得直线与二次函数图像同时经过正方形（包括内部与边界），得直线绕着点旋转，结合二次函数的图象性质，得当直线经过点时，或当直线经过点时，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过 ∴把代入 得 则 即； （2）解：依题意， 当二次函数的图象经过点时， 则， 得， 此时点也在图像上； 当二次函数图像经过点时， 则， 得， 综上二次函数的图象与正方形的边有公共点时，； （3）解：由题意可知：直线绕着点旋转， 当直线经过点时， 则，得； 当直线经过点时， 则， 得； 故， 综合（2）的结论，两者的解集，没有公共部分， 所以，不存在直线与二次函数图像都经过正方形（包括内部与边界）． 5．（2024·江苏苏州·一模）如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上． (1)若点的坐标为 ①求二次函数图像顶点坐标； ②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由； (2)若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围； (3)在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围． 【答案】(1)①②不相交，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）①将A点坐代入解析式直接求出；②求出点C坐标，代入横坐标，判断函数值是否等于点C的纵坐标即可． （2）求出P、D、C三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间列出不等式组即可解决问题． （3）对应的函数的最小值为，即点P的纵坐标的值为，由此列出关系式，即可解决问题．再结合（2）的结果确定m的范围． 【详解】（1）解：①把代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵正方形的边长为1，且， ∴， ∴ ∴点D的坐标为，点C的坐标为 当时，， 所以，二次函数图像与边不相交； （2）解：如图， ∵A点的横坐标为m，正方形边长为1， ∴，，，，， ∵， 解得：， ∵， 解得：， 综上所述，． （3）解：∵对应的函数的最小值为， ∴， ∴． ∴， 由图象可知点P不在y轴上， ∴， ∴ 由（2）可知，且， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数和反比例函数在特定范围内的增减性、不等式与不等式组等重要知识点．第（2）问的关键是利用函数增减性列出不等式组，第（3）问的关键是利用（2）的结论，转化为不等式确定自变量取值范围． 6．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数，，为常数，且的图象顶点为（不与坐标原点重合），以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点． (1)如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点N的坐标___,并验证点N是否为伴随点___（填“是”或“否”）： (2)当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题： ①若关联正方形的顶点、在轴的异侧时，求的取值范围： ②当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式； ③关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)或；否 (2)①或；②；③或且或 【分析】（1）由点坐标，画出正方形的大致位置，发现可以在的左右两侧，故需分类讨论．分别过点、作轴的垂线段、，易证，故有，．根据点在第二或第四象限的位置得到点坐标，把的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与的纵坐标不相等，故点不在二次函数图象上，不是伴随点． （2）①用配方法求点坐标，画出正方形的大致位置，由（1）可证得，故有，．由于点、在轴的异侧，由图可知．分别讨论点在第一象限和第四象限时的长（用表示），即得到关于的不等式，进而求得的取值范围．②过点作直线的垂线段，构造，故有，．若点在第一象限时，根据求得用表示点的横纵坐标，由点为伴随点可知点在二次函数图象上，把点坐标代入二次函数解析式得到关于的方程，解方程并讨论的取值即可．若点在第四象限，则点在点上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点，即此时不可能为伴随点．③由，可得．画图可知，当点、在轴同侧时对称轴与交于点，，故有解得．又由可证，通过对应边成比例得，把含的式子代入解不等式即求得的范围．当点、在轴异侧时，同理可求的取值范围． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 二次函数顶点， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 若在左侧，则点在第二象限，， 时，， 点不在二次函数的图象上， 不是伴随点， 若在右侧，则点在第四象限，， 时，， 不是伴随点， 故答案为：或；否． （2）过点作轴于点，过点作轴于点， 由（1）可得：， ， ， ，； ①如图2，若点在第一象限， 与位于轴的两侧，点、在轴的异侧， 点在第四象限，， ，解得：； 如图3，若点在第四象限， 点在第一象限，， ，解得：； 综上所述，点、在轴的异侧时，的取值范围为或． ②过点作于点， ， ， ， 在与中， ， ， ，； 如图2，若点在第一象限，则， ，， ， 点是伴随点，即点在二次函数图象上， ， 解得：（舍去），； 如图3，若点在第四象限，则点在点上方， 二次函数图象开口向下， 点不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点， 综上所述，关联函数的解析式为； ③，， ， ， ； 如图4，当点、在轴同侧时（由①可知或，对称轴与交于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 解得：或； 如图5，当点、在轴异侧时，对称轴与交于点，延长交于， ， ， ， ，即， ， 且， 解得：且． 综上所述，时的取值范围为或且或． 【点睛】本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式（组）的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质．由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论．讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算． 1．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标为或或或或 【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点可得、，运用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）根据二次函数图象与轴的交点可求出，如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，设点的横坐标为，则，根据相似三角形的判定和性质可得，，结合直线可用含的式子表示点，再根据，列式得，由此即可求解； （3）根据题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，可知，设，由两点之间距离公式可得，，，根据菱形的性质分类讨论：①当为菱形的边时， ；②当为菱形的边时，；③当为菱形的对角线时，；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、， ∵抛物线的图象经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，且， 解得， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则， ∵点在直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，则，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 解得，， 当时，；当时，， ∴，； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）的条件下，点位于对称轴左侧， ∴， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴，，， ①当为菱形的边时， ，如图所示，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的边时，，如图所示，即， ∴， ∴或， ∴或； ③当为菱形的对角线时，如图所示，，即， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，两点之间距离公式的运用，图形结合分析，分类讨论思想等知识是解题的关键． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． (1)分别求出点，的坐标（用表示）； (2)证明：函数与的图象相交于，两点； (3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点． （1）由顶点坐标公式即可求解； （2）证明：令，得或，即可求解； （3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1），对称轴， 当时，， ∴， ，对称轴， 当时，， ∴； （2）令，得：， 化简得：，即， 解得：，， 将，分别代入二次函数中，得：，， ∴交点坐标为和， 即：函数与相交于、两点． （3）当时，，顶点；，顶点， ∴直线解析式为：， 设，则 ∴， 则，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为、、或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，当时，最大，此时最大，即可求解； （3）根据题意可设，得到，，，分三种情况讨论：①，②，③，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线解析式为， 抛物线过， ， ， 此抛物线解析式为； （2）过点作轴交于点，如下图所示， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 则， ，， 当时，最大，此时最大， ； （3）根据题意可设， ，， ，，， ①，即， ，， ，， ②，即， ， ，， ③，即， （不合题意，舍去）， 综上所述，满足条件的点坐标有、、或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，菱形的性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 5．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将数字代入，化成顶点式，再根据对称得到顶点代入定点式即可得到答案； （2）根据（1）的原理得到解析式，设，， 表示出，根据二次函数的性质求解即可得到答案； （3）联立两条曲线，求出点的坐标得到点G和点H关于原点对称，结合抛物线对称得到四边形是平行四边形，结合当时四边形是矩形列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵：的顶点是， ∴的顶点为：， ∴的解析式为：， 故答案为：； （2）解：同理（1）可得， 的解析式为：， 设，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：由得， ， ∴， ∴点G和点H关于原点对称， ∴， 同理可得， 和的顶点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时， 四边形GHFE是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本体考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据对称求出另外一个抛物线的解析式，再结合特殊图形性质列等式． 6．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 7．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，作直线，点为抛物线的顶点 (1)求此抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上的动点，过点作于点，交直线于点，作于点求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点的对应点，新抛物线与轴交于点为新抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中确定点，使得以点为顶点的四边形是菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为，时点的坐标为； (3)或或或，见解析 【分析】（1）将，，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设，证明得出，设出P点的坐标，利用二次函数的性质求最值即可； （3）先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点，的坐标，然后设出点的坐标，根据菱形的性质求出的坐标，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）， 令，则， 令，则， 解得： ∴， 又 ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当取得最大值时，取得最大值， 设直线的解析式为：， 把，代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为：； 设，则， ， ∴当时，的最大值为2， 的最大值为，此时点的坐标为； （3）∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴抛物线向上平移单位，向右平移2单位， ∴新抛物线的解析式为，顶点为 当时，，则点的坐标为， 设， ，，， ①当时，， 解得，或（与点重合，故舍去） 此时，、为对角线， ， ∴， 解得：， ； ②当时，， 解得，， 此时，、为对角线， ， ∴， 解得：， ， ③当时，， 解得，或 此时，、为对角线， 或， ∴或 解得：， 或， 当、为对角线时， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形，平移的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键． 8．（2024·广东清远·模拟预测）如图1抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1连接，过点A作轴，垂足为点B，点E，F分别是线段上的动点，且不与线段的端点重合； ①在直线变化的过程中，若直线平分四边形的面积，且C到直线EF的距离最大，求此时直线的解析式； ②如图2，连接，点N是y轴上一点，点M是二次函数上一点，当四边形为矩形时，求出点E的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题、主要考查了二次函数、特殊平行四边形的性质、点到线的距离等知识先，通过构造横平竖直线并利用三角函数和相似来解决问题是解答本题的关键． （1）直接将B和C点坐标代入到解析式中，解方程组即可； （2）①因为A和C纵坐标相同，所以轴，可证四边形为矩形，别切四个顶点坐标都可求，因为平分四边形，所以经过矩形对角线交点D，过C作于Q，，所以当与重合时，最大，此时Q与D重合，由于此时Q是线段中点，所以，过E作轴于M，可以证得，在中，求得，所以，，设，则，再利用，利用待定系数法，求出直线的解析式；②如图3，过M作于G，设，，进而得到，推导出，得到，进而得到，，解得或，由于E在左侧，则点E为． 【详解】（1）解：将B，C代入到抛物线解析式中得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①如图1，连接相交于D点，过C作于Q点， ∵A和C的纵坐标相同， ∴轴， 又∵轴， ， ∴四边形为矩形， ∵直线EF平分矩形的面积， ∴直线必经过D点， ， ． 如图2：当时，Q与D重合，即于D，此时最大， ∵Q为中点，且， ， 过E作于M，则四边形为矩形，则， ， ， 又，， ， 设，则， 设直线为， 代入点E，F，Q得：，解得：， 直线的解析式为． ②如图3，过M作于G，设，， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ∴， ，即， ， 又∵M在抛物线上， ，解得或， ∵E在左侧， ， ∴点E为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数与四边形存在性四种常考模型 模型一：平行四边形的存在性问题 2 模型二：矩形存在性问题 6 模型三：菱形的存在性问题 2 模型四：正方形的存在性问题 6 12 模型一：平行四边形的存在性问题 顶点确定法 1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点: 如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点; (2)两定顶点、两动顶点: ①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置: ②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置. 2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法: 如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理); (2)平行四边形顶点坐标公式法 设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点C． (1)__________，__________； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为秒（）；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 3．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点． （1）求的值； （2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、．若，求、的值． 4．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中． ①若，请求此时点Q的坐标； ②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由． 5．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 6．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 模型二：矩形的存在性问题 顶点确定法 确定矩形的顶点位置 A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形 (1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D (2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D. 1．（2023·江苏淮安·二模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．        (1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； (2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． (4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围． 3．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； (3)是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2023·江苏无锡·三模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，过点作，垂足为，当时，请求出的值； (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 5．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）． （1）b＝　　，c＝　　． （2）连接BD，求直线BD的函数表达式． （3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长． 6．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值； (3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 模型三：菱形的存在性问题 确定菱形的顶点位置 A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形 (1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D; (2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D. 1．（2023·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 和点 ．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点作，垂足为点，求线段长的取值范围； (4)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点．D为第一象限的抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出D的坐标． 4．（2023·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N是平面内任意一点，当以A、C、M、N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点N的坐标． 5．（2024·江苏盐城·一模）我们约定：若关于x的二次函数与，则称函数与函数互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“共赢”函数，则 ； ； ． (2)对于任意非零实数r、s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“共赢”函数． ①求函数y2的图像的对称轴； ②函数y2的图像与直线交于A、B两点，且AB长为，求的函数表达式； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“共赢”函数的图像顶点分别为点A、点B．若函数，的图像交于不同两点C，D，且四边形为菱形，，请求出该菱形面积的取值范围． 6．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与y轴、x轴正半轴于A、B两点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，将抛物线沿它的对称轴向下平移，使得平移后的抛物线顶点刚好落在直线上，求平移后抛物线的函数表达式； (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上一点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，在平面中找一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 7．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． (1)点A坐标为 ，点D坐标为 ； (2)P为之间抛物线上一点，直线交于，交轴于，若，求P点坐标． (3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个． 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)直接写出a、b的值； (2)如图1，连接，D在线段上，过D作轴于点F，交二次函数图像于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标． (3)如图2，点G的坐标，作直线，点H在y轴的负半轴上，连接交直线于M，点N在该平面内运动，当以O、H、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． 9．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心． (1)填空：点的坐标为 ， ； (2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值； (3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ． 模型四：正方形的存在性问题 确定正方形的顶点位置 已知两个定点 A,B,在平面内找点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为正方形. (1)若AB为正方形的边,如图①,过点A.B分别作垂直于 AB 的直线,再利用正方形的边长相等,确定另两点的位置: (2)若AB为正方形的对角线,如图②.可作 AB的垂直平分线,再利用正方形的对角线相等且互相垂直平分,确定另两点的位置。 1.（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 3．（2025·内蒙古包头·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点E在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）二次函数的图象经过． (1)试求二次函数表达式（用含有的式子表示）； (2)已知点、，连接，以为边在的右侧作正方形，若二次函数图象与正方形的边有公共点，求的取值范围； (3)在（2）中，已知直线，是否存在，使得直线与二次函数图象同时经过正方形（包括内部与边界）？若存在，试求出的取值范围；若不存在，说明理由． 5．（2024·江苏苏州·一模）如图，边长为1的正方形中，轴，轴（在的右侧、在的下方），点在二次函数（为常数，且）的图像上． (1)若点的坐标为 ①求二次函数图像顶点坐标； ②判断二次函数图像与边是否相交，并说明理由； (2)若点的横坐标为，且二次函数的图像与边相交，求的范围； (3)在（2）的条件下，若二次函数在正方形内（包括边界）的部分函数最小值为，求的范围． 6．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数，，为常数，且的图象顶点为（不与坐标原点重合），以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点． (1)如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点N的坐标___,并验证点N是否为伴随点___（填“是”或“否”）： (2)当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题： ①若关联正方形的顶点、在轴的异侧时，求的取值范围： ②当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式； ③关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围． 1．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． (1)分别求出点，的坐标（用表示）； (2)证明：函数与的图象相交于，两点； (3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 6．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，作直线，点为抛物线的顶点 (1)求此抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上的动点，过点作于点，交直线于点，作于点求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点的对应点，新抛物线与轴交于点为新抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中确定点，使得以点为顶点的四边形是菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 8．（2024·广东清远·模拟预测）如图1抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1连接，过点A作轴，垂足为点B，点E，F分别是线段上的动点，且不与线段的端点重合； ①在直线变化的过程中，若直线平分四边形的面积，且C到直线EF的距离最大，求此时直线的解析式； ②如图2，连接，点N是y轴上一点，点M是二次函数上一点，当四边形为矩形时，求出点E的坐标． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$