精品解析：2025年 湖南省郴州市中考一模数学试题

2024－2025学年第二次学科竞赛 九年级数学试题卷 （时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：A．方程含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．化简后得，是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．是分式方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：这个相似三角形的面积之比为， 它们的周长之比为 ， 故选A． 3. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数的大小，估算出的值是解题的关键．先估算出的值，再估算出 的值在1和2之间，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 4. 若，则 的值为（ ） A. . B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于sin(α+15°)=，α是锐角，而sin60°=，则可求α+15°=60°，从而可求α，再把α的值代入tan（α-15°）中，即可求值． 【详解】解：∵sin(α+15°)=，α是锐角， ∴α+15°=60° α=45°； ∴=1 故选C. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值. 5. 已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交或相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得，， ∵d、r是方程的两个根， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：C ． 6. 若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大， 点都在反比例函数的图象上，且， 故选：B． 7. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余可得答案．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 8. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：∵AG=2，GB=1， ∴AB=3， ∵ ， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键． 9. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的系数的几何意义得出 ，即可求出． 【详解】解：， ， ， 在该图像上， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，正确表示出时解题的关键． 10. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据图象对每一个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； B、由函数图象可知，当粮食水分含量为时，的阻值小于，故本选项符合题意； C、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知一斜坡的坡角为，则它坡度___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于斜坡的坡角为，而坡度为坡角的正切，由此即可确定个斜坡的坡度i. 【详解】解：∵斜坡的坡角为， ∴这个斜坡的坡度 故答案为： 【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用-坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，然后利用三角函数即可解决问题． 12. 如图，在中， ，弦的长为，求扇形的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形以及扇形的面积，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形； 先过点过点O作 ，根据垂径定理，可得出的长，再由余弦函数求得的长；再利用扇形的面积公式即可解答； 【详解】解：过点O作 ， ∵， ∴． ，， ， 在中， ， ． 故答案为：． 13. 把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 14. 如图，，，分别切 于点，， ，如果，那么的周长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，即可得到，，，从而可求得的周长． 【详解】解：，，分别切⊙于点，， ， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 15. 卖鱼的商贩为了估计鱼塘中有多少斤鱼，就用渔网先捞出了20条鱼，总重60斤，并在每条鱼上做了标记，随后仍放入鱼塘，一个小时后，再次捞出了30条鱼，发现其中有3条带有标记．根据此数据，可估计鱼塘中有鱼__________斤． 【答案】600 【解析】 【分析】捞出的30条鱼中带有记号的鱼为3条，据此求出带记号的鱼的频率，用带记号的鱼总数除以频率得鱼塘中鱼的总条数，然后乘以一条鱼的平均质量即可求解． 【详解】解：∵捞出的30条鱼中带有记号的鱼为3条 ∴做记号的鱼被捞出的频率为 =0.1 ∵池塘中共有20条做记号的鱼 ∴池塘中总共约有20÷0.1=200（条） ∴估计鱼塘中鱼的总质量为200×3=600（斤） 故答案为：600． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 16. 在平面直角坐标系中， 顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画 的位似图形，使 与的位似比等于，则点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟知位似变换的性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，若以原点为位似中心，且点的坐标为． 在中，∵相似比是， ∴点的坐标为或， 故答案为：或 17. 如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了 ，那么砝码被提起了 _______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据砝码被提起的长度等于半径为，圆心角为 的弧长，即可求解． 【详解】解：， ∴砝码被提起了． 故答案为：． 18. 如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EC垂直平分AB， ∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE， ∵OA∥DC， ∴=， ∴AE=AD，OE=OC， ∵OA=OB，OE=OC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵AB⊥EC， ∴四边形ACBE是菱形，故①正确， ∵∠DCE=90°，DA=AE， ∴AC=AD=AE， ∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确， ∵OA∥CD， ∴， ∴，故③错误， 设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a， ∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a ∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确. 故答案是：①②④． 【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题. 三、解答题（本题共8小题，共66分，其中第19题、20题各6分，第21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19. 计算：2tan60°--+ 【答案】2. 【解析】 【分析】分别利用算术平方根以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值化简求出即可． 【详解】原式=-1+3=2. 【点睛】本题考查了算术平方根以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键． 20. 一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． （1）求与的函数关系式； （2）客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由题意得到，根据的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案； 此题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知与的函数关系是反比例函数， 设与的函数关系式为， 把点代入得，， 解得， ∴与的函数关系式是； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴ ， 即客车行驶速度的取值范围为 ． 21. 如图，在四边形中，平分， ． （1）求证：； （2）若 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ， ∵ ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质： （1）先根据角平分线得出 ，进而可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出，代入即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴（负值舍去）． 22. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 【答案】（1）50，300 （2） 补全两个统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢舞蹈的学生所占百分比即可得； （2）先求出喜欢篮球的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜绘画和舞蹈的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得； （3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：本次抽取调查学生的总人数为（人）， 估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为 （人）， 故答案为：50，300． 【小问2详解】 解：喜欢篮球的学生人数人（人）， 喜欢绘画的学生所占百分比为， 喜欢舞蹈的学生所占百分比为 ． 【小问3详解】 解：由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种， 则两人恰好选择同一类的概率为， 答：两人恰好选择同一类的概率为． 23. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为 ； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 24. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的 处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出 ，在中，用 和的正切值表示出 ，由，联立求解 即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 25. 如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为． （1）求m的值及AC的长； （2）求 的长； （3）若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得的坐标，根据对称性质求得， 的坐标，即可求得结果； （2）将抛物线的解析式与直线 的解析式联立方程组进行求解，得到 ， 的坐标，即可求得结果； （3）设，则，可得，即求的最值，根据二次函数的最值，即可得到的值，即可求得． 【小问1详解】 把代入得 解得 ∴抛物线的解析式为： ∴ 根据对称性可得 ， ∴ 【小问2详解】 联立 解得或 ∴， ∴ 【小问3详解】 设，则 ∴ 整理得 ∵ ∴当时，即时，有最大值为 ∴的最大值为 ∴ 故 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线对称的点坐标的关系． 26. 如图，点A，B，C在上，为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）若，，，求的面积． （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） 是圆的切线， 证明：如图，∵为的直径， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，解直角三角形，求函数解析式等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，由圆周角定理得到，从而，然后根据，可以得解； （2）求出，由得到，得到 ，证明，得到，则，即可得到； （3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， 由，可设， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， 【小问3详解】 设， ∵， ∴． 如图，连接． ∴在中，． ∴，． ∴在中，，． 在中，．（∵，∴） ． 在中，，． ∴ ． 即． ∵， ∴最大值为F与O重合时，即为1． ∴． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二次学科竞赛 九年级数学试题卷 （时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 3. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 4. 若，则 的值为（ ） A. . B. C. 1 D. 5. 已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交或相离 D. 相切或相交 6. 若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A. B. C. D. 7. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 10. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知一斜坡的坡角为，则它坡度___________． 12. 如图，在中， ，弦的长为，求扇形的面积是______． 13. 把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 14. 如图，，， 分别切 于点，， ，如果，那么的周长为 _______． 15. 卖鱼的商贩为了估计鱼塘中有多少斤鱼，就用渔网先捞出了20条鱼，总重60斤，并在每条鱼上做了标记，随后仍放入鱼塘，一个小时后，再次捞出了30条鱼，发现其中有3条带有标记．根据此数据，可估计鱼塘中有鱼__________斤． 16. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的位似比等于，则点的坐标为__________． 17. 如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了 ，那么砝码被提起了 _______（结果保留π）． 18. 如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本题共8小题，共66分，其中第19题、20题各6分，第21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19. 计算：2tan60°--+ 20. 一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． （1）求与的函数关系式； （2）客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 21. 如图，在四边形中，平分， ． （1）求证：； （2）若 ，，求的长． 22. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 23. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 24. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的 处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 25. 如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为． （1）求m的值及AC的长； （2）求的长； （3）若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标． 26. 如图，点A，B，C在上，为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）若，，，求的面积． （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $