精品解析：安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高一上学期末考试数学试题

淮北一中2024级高一上学期期末考试数学试卷 命题：徐鹏飞 审题：王珂 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 记，则（ ） A B. C. D. 6. 若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为 A. x=（k∈Z） B. x=（k∈Z） C. x=（k∈Z） D. x=（k∈Z） 7. 衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（ ） A. B. C. D. 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个选项，正确的有（ ） A. 在第三象限，则是第二象限角 B. 若三角形的两内角，，满足，则此三角形必为钝角三角形 C. D. 10. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11. 已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是________． 12. 已知函数，则函数的单调递减区间为______. 13. 若函数在区间内单调递减，则的最大值为__________． 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，求的值. 16. 已知角以轴非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 17. 设函数. （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调递增区间； （3）求不等式的解集. 18. 已知函数. （1）求的解析式； （2）求不等式解集； （3）若存在，使得，求的取值范围. 19. 当且时，对一切，恒成立.学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）若正数，满足，当时，求的值； （2）除整数对，请再举出一个整数对满足； （3）若，求使得等式成立的正整数对. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北一中2024级高一上学期期末考试数学试卷 命题：徐鹏飞 审题：王珂 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，解得， 所以， 又，所以. 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为全称量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以“，”的否定是，. 故选：B. 3. 已知，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可. 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 由，函数为偶函数， 函数图象关于轴对称，故排除C、D； 当时，，，则，排除B. 故选：A． 5. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中间量“0”，“1”比较大小即可. 【详解】因为， ， . 故. 故选：D 6. 若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为 A. x=（k∈Z） B. x=（k∈Z） C. x=（k∈Z） D. x=（k∈Z） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选B． 考点：三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力． 7. 衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【详解】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定在上的值域为值域的子集，从而求出二者的值域后，列出不等式组，即可求解. 二、多选题：本题共2小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个选项，正确的有（ ） A. 在第三象限，则是第二象限角 B. 若三角形的两内角，，满足，则此三角形必为钝角三角形 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 根据在第三象限，由判断；B. 根据A，是三角形的内角，且判断；C.利用诱导公式判断； D. 根据判断. 【详解】A. 因为在第三象限，所以，则是第二象限角，故正确； B. 因为，是三角形的内角，且，则，所以此三角形必为钝角三角形，故正确； C.因为，故错误； D. 因为，所以，故正确. 故选：ABD 10. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数周期、偶函数的定义，结合赋值法，数形结合思想逐一判断即可. 【详解】A：在中，令中， 有，所以本选项不正确； B：由， 所以由， 所以是周期为的周期函数，因此本选项正确； C：时，，而， 显然当时，函数为偶函数， 又因为函数的周期为，所以函数是实数集上的偶函数，因此本选项正确； D：因为函数的周期为，且为偶函数， 所以函数图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与一次函数的图象有三个交点， 因此方程恰有3个解，所以本选项正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性和周期性，运用转化思想和数形结合思想判断方程解的个数问题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11. 已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，先求得扇形半径，然后由面积公式，即可得到结果. 【详解】设扇形的半径为，则，所以， 所以扇形面积为． 故答案为：． 12. 已知函数，则函数单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】 令，求得函数的定义域，根据为单调减函数，求函数的单调递减区间转化为求函数在定义域内的增区间即可得解. 【详解】令，可得或，定义域为， 因为单调递减， 所以要求的单调减区间， 只需求在上的增区间， 的对称轴为，所以在上单调递增 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 13. 若函数在区间内单调递减，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题先得：，再借助整体法：令，再结合余弦函数图像分析出单调递减时的等价条件，解不等式即可. 【详解】由题得：， 令， 则在单调递减， 故， 由，故， 所以的最大值为， 故答案为：. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点个数问题转化为方程的解或两函数图象交点个数问题.分类讨论方程根的情况，当时，去掉绝对值转化为新方程根的情况探讨；当时，转化为函数，图象交点个数分析即可. 【详解】令，得， 设，， 记方程的判别式. ①当，即时， 恒有，则， ， 令，得方程， 其判别式， 若，则方程有两相等实根，即函数有且仅有一个零点，不满足题意； 若，恒成立，即方程有两不等实根，即函数有两个零点，满足题意. 故当，或时，函数有两个零点； ②当，即，或时， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 由函数的图象与轴交于，且斜率， 而直线恰为的对称轴. 故结合图象可知，两函数在无交点，在恒有两交点 故，或时，函数恒有两个零点 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于根据方程的判别式分类讨论，将函数零点个数问题，转化为化简后所得二次方程的根的个数或两函数图象交点的个数问题来研究. 四、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)利用指数、对数和三角函数运算性质即可得出； (2)由已知可得：，，即可得出. 【详解】(1)原式； (2)若，则， ， 故 16. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数定义求得，然后弦切互化即可求解； （2）先用诱导公式化简式子，再利用三角函数定义求出，代入即可得解. 【小问1详解】 根据三角函数的定义，得， 所以. 小问2详解】 原式， 又， 故原式. 17. 设函数. （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调递增区间； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用整体代入法，根据正切函数的定义域，即可求出结果； （2）利用整体代入法，根据正切函数的单调性，即可求出结果； （3）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果. 【小问1详解】 函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 由， 所以函数的单调递增区间为 ， 【小问3详解】 不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为， 18. 已知函数. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）若存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用换元法可求得函数的解析式； （2）利用二次不等式的解法可得出不等式的解集； （3）由已知可得出，令，，可得出，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最大值，根据可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 设，则. 因为，所以， 则. 【小问2详解】 不等式，即，即， 则， 解得，即不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以， 则不等式等价于不等式， 即，即. 设，则函数. 故二次函数图象的对称轴方程为. 当，即时，在上单调递增， 则，解得， 故符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得或， 故或符合题意； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 故符合题意. 综上，的取值范围是 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 19. 当且时，对一切，恒成立.学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）若正数，满足，当时，求值； （2）除整数对，请再举出一个整数对满足； （3）若，求使得等式成立的正整数对. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由当时代入可得，再由对数的运算性质求接即可得出答案. （2）当时，. （3）当和时，等式不成立，当，时，，复合函数单调性可得，即可判断当且仅当时，原等式成立. 【小问1详解】 当时，则， 所以，即，所以． 【小问2详解】 当时，，所以整数对为. 【小问3详解】 因为， 所以，且． 当时，，显然无解． 当时，，可得，无正整数解， 同理，当和时，也无正整数解． 当，时，， 因为，所以由复合函数单调性可得， 又因为，所以当且仅当时，原等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $